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Produit scalaire

Exercices Fiche 2

Exercice 1

Soit ABC un triangle tel que AB = 2, BC = 3 et ABC =  3. Soit K le milieu de [BC] et H le projeté orthogonal de A sur [BC].

Calculer

BA. BC , AH. BC et BC. CK.

Exercice 2

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-4;2), B(-1; 3) et C(1; -3). Démontrer, en utilisant le produit scalaire , que le triangle ABC est rectangle.

Exercice 3

On donne ∥

u∥=2, ∥v∥=3 et u⋅v = -2.

1. Calculer ∥

u-v∥². 2. Si AB = uet AC = v, calculer BC.

Exercice 4

Soit ABC un triangle tel que AB = 3, AC = 5, BC = 7.

1. Calculer

AB. AC2. En déduire la mesure en degré de l'angle BAC.

Exercice 5

ABC est un triangle équilatéral de côté 3. Soit H le milieu de [BC].

Calculer

AB⋅AH.

Exercice 6

ABC est un triangle vérifiant : AB=AC=2 et

(⃗AB;⃗AC)=π

4(2π). K est le milieu de [BC].

1. Construire le point D tel que ABDC soit un losange.

2. Déterminer la mesure en radians des angles du triangle ABD.

3. Calculer AD.

4. Calculer

⃗AB.⃗AK5. En déduire la valeur exacte de cosπ 8.

Exercice 7

ABC est un triangle du plan tel que AB=6 ; AC=7 et BC=8 ; I est le milieu de [BC].

1. Faire une figure.

2. Calculer AI.

3. En déduire une valeur approchée de la mesure en degré à 10-1 près de l'angle

̂BAI.

Produit scalaire

CORRECTION

Exercice 1

Soit ABC un triangle tel que AB = 2, BC = 3 et ABC =  3. Soit K le milieu de [BC] et H le projeté orthogonal de A sur [BC].

Calculer

BA. BC , AH. BC et BC. CK.

2=3•Les vecteurs

⃗AHet⃗BCsont orthogonaux donc ⃗AH.⃗BC=0•

2×1=-9

2Exercice 2

Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-4;2), B(-1; 3) et C(1; -3). Démontrer, en utilisant le produit scalaire , que le triangle ABC est rectangle.

En regardant le dessin, on conjecture que si le triangle ABC est rectangle alors l'angle droit est en B.

On calcule donc le produit scalaire

⃗BA.⃗BC. ⃗BA(-4+1

2-3)⃗BC(1+1

Produit scalaire ⃗BA(-3

-1)⃗BC(2 -6)⃗BA.⃗BC=(-3)×2+(-1)×(-6)=-6+6=0Les vecteurs ⃗BAet⃗BCsont orthogonaux donc le triangle ABC est rectangle en B.

Exercice 3

On donne ∥

u∥=2, ∥v∥=3 et u⋅v = -2.

1. Calculer ∥

u-v∥². 2. Si AB= uet AC=v, calculer BC.

1. ∥

⃗u-⃗v∥2=4-2×(-2)+9=17 2. ∥⃗u-⃗v∥=CBDonc,

Soit ABC un triangle tel que AB=3, AC=5, BC=7.

1. Calculer

AB. AC

2. En déduire la mesure en degré de l'angle

BAC.

1. BC2=AB2+AC2-2

⃗AB.⃗AC

49=9+25-2

⃗AB.⃗AC ⃗AB.⃗AC=-15 2 2.

2=3×5×cos

̂BAC

coŝBAC=-1 2 cos(180∘-̂BAC)=1

2donc, 180-

̂BAC=60∘

̂BAC=120∘

Produit scalaire

Exercice 5

ABC est un triangle équilatéral de côté 3. Soit H le milieu de [BC].

CalculerAB⋅AH.

H est le pied de la hauteur issue de B dans le triangle ABH rectangle en H. ⃗AB.⃗AH=⃗AH.⃗AH=AH2

ABC est un triangle équilatéral donc

̂HBA=π

3. sinπ 3=AH

2Donc,

2Donc,

⃗AB.⃗AH=27 4.

Exercice 6

ABC est un triangle vérifiant : AB=AC=2 et

(⃗AB;⃗AC)=π

4(2π). K est le milieu de [BC].

1. Construire le point D tel que ABDC soit un losange.

2. Déterminer la mesure en radians des angles du triangle ABD.

3. Calculer AD.

4. Calculer

⃗AB.⃗AK

5. En déduire la valeur exacte de

cosπ 8. 1.

2. ABCD est un losange donc

̂BAC+̂ABD=π

Donc,

̂ABD=π-π

4=3π

4Le triangle ABD est isocèle de sommet principal B donc :

̂BAD=̂BDA=π-̂ABD

2=π

Produit scalaire

3. Dans le triangle ABD,

AD2=AB2+BD2-2AB×BD×coŝABD

AD2=4+4-2×2×2×cos3π

4

2)AD2=8+4

AD=

4. Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires donc K est le pied de la hauteur du triangle ABK issue de

B. 2)2 5.

2×cosπ

8 cosπ

2Exercice 7

ABC est un triangle du plan tel que AB=6 ; AC=7 et BC=8 ; I est le milieu de [BC].

1. Faire une figure.

2. Calculer AI.

3. En déduire une valeur approchée de la mesure en degré à 10-1 près de l'angle

̂BAI.

1. 2.

AB2+AC2=2AI2+2IC236+49=2AI2+32

AI2=53

2

Produit scalaire

2

3. Dans le triangle BAI :

BI2=AB2+AI2-2×AB×AI×cos

̂BAI

16=36+53

2×coŝBAI12×

2×coŝBAI=93

2 cos

̂BAI=93

2)Avec la calculatrice,

̂BAI≈41,2∘

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