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1 1 3 Module d'un nombre complexe inégalités triangulaire : 1 1 3 1 Dé nition : Module d'un nombre complexe soit z= a+ ibun nombre complexe et M son image dons P Le module d'un nombre complexe z= a+ibest un nombre positive[7 11 2] et c'est la distance OMavec M(a;b) alors : z= a+ ib jzj= p a2 + b2 = OM Figure 1 1 Le plan complexe 1 1 3 2

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Université de GabesFaculté des Sciences de GabesDépartement des Mathématiques

Analyse Complexe

Note de cours au étudiants de premiere année de Master mathématiques

Préparée par Noureddine Ghiloufi

Année universitaire 2015/2016.

Table des matières1 Fonctions holomorphes3

1.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3

1.2 Étude d"un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 5

2 Intégrale curviligne7

2.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 7

2.2 Formules de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10

3 Espace des fonctions holomorphes15

3.1 Principe des zéros isolés et singularités . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 15

3.2 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17

3.3 Forme générale du Théorème de Cauchy et applications . . .. . . . . . . . . . . 18

3.3.1 Théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

3.3.3 Connexité simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

4 Exercices et Problèmes28

4.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38

2 Chapitre 1Fonctions holomorphes1.1 Définitions et propriétés SoitΩun ouvert deC, on identifieCàR2parx+iy≂(x,y). Soitf: Ω-→Cune fonction etz0?Ω. On dit quefest dérivable enz0si la limite lim z→z0f(z)-f(z0) z-z0 existe. Cette limite sera notéef?(z0)et est appelée la dérivée defenz0.

Exemple 1.1

1. La fonctionfndéfinie surC, pour toutn?N?, parfn(z) =znest dérivable surCet

f ?n(z) =nzn-1(Formule de Binôme).

2. La fonctiongdéfinie surCparg(z) =

zn"est dérivable en aucun point deC. De plus, en tant que fonction de deux variables réelles, la fonctiongest linéaire donc elle est de classeC∞. Théorème 1.2SoitΩun ouvert deC,z0?Ωetf: Ω-→C,(x,y)?-→P(x,y) +iQ(x,y). Alorsfest dérivable enz0= (x0,y0)si et seulement sifest différentiable en(x0,y0)et vérifie les conditions de Cauchy

1-Riemann2suivantes

?∂P ∂x(x0,y0) =∂Q∂y(x0,y0) ∂P ∂y(x0,y0) =-∂Q∂x(x0,y0).

1.Augustin Louis, baron Cauchy, né à Paris le 21 août 1789 et mort à Sceaux (Hauts-de-Seine) le 23 mai

1857, est un mathématicien français, membre de l"Académie des sciences et professeur à l"école polytechnique. Il

fut l"un des mathématiciens les plus prolifiques de tous les temps, quoique devancé par Leonhard Euler et Paul

Erdos, avec près de 800 parutions et sept ouvrages; sa recherche couvre l"ensemble des domaines mathématiques

de l"époque. On lui doit notamment en analyse l"introduction des fonctions holomorphes et des critères de

convergence des suites et des séries entières. Ses travaux sur les permutations furent précurseurs de la théorie

des groupes. En optique, on lui doit des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.

2.Georg Friedrich Bernhard Riemann, né le 17 septembre 1826 à Breselenz, état de Hanovre, mort le

20 juillet 1866 à Selasca, hameau de la commune de Verbania, Italie, est un mathématicien allemand. Influent

sur le plan théorique, il a apporté une contribution importante à l"analyse et à la géométrie différentielle.

3

4Chap.1 Fonctions holomorphes

Démonstration.Sifest dérivable enz0alors la formule de Taylor donne pourh= (h1,h2) =h1+ih2 (P+iQ)(x0+h1,y0+h2)-(P+iQ)(x0,y0) = (h1+ih2)f?(x0+iy0) + (h1+ih2)[?1(h) +i?2(h)]. Donc ?P(x0+h1,y0+h2)-P(x0,y0) =ah1-bh2+h1?1(h)-h2?2(h)

Q(x0+h1,y0+h2)-Q(x0,y0) =ah2+bh1+h2?1(h) +h1?2(h)

avecf?(x0,y0) =a+ib. DoncPetQsont différentiables etdf(x0,y0)?h1 h 2? =?a-b b a?? h1 h 2? Définition 1.3Une fonctionf: Ω-→Cest dite holomorphe surΩet on notef? H(Ω)si fest dérivable en tout point deΩ.

Exemple 1.4Soitf(z) =?

n≥0a +∞alorsf? H(D(z0,R))et on af?(z) =+∞? n=1na n(z-z0)n-1. Propriétés 1.5SoitΩun ouvert deC,z0?Ωetf, g: Ω-→Cdérivables enz0. Alors

1. La fonctionf+λgest dérivable enz0et on a(f+λg)?(z0) =f?(z0) +λg?(z0)pour tout

λ?C.

2. La fonctionfgest dérivable enz0et on a(fg)?(z0) =f?(z0)g(z0) +f(z0)g?(z0).

3. Si de plusf(z0)?= 0alors1

fest dérivable enz0et on a?1f? (z0) =-f?(z0)(f(z0))2.

4. SoitΩun domaine (ouvert connexe) deCetf? H(Ω). Alorsf?est identiquement nulle

surΩsi et seulement sifest identiquement constante surΩ.

Démonstration.Pour 3., on a en fait1

fest bien définie au voisinage dez0; en effetfest dérivable enz0doncf(z0+h)-f(z0) =f?(z0)h+h?(h)avec?(h)-→h→00.Ce qui donne quefest continue enz0. En particulier, commef(z0)?= 0, il existeη >0tel que|z-z0|< ηdonne|f(z)-f(z0)|<|f(z0)| 2; par suite|f(z)| ≥|f(z0)|

2>0pour toutz?D(z0,η).?

Théorème 1.6Soitfune fonction holomorphe sur un domaineΩdeC. Alors on a équivalence entre les assertions suivantes :

1.fest constante surΩ.

2.?efest constante surΩ.

3.?mfest constante surΩ.4.|f|est constante surΩ.

5. fest holomorphe surΩ.

6.f(Ω)est inclue dans une droite.

Démonstration.En exercice.?

Proposition 1.7SoitΩetWdeux ouverts deCetf: Ω-→Wune fonction bijective continue surΩet dérivable enz0?Ωtel quef?(z0)?= 0. Alorsg:=f-1, la fonction réciproque def, est dérivable enw0:=f(z0)dès qu"elle est continue enw0et on a dans ce casg?(w0) =1 f?(z0).

AU 2015/2016 MRMa1 FSG Noureddine Ghiloufi

5Chap.1 Fonctions holomorphes

Démonstration.Pourw?W, w=f(z)oùz?Ωde plus commefetgsont continues enz0etw0 respectivement alors lim w→w0g(w)-g(w0) w-w0=g cont.limz→z0z-z0f(z)-f(z0)=1f?(z0). Propriétés 1.8Soitf: Ω-→Wune fonction dérivable enz0?Ωetg:W-→Cune

fonction dérivable enf(z0)alorsg◦fest dérivable enz0et on a(g◦f)?(z0) =g?(f(z0)).f?(z0).

1.2 Étude d"un exemple

Soitexp :C-→Cdéfinie parexp(z) =+∞?

n=0z n n!la somme d"une série entière de rayon de convergenceR= +∞doncexpest une fonction holomorphe surC(fonction entière).

•exp?(z) =+∞?

n=1nzn-1 n!= exp(z).

•Pour toutx?R, on aexp(x) =ex.

•Pour toutz, ξ?C, on a

exp(z+ξ) = exp(z).exp(ξ).

En effet,

exp(z+ξ) =+∞? n=0(z+ξ)n n!=+∞?n=01n!n k=0? n k? z kξn-k=+∞? n=0n k=0z kk!ξ n-k(n-k)! n=0z n n!?? +∞?n=0ξ nn!? =exp(z).exp(ξ) comme produit de Cauchy de deux séries numériques absolument convergentes.?

•Pour toutz?C,exp(z)?= 0et1

exp(z)= exp(-z). D"après ce qui précède,exp(z)exp(-z) = exp(z-z) = exp(0) = 1.? •(Formule de Moivre) Pour toutx+iy?Con aexp(x+iy) =ex(cos(y) +isin(y)).

En effet, on aexp(x+iy) =exexp(iy); de plus

exp(iy) =+∞? n=01 n!(iy)nconv. abs.=+∞? n=0(iy)2n(2n)!++∞? n=0(iy)2n+1(2n+ 1)!=+∞? n=0(-1)ny2n2n!+i+∞? n=0(-1)ny2n+1(2n+ 1)! = cos(y) +isin(y). •Injectivité :On aexp(z) = exp(ξ)??z=ξ+ 2ikπ, k?Z.

Doncexpn"est pas injective deCdansC?.

Pourα?R, on poseBα:={x+iy?C;x?R, α-π < y < α+π}.Bαest un ouvert deCsur

lequelexpest injective doncexp|Bα:Bα-→Ωα:= exp(Bα)est bijective et est holomorphe,

AU 2015/2016 MRMa1 FSG Noureddine Ghiloufi

6Chap.1 Fonctions holomorphes

exp?(z)?= 0,?z?Bα. Pour appliquer la proposition 1.7, il suffit de montrer quelogα:= exp-1 |Bαest continue surΩα. Pour ceci, on remarque que dexp(x,y) =?excos(y)-exsin(y) e xsin(y)excos(y)?

donc|dexp(x,y)|=e2x?= 0. D"après le théorème d"inversion local,exp|Bαest un difféomor-

phisme local, or elle est injective, donc elle est un difféomorphisme globale deBαdans son image. D"après la proposition 1.7,logαest holomorphe surΩα(qui est en fait un ouvert deC doncexpest une application ouverte). log α(w) = ln(|w|) +iarg]α-π,α+π[(w),?w?Ωα. Définition 1.9On dira qu"une application?est une determination du logarithme sur un ou- vertΩdeCsiexp(?(z)) =z,?z?Ω. On définie alors une determination du puissance parza:= exp(a?(z))pour touta?C. Proposition 1.10SoitΩun domaine (ouvert connexe) deC. AlorsΩadmet une determina- tion continue du logarithme si et seulement si l"applicationz?-→1 zadmet une primitive surΩ (i.e. il existe une fonctiong? H(Ω)telle queg?(z) =1 z,?z?Ω).

Démonstration.

" =?"Soitfune determination continue du logarithme surΩalorsexp(f(z)) =z?z?Ωdonc f ?(z)exp(f(z)) = 1ainsif?(z) =1 z.fest une primitive de1z. "?= "Soitgune primitive de1 zsurΩ. On a(zexp(-g(z)))?= exp(-g(z))(1-z1z) = 0. CommeΩ est connexe, alorszexp(-g(z)) =c?= 0. Si on notec=r0eiθ0alorsexp(g(z) + ln(r0)+iθ0) =z. Ainsi g(z) + ln(r0) +iθ0est une determination continue du logarithme.?

AU 2015/2016 MRMa1 FSG Noureddine Ghiloufi

Chapitre 2Intégrale curviligne2.1 Définitions et propriétésDéfinition 2.1Un cheminC1-par morceaux d"un ouvertΩdeCest une applicationγ:

[a,b]-→ΩC1-par morceaux ([a,b]?R) :

1.γest continue sur[a,b].

2. Il existex0=a < x1< ... < xn=bune subdivision de[a,b]telle queγ?coincide sur

]xj,xj+1[avec la restriction d"une fonctiongjcontinue sur[xj,xj+1].

Exemple 2.2[0,1]-→C, t?-→⎷

tn"est pasC1-par morceaux.

Définition 2.3

1.•γ(a)s"appelle l"origine deγetγ(b)est l"extremité deγ.

γ-: [a,b]-→Ω

t?-→γ(a+b-t)est le chemin opposé deγ.

•γ?:={γ(t);t?[a,b]}est l"image deγ.

2. Un lacet est un cheminC1-par morceaux tel que l"extremité coincide avec l"origine.

3. Soitγ1: [a,b]→Ωetγ2: [c,d]→Ωdeux chemins tels queγ1(b) =γ2(c). La juxtaposition

deγ1etγ2est le cheminγ1?γ2: [a,b+d-c]-→Ωdonnée par t?-→?γ1(t)si t?[a,b]

2(t+c-b)si t?[b,b+d-c]

4. Soitγ: [a,b]→Cun cheminC1-par morceaux etf:γ?→Cune fonction continue.

L"intégrale defle long deγest?

f(z)dz:=? b a f(γ(t))γ?(t)dt.

Propriétés 2.4

1.? (f+λg)(z)dz=? f(z)dz+λ? g(z)dzpour toutfetgcontinues surγ?etλ?C. 2. -f(z)dz=-? f(z)dzsifest continue surγ?(par le changement de variablet?→ a+b-t). 7

8Chap.2 Intégrale curviligne

3.?

1?γ2f(z)dz=?

1f(z)dz+?

2f(z)dzpour toutfcontinue sur(γ1?γ2)?.

Exemple 2.5Sif(z) =1

z-z0et (z0,r): [0,2π]-→C t?-→z0+reitquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48