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Lorsque les vagues arrivent à proximité du rivage, on est dans le cas d'ondes de gravité en eau peu profonde, et la célérité c des vagues dépend de la profondeur  

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Effets de la tension superficielle : ondes capillaires EXPERIMENTATION SOMMAIRE Essai n°1 : ondes de surface en eau peu profonde avec effet de tension

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Ondes gravitaires en eau peu profonde: ω2 = ghk2 cinétique et une énergie potentielle due `a la gravité et la tension de surface du liquide Montrer que 

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B Legras, 2008 Ondes de gravité barotropes C'est le cas le plus simple qui se traite à partir des équations d'eau peu profonde linéarisées en ne prenant pas 

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1 3 2 Lignes de courant et trajectoires des particules en eau peu profonde 21 gravité (grandes longueurs d'ondes gouvernées par la gravité) La relation  

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1 1 Oscillations d'un liquide dans un tube en U sous l'effet de la gravité Dans cette Figure 4 – Propagation d'ondes de surface en eau peu profonde Au repos 

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Ondes de gravité `a la surface libre de l'eau réduit-elle `a ϕ0 exp(kz) en eaux profondes? 7 Montrer qu'au premier ordre en la perturbation, on peut écrire:

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4 jui 2015 · 4 - Les vagues sont des ondes (réfraction, Gravité - tension de surface Dissipations : - Viscosité du liquide Eau peu profonde = ellipses

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III1

B.Legras, 2008III. Ondes de Gravité

Ondes de gravité barotropeOndes de pure gravit

é baroclinesG

énération des ondes de gravitéOndes de montagnes D

éferlement des ondes de gravitéOndes de Lee

Ondes d'inertio gravit

éBernard Legras http://www.lmd.ens.fr/legras legras@lmd.ens.fr III2

B.Legras, 2008Exemples de nuages lenticulaires

formés par des ondes de gravité III3

B.Legras, 2008Ondes de gravité barotropes

C'est le cas le plus simple qui se traite à partir des équations d'eau peu profonde linéarisées en ne prenant pas en compte le terme de Coriolis car la fréquence est supposée grande par rapport à f. ∂tu=-g∂x ∂tv=-g∂y d'où on tire ∂tt=gH1∇2 Cette équation possède des solutions ondulatoires avec une vitesse de phase c=gH1 Application: propagation des vagues de surface et des tsunamis III4

B.Legras, 2008LES EQUATIONS

NON HYDROSTATIQUES

Dtu∂x'=0

Dtv∂y'=0

Dtw∂z'-b=0

DtbwN2=0

∂xu∂yv∂zw-w H0 =0 avec b=g ' (flottaison), w=Dtz, et N2=g dzOn a retir

é les termes de Corioliscar l'

échelle est supposée petite eton a ajout

é l'accélération verticale [justifier sa forme dans ces

équations].

Forme linéarisée des équations

∂tuU∂xu=-∂x ∂tvU∂xv=-∂y ∂tbU∂xbwN2=0 ∂xu∂yv∂zw-w H0 =0

On écrit

u,v,w,b,=e z 2H0 d'où u=k -Uk,v=l -Uk

2H0-b=0

b=iN2 -Ukw ikuilvim-1

2H0w=0Ondes de pure gravit

é baroclines (1)

III5

B.Legras, 2008Rappel

u=k -Uk,v=l -Uk

2H0-b=0

b=iN2 -Ukw ikuilvim-1

2H0w=0

En combinant, on obtient -Uk-N2 -Ukw=m-i

2H0

puis -Uk-N2 -Ukik2l2 -Ukim-1

2H0m-i

2H0=0

d'où k2l21-N2 4H0

2=0

et finalement on obtient la relation de dispersion -Uk2=N2k2l2 m2k2l21 4H0 2 En bleu, les termes provenant de la contribution non hydrostatique.Ondes de pure gravit

é baroclines (2)

III6 B.Legras, 2008Ondes de pure gravité baroclines (3)

Considérons pour simplifier le cas l=0

La relation de dispersion vérifie alors -Uk=±Nk m2k21 4H0

21/2N

Supposons k0 et m0, ⇒ les lignes

de phase sont inclinées vers l'ouest. On se place dans le référentiel du vent (U=0).

On suppose ∣m∣,k≫1/H0

d'où =kNm2k2-1/2 u=k

N2b

Donc : u et w sont en phase avec ,

la température est en quadrature avec . c=Nk m2k23/2k,m Elle est (par définition) parallèle au vecteur d'onde et il y a propagation vers le bas

La vitesse de groupe est

cg=N

Elle est orthogonale au vecteur d'onde

et est dirigée vers le hautCgNote: On suppose, sans perte de généralité, que 0 III7 B.Legras, 2008Sources des ondes de gravité Montagnes Convection Jets Instabilit

és de KelvinHelmholtz Ajustement g

éostrophique

III8

B.Legras, 2008Ondes de gravité et relief

La relation de dispersion stationnaire est k2m21 4H0

2U2=N2

soit m2=N2

U2-k2-1

4H0 2

Il y a propagation verticale (m réel) si N2

U2-k2-1

4H0

20,

sinon l'onde est évanescente. k étant fixé par l'orographie, pour N et U donnés, ce sont les reliefs de plus grande extension qui permettent la propagation vers le haut. En supposant U>0, sachant que la vitesse de groupe doit être dirigée vers le haut et que la vitesse de phase doit être dirigée vers l'ouest dans le référentiel du vent pour compenser l'advection, on obtient k0 et m0. Plus précisèment: =-kN

K3/2,cgx=-Nm2

K3/2,cgz=Nkm

K3/2,K2=k2m21

4H0 2 III9

B.Legras, 2008propagationévanescent

III10 B.Legras, 2008Propagation d'un paquet d'onde stationnaire Montagne gaussienne de largeur 1kmMontagne gaussienne de largeur 100km III11

B.Legras, 2008Fritts &

Alexander,

Rev. Geophys.,

2003températurevent horizontal

III12 B.Legras, 2008Breaking mountain waves - 11 May 2000MST Radar Vertical wind

Yellow: Up, Blue: down

13 14 15

Time (UT)Vertical wind measured by EgrettDéferlement d'une onde de gravité III13 B.Legras, 2008Ondes de Lee pour un écoulement variant verticalement et pi égeageOn se place ici dans le cadre de l'approximation de Boussinesq avec v=0, pour lequel les équations stationnaires sont

U∂xu∂zUw=-∂x

U∂xw∂z-b=0

U∂xbwN2=0

∂xu∂zw=0 Dès lors, en éliminant  entre la première et la deuxième équation

En utilisant les deux dernières équations

U ∂xxw∂zzwp2w=0 avec p2=N2

U2-∂zzU

La propagation verticale dépend du signe de p2. Positif s'il y a propagation. III14

B.Legras, 2008Ondes de Lee

III15

B.Legras, 2008Lee waves

24 Jan 2002

Ecoulement NNW sur GB avec

une couche stable surmontant la couche limite:piégeage des ondes de gravit III16 B.Legras, 2008Emission d'ondes de gravité par la convection III17

B.Legras, 2008Emission

d'ondes de gravitépar ajustement g

éostrophique(cr

éation d'une circulation ag

éostrophique pour rétablirl'

équilibre du vent gradient)

III18

B.Legras, 2008Ondes d'inertiogravité (1)On réintroduit f et on se place dans le cadre des équations hydrostatiques

vu qu'il s'agit de modes de grande échelle.

Les équations sont (avec U=0 pour simplifier)

∂tu-f0v∂x=0 ∂tvf0u∂y=0 ∂tzwN2=0 ∂xu∂yv∂zw-w H0=0

En passant en modes de Fourier u,v,w,=u,v,w,ez

on obtient -i-f0 f0-iu v=-ik lsoit u=kilf0 2-f02,w=-2 N2 m-i

2H0

d'où la relation de dispersion 2=f02N2k2l2 m21 4H02 III19

B.Legras, 20082=f0

2N2k2l2

m21 4H0 2

Domaine de fréquence

f0∣∣≪N

On choisit l=0 et m2≫1

4H0 2 d'où =±f0

2N2k2

m21/2 et cg=N2k2 m3m,0,-k ∣cgz cgx∣=∣k m∣=-f0

21/2

N≪1

propagation quasi-horizontaleOndes d'inertiogravit

é (2)

III20

B.Legras, 2008 f < ω < N, périodes de 5 min à 1j Longueur d'onde typique dans la région de la tropopause: 2 km Propagation vers la stratosphère et la mésosphère Variation d'amplitude en ρ-1/2

Rôle des ondes Transport vertical de moment ═> frottement en altitude Déferlement ═> mélange Turbulence engendrée par les ondes topographiques (CAT)

Ondes d'inertie-gravité

Longue période, T=16h à 45°N

Affectées par la rotation terrestre

Longueur d'onde horizontale > 100 km

Longueur d'onde verticale 2 kmCaractéristiques des ondes de gravitéquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18