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Table des matieres

Table des matieres

ii

0 Les nombres complexes

1

Exercice

0.1 1

Exercice

0.2 2

Exercice

0.3 3

Exercice

0.4 4

Exercice

0.5 5

Exercice

0.6 6

Exercice

0.7 7

1 Fonctions elementaires

8

Exercice

1.1 8

Exercice

1.2 9

Exercice

1.3 10

Exercice

1.4 12

Exercice

1.5 12

Exercice

1.6 13

Exercice

1.7 13

2 Derivation dans le domaine complexe

14

Exercice

2.1 14

Exercice

2.2 15

Exercice

2.3 16 i

Table des matieres

Exercice

2.4 17

Exercice

2.5 18

3 Integration dans le domaine complexe

20

Exercice

3.1 20

Exercice

3.2 21

Exercice

3.3 22

Exercice

3.4 22

Exercice

3.5 23

Exercice

3.6 24

4 Series innies, series de Taylor, series de Laurent

26

Exercice

4.1 26

Exercice

4.2 27

Exercice

4.3 28

5 Theoreme des residus

29

Exercice

5.1 29

Exercice

5.2 31

Exercice

5.3 32

Exercice

5.4 33

Exercice

5.5 35

Exercice

5.6 36

Exercice

5.7 37

Exercice

5.8 38

Exercice

5.9 40
ii C hapitre0

Les nombres complexesSommaire

Exercice

0. 1 1

Exercice

0. 2 2

Exercice

0. 3 3

Exercice

0. 4 4

Exercice

0. 5 5

Exercice

0. 6 6

Exercice

0. 7

7 Soientz= 2i;w= 1 + 3i:

Ecrire les nombres complexes suivants sous formex+iy:a)zw , b)zwz+w.Exercice 0.1

Solution.

Pour ecrire un quotient de deux nombres complexes sous forme algebriquex+iy;on multiplie et on divise par le conjugue du denominateur. Noter que le conjugue dea+ibestaib. a) zw =2i1 + 3i=(2i)(13i)(1 + 3i)(13i)=26ii+ 3i21

2(3i)2=27i31 + 9

=110 710
i: b) zwz+w=(2i)(1 + 3i)2i+ 1 + 3i=5 + 5i3 + 2i=(5 + 5i)(32i)(3 + 2i)(32i)=2513 +513
i: 1

0. Les nombres complexes

Trouver le module et l'argument principal des nombres complexes suivants : a)z= 4 + 3i,b)z=cos5 +isin5 , c)z= cosisin < <32 .Exercice 0.2

Solution.

Le module ou la valeur absolue d'un nombre complexea+ibest denie parr=ja+ibj=pa

2+b2:L'argument principale d'un nombre complexe non nula+ibest l'angle2];]

denie par cos=ar ;sin=br a)r=j4 + 3ij=p4

2+ 32= 5,

cos=45 ;sin=35 alors l'argument principale'0;64 Rad.cossin

0.64 Rad

0,80,6

b)r=cos5 +isin5 =q cos5

2+sin5

2 qcos 25
+ sin25 = 1; cos=cos5 1 =cos5 = cos 5 = cos45 sin=sin5 1 = sin5 = sin 5 = sin45 d'ou l'argument principale=45 :cossin 5 cos 545
cos5sin 5 cos=cos5 = cos45 sin= sin5 = sin45 c)On note l'argument dezparpour ne pas confondre avec: r=jcosisinj=q(cos)2+ (sin)2 pcos

2+ sin2= 1;

cos=cos1 = cos= cos() = cos(2); sin=sin1 =sin= sin() = sin(2);

On a ajoute 2apour quesoit dans l'intervalle

];];alors l'argument principale dezest= 2:cossin = 2cossinsincos= cos= cos(2)sin=sin= sin(2)2

0. Les nombres complexes

Representer les ensembles des points suivants dans le plan complexe. a)fz2C=jz3ij jz3jg;b)fz2C=jzij<3g; c)fz2C=jzij>3g;d)fz2C=RezImz <1g:Exercice 0.3

Solution.

a)Siz=x+iy, l'inegalitejz3ij jz3jdevient alors, en prenant le carre de deux membres x

2+ (y3)2(x3)2+y2ou6y 6x:

D'ouyx0. L'ensemblejz3ij jz3jest

donc la partie dessus de la droiteyx= 0, la droite y comprise. Dans la gure ci-contre, c'est la partie hachuree.xy yx= 0yx0b)L'ensemblefz2C=jzij<3gest un disque de centrez0=i(0;1) et de rayonr= 3, le cercle jzij= 3 non compris. Voir la gure ci-contre.xyjzij= 3z

0=ijzij<3c)L'ensemblefz2C=jzij>3gest l'exterieur du

cercle de centrez0=i(0;1) et de rayonr= 3, le cercle non compris. C'est la partie hachuree dans la gure ci-contre.xyjzij= 3z

0=ijzij>3d)L'ensemble RezImz <1 s'ecrit sous forme

xy <1 ouyx+ 1>0:

C'est la partie dessus de la droiteyx+ 1 = 0,

la droite non comprise.

Voir la partie hachuree dans la gure ci-contre.xy

yx+ 1 = 0yx+ 103

0. Les nombres complexes

Resoudre les equations :a)z3+ 3z2+ 3z+ 3 = 0;b)(z1)4= 1:Exercice 0.4

Solution.

a)Tout d'abord, on remarque quez3+3z2+3z+3 = (z+ 1)3+2, donc notre probleme revient a resoudre l'equation (z+ 1)3=2. En ecrivant2 sous forme polaire, (z+ 1)3= 2fcos(+ 2k) +isin(+ 2k)g;k2Z; alors, d'apres la formule de De Moivre, z+ 1 = 213 cos+ 2k3 +isin+ 2k3 ;k2Z ou z= 213 cos+ 2k3 +isin+ 2k3

1; k2Z:

Sik= 0; z=z0= 213

cos3 +isin3quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48