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C'est cette OPPM que l'on étudie ici, en établissant à nouveau tous les résultats déjà rencontrés pour l'OPP B Définition Une OPPM par définition est une onde  

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3 6 Application aux OPPM 25 4 6 4 Coefficients de réflexion : définition 45 une OPPM de pulsation ω se propage en direction d'un conducteur plan

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1) Définition Un polariseur rectiligne est un objet tel que toute onde entrante ressort polarisée rectilignement dans une direction liée au polariseur : x u о x u о

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définition du vecteur densité de courant : v j о о ρ= correspondant Ils ne peuvent donc pas suivre la polarisation d'une des OPPM dont la succession forme la 

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Définition La direction du champ électrique est la direction de polarisation de l' onde Description de la polarisation d'une OPPM La courbe décrite par le champ  

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Néanmoins, si le milieu est transparent, l'OPPM est solution de l'équation de Par définition, la relation de dispersion est la relation k(ω) entre la pulsation et le

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des ondes OemPPH Prenons un tri`edre cartésien, dont ux soit la direction de propagation de l'OemPPH Par définition le champ électrique est de la forme : E =

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G.P.Électromagnétisme Ondes2013

ÉLECTROMAGNÉTISME ONDES

Sommaire

Chap 4.0: Introduction aux ondes.........................................................................................................5

A.Onde : phénomène de propagation d'une vibration, suite à une perturbation.........................5

II.Équation d'onde de LE ROND D'ALEMBERT............................................................................6

A.L'équation à une dimension.....................................................................................................6

1.Renversement du temps, t-réversibilité.................................................................................6

2.Célérité de l'onde...................................................................................................................8

C.Résolution pour des ondes monochromatiques.......................................................................8

1.Intérêt des ondes monochromatiques....................................................................................8

2.Deux écritures possibles pour la solution..............................................................................9

a.Notation complexe..........................................................................................................9

b.Équation différentielle....................................................................................................9

c.Résolution de l'équation différentielle..........................................................................10

D.Ondes progressives................................................................................................................11

1.Représentation en fonction du temps au point origine O et en un point M d'abscisse x.....11

2.Représentation en fonction de x à deux instants différents.................................................12

3.Période, longueur d'onde, vitesse de phase.........................................................................12

a.Surfaces d'onde.............................................................................................................12

c.Longueur d'onde...........................................................................................................13

d.Vitesse de phase............................................................................................................13

e.Relation longueur d'onde période.................................................................................13

4.Phase à l'origine, retard de phase dû à la propagation.........................................................13

a.Conventions de signe....................................................................................................13

b.Phase à l'origine............................................................................................................14

d.Retard de propagation...................................................................................................14

5.Onde incidente et onde réfléchie.........................................................................................15

E.Ondes stationnaires................................................................................................................16

1.Représentation en fonction de x à des instants différents....................................................16

2.Noeuds et ventres.................................................................................................................17

d.Phase ............................................................................................................................17

F.Forme de la solution à adopter...............................................................................................17

1.Passage d'une forme à l'autre...............................................................................................17

a.Une onde stationnaire se décompose en une somme de deux ondes progressives.......17 b.Une onde progressive se décompose en une somme de deux ondes stationnaires.......18

2.Choix de la solution.............................................................................................................18

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G.P.Électromagnétisme Ondes2013

III.OPPM généralisation.................................................................................................................18

A.Introduction de la notation....................................................................................................18

B.Notation complexe................................................................................................................19

Chap 4.1: Ondes dans le vide.............................................................................................................21

I.Équations de MAXWELL............................................................................................................21

A.Les équations locales.............................................................................................................21

1.équation de MAXWELL-GAUSS.......................................................................................21

2.équation de MAXWELL-FARADAY.................................................................................21

3.équation de MAXWELL-flux.............................................................................................21

4.équation de MAXWELL-AMPÈRE....................................................................................21

B.Le couplage et l'existence prévisible d'ondes électromagnétiques........................................22

C.Les quatre équations intégrales correspondantes..................................................................22

1.Les théorèmes utiles............................................................................................................22

2.Les quatre équations intégrales...........................................................................................23

II.Équations de MAXWELL dans le vide......................................................................................24

A.Les équations locales dans le vide.........................................................................................24

1.équation de MAXWELL-GAUSS.......................................................................................24

2.équation de MAXWELL-FARADAY.................................................................................24

3.équation de MAXWELL-flux.............................................................................................24

4.équation de MAXWELL-AMPÈRE....................................................................................24

B.Les quatre équations intégrales correspondantes..................................................................24

III.Équations de propagation pour E et B.......................................................................................25

A.Champ électrique...................................................................................................................25

B.Champ magnétique................................................................................................................25

IV.Solutions en onde plane OP et onde plane progressive OPP.....................................................27

B.Résultats OPP........................................................................................................................27

C.Résultats OP..........................................................................................................................28

V.Le cas particulier de l'onde plane progressive monochromatique OPPM...................................28

C.Démonstration des résultats...................................................................................................30

1.Expression des opérateurs...................................................................................................30

2.Écriture des équations de MAXWELL pour l'OPPM.........................................................30

3.Équation de dispersion........................................................................................................32

a.À partir de l'équation de propagation............................................................................32

b.À partir de MF et MA...................................................................................................32

c.Vitesse de phase............................................................................................................33

VI.Paquet d'ondes...........................................................................................................................33

B.Vitesse de groupe...................................................................................................................34

B.Énergie pour une OPPM........................................................................................................36

1.Densité volumique d'énergie en J.m-3.................................................................................36

2/59

G.P.Électromagnétisme Ondes2013

2.Vecteur densité volumique de courant d'énergie électromagnétique ou vecteur de

POYNTING en Wm-2 ...........................................................................................................36

3.Vitesse de propagation de l'énergie.....................................................................................37

4.Grandeurs énergétiques moyennes dans le temps...............................................................37

C.Aspect corpusculaire.............................................................................................................38

Chap 4.2: Polarisation........................................................................................................................39

II.Les 3 cas de polarisation.............................................................................................................39

A.Polarisation rectiligne............................................................................................................39

B.Polarisation circulaire............................................................................................................39

C.Polarisation elliptique............................................................................................................40

A.Intensité pour une OPPM......................................................................................................40

B.La loi de MALUS..................................................................................................................40

C.Polarisation rectiligne d'une lumière naturelle (non polarisée).............................................40

Chap 4.3: Dispersion dans un plasma dilué........................................................................................42

II.Équation de dispersion................................................................................................................42

B.Équation de propagation dans un plasma..............................................................................42

C.Équation de dispersion..........................................................................................................43

D.Les deux cas..........................................................................................................................44

2.Onde évanescente................................................................................................................45

a.Vecteur k.......................................................................................................................45

b.Expression de E ...........................................................................................................45

c.Expression de B............................................................................................................45

d.Expression de π ............................................................................................................45

Chap 4.4: Réflexion sur un plan conducteur parfait...........................................................................47

I.Ondes incidente et réfléchie.........................................................................................................47

A.Onde incidente dans le vide..................................................................................................47

B.Onde réfléchie.......................................................................................................................47

II.Onde totale..................................................................................................................................47

B.Densités de charge et de courant apparues sur le plan..........................................................48

C.Noeuds et ventres...................................................................................................................48

D.Aspect énergétique................................................................................................................49

Chap 4.5: Guide d'onde......................................................................................................................50

I.Forme de la solution.....................................................................................................................50

II.Équation de dispersion................................................................................................................51

IV.Vitesse de propagation de l'énergie............................................................................................52

A.Utilisation des grandeurs complexes.....................................................................................52

1.Expression de la valeur moyenne dans le temps .....................................................52

2.Expression de la valeur moyenne dans le temps .......................................................53

B.Principe de calcul..................................................................................................................53

C.Calcul et résultat....................................................................................................................54

3/59

G.P.Électromagnétisme Ondes2013

Chap 4.6: Rayonnement du dipôle.....................................................................................................56

I.Expression du potentiel vecteur...................................................................................................56

II.Champ dans la zone de rayonnement.........................................................................................57

B.Les expressions de B et de E.................................................................................................58

C.Application: champ créé par une antenne.............................................................................58

Mis à jour 01/2013

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G.P.Électromagnétisme Ondes2013

Chap 4.0: Introduction aux ondes

I.Définition

A.Onde : phénomène de propagation d'une vibration, suite à une perturbation.

Une onde est une modification d'une propriété de l'espace variable à la fois dans l'espace et le

temps. On désigne la grandeur qui oscille, ou onde, parx,tdans le cas d'une onde à une

dimension d'espacex.

Le phénomène de propagation se traduit par le fait que la fonctionx,tdépend d'une

fonction couplant l'espace et le temps. Cette fonctionx,test appelée la phase de l'onde

progressive. Une surface de phase, encore appelée surface d'onde, est l'ensemble des points atteints

au même instant par l'onde (c'est donc l'ensemble des points vérifiantx,t=constanteà

tdonné).

B.Exemples

•Par exemple, pour une corde qui oscille, l'ondex,tcorrespond à la déformation

verticale à l'instant t du point de la corde situé à l'abscissex. Il ne faut pas confondre le déplacement de l'onde progressive (vers la droite sur l'exemple) et le déplacement du point de la corde (vers le haut sur l'exemple). •Par exemple, pour une onde sonore (tranches d'air qui vibrent) causée par une membrane de haut-parleur suffisamment grande pour que le phénomène dans la zone considérée puisse être considéré invariant selonyetz, le déplacement d'une tranche d'air est noté:

x,t. Les ondes sont des ondes planes. Il ne faut pas confondre le déplacement de

l'onde progressive qui parcourt des distances importantes et le déplacement d'une tranche d'air qui oscille très peu localement.

5/59xOnde

Y(x,t)Direction de propagation pour onde progressive

L'onde sur une corde est transversale

G.P.Électromagnétisme Ondes2013

II.Équation d'onde de LE ROND D'ALEMBERT

A.L'équation à une dimension

En négligeant notamment toute dissipation d'énergie (pas de frottement), ces ondes vérifient

l'équation de base des ondes ou équation de LE ROND D'ALEMBERT. C'est une équation différentielle aux dérivées partielles:∂2x,t ∂x2-1 c2 ∂2x,t

∂t2=0(si on ne s'était pas limité à une seule dimension d'espace:=x,y,z,ten

cartésiennes, on aurait écrit l'équation sous sa forme générale x,y,z,t-1 c2 ∂2x,y,z,t

∂t2=0où le delta ne signifie pas une différence finie entre deux valeurs mais désigne l'opérateur

Laplacien. En coordonnées cartésiennes

∂z2)

B.Propriétés

1.Renversement du temps, t-réversibilité

Six,test solution, alors

x,-test aussi solution. En quelque sorte, on filme le

phénomène et on passe le film à l'envers. Et rien ne choque, l'onde va en sens inverse en remontant

6/59xDirection de propagation pour onde progressive

L'onde acoustique est longitudinaleOnde

Y(x,t)

G.P.Électromagnétisme Ondes2013

le temps. Le phénomène de propagation d'onde décrit par l'équation de D'ALEMBERT est

réversible (cf: pas de dissipation). Ceci est dû à la non présence de dérivées d'ordre impair par

rapport àt.

Justification :

Dire que ici, il y adt2de sorte que le changement de signe sur dtne change rien, cela semble un peu court. On fait mieux.

Posons:

x,t=fx,t renvx,t=fx,-t(obtenu par renversement du temps en t=0) Donc: ∂t=f'tx,t∂ ∂x=f'xx,t ∂renv ∂t =∂fx,-t ∂-t×-1 =-f'tx,-t(chaque ordre de dérivation par rapport à tapporte un signe moins) ∂renv Si l'équation différentielle du phénomène était de la forme comme en thermique (diffusion): ∂2 ∂x2-1 a∂ ∂t=0 soit: f''x-1 af't=0cela donnerait (considérer pourx,-t) 7/59

G.P.Électromagnétisme Ondes2013

∂2renv ∂x21 a∂renv ∂t=0 donc,renvne vérifierait pas l'équation et la diffusion est irréversible. Ici, l'équation de propagation des ondes est réversible (la dérivée par rapport au temps est d'ordre deux).

2.Célérité de l'onde

Le termecqui apparait dans l'équation de D'ALEMBERT est homogène à une vitesse. On

démontrera par la suite quecest la célérité de l'onde (encore une fois, à ne pas confondre, par

exemple, pour une onde sur une corde, à la vitesse du point de la corde, à ne pas confondre pour une

onde de courant, à la vitesse des charges...etc)

Analyse dimensionnelle:∂2

∂x2=1 c2 ∂2 ∂t2donne: [L]2=1 [c]2[] [T]2 [c]2=L2T-2[c]=LT-1

C.Résolution pour des ondes monochromatiques

Une onde monochromatique, c'est une onde sinusoïdale dans le temps (on utilise aussi le mot:

harmonique), c'est à dire possédant une fréquence. On utilise souvent le terme monochromatique

par allusion à la lumière visible où chaque fréquence correspond à une couleur.

1.Intérêt des ondes monochromatiques

En fait toute onde se décompose en composantes sinusoïdales. Donc, on va se contenter ici d'étudier une composante.

(Toute fonction périodique peut être décomposée en une somme discrètes de fonctions

sinusoïdales : voir cours maths en L2 concernant la décomposition en série de FOURIER.

Cette décomposition s'étend au cas des fonctions non périodiques. Toute fonction sommable peut

être décomposée en une somme (continue) de fonctions sinusoïdales : voir cours maths en L3

concernant la transformée de FOURIER). 8/59

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2.Deux écritures possibles pour la solution

a.Notation complexe

On cherche donc des solutions de la forme:

avecpulsation (dimension:T-1, unité:rads-1) Le plus facile est de travailler avec les complexes associés:

On cherche donc des solutions de la forme

(attention aux notations) donc ∂x,t ∂t=jx,t et ∂2x,t ∂2x,t ∂t2=-2x,t b.Équation différentielle

L'équation des ondes devient successivement:

∂2x,t ∂x2-1 c2 ∂2x,t ∂t2=0∂2x,t ∂x2-1 c2∂2x,t ∂t2=0 ∂2x,t ∂x22 dx22 c2x=0 et en posant2=k2c2 aveck: grandeur du vecteur d'onde - souvent la norme - (dimension:L-1, unité: radm-1) d2x dx2k2x=0 9/59

G.P.Électromagnétisme Ondes2013

L'équation différentielle à résoudre est maintenant une équation différentielle ordinaire.

c.Résolution de l'équation différentielle

Rappel:

Résolution de l'équation différentielle

y''xk2yx=0

On essaye une solution en yx=csteexprxOn reporte et on obtient l'équation caractéristique

r2k2=0D'où deux solutions pourr r=±jk et une première écriture pour la solution: (ici aetbsont tels queyxsoit réel) puis en remarquant que une deuxième écriture pour la solution que l'on adopte généralement puisque tous les coefficients sont déjà réels

Icixest complexe. Les deux écritures possibles pour la solution ( rappelons que ces deux

écritures traduisent la même réalité physique) sont donc: soit en utilisant la notation exponentielle des complexes sous la forme a=aexp-jaet b=bexp-jb 10/59

G.P.Électromagnétisme Ondes2013

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