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21 août 2017 · Une onde peut être considérée comme la manifestation du comportement propagatif 2 Les ondes planes progressives harmoniques (OPPH)

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Onde plane progressive harmonique et onde stationnaire ❖ Expression littérale d'une OPPH : L'onde plane (à une dimension selon l'axe 0 par exemple), 

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Cas des ondes périodiques: longueur d'onde λ, fréquence ν = c/λ n=1, ν 1 = ν composante fondamentale, ou harmonique 1 n>1, ν n = n ν harmonique d'ordre  

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(5) sin 2 0 π λ λ L ⌈ ⌊│ ⌉ ⌋│ = ⇒ = 2L n l'onde correspondant à n = 1 s' appelle vibration fondamentale ou 1 ère harmonique n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 λ1

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Cette ´equation d´ecrit le profil d'une onde harmonique fig´ee au temps t = 0 Le profil se r´ep`ete avec une p´eriode d'espace ´egale `a la longueur d'onde,λ;

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7 *Etude d'une onde harmonique A Onde progressive On considère une corde tendue de masse linéique μ=10 

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Chapitre 3 Structure des ondes planes progressives harmoniques 3 1 Notation complexe A toute solution a(M,t) = Acos (ωt − k · r − φ) on associe le champ

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Les différentes ondes harmoniques se différencient par les expressions de Ψ 0 ( r) et de +ϕ 0 Cas d'une onde se propageant selon les z positifs on a: 

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La vitesse de propagation d'une onde de nature déterminée dépend en Lorsque deux ondes harmoniques de même direction et de même fréquence se

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Chapitre 3

Structure des ondes planes

progressives harmoniques

3.1 Notation complexe

A toute solutiona(M,t) =Acos(ωt-k·r-φ) on associe le champ complexe donta(M,t) est la partie r´eelle et d´efinie par : a(M,t) =a(M,t) +ia(M,t-T/4) =Aexp[i(ωt-k·r-φ)] Alors en explicitantk·r=kxx+kyy+kzz, on obtient : ∂a∂t =iωa; ∂a∂x =-ikxa; ∂a∂y =-ikya; ∂a∂z =-ikzaCes r´esultats peuvent se regrouper `a l"aide de l"op´erateur nabla : ∂∂t =iω;?=-ik Pour une OemPPH, on associe un champ complexe en passant en no- tation complexe toutes les composantes du champ ´electromagn´etique. En regroupant les amplitudes et les phases `a l"origine dans deux vecteurs `a composantes complexesE0 etB0 , les champs complexes d"une OemPPH sont de la forme : E=E0 exp[i(ωt-k·r)] ;B=B0 exp[i(ωt-k·r)] 1

2CHAPITRE 3. STRUCTURE DES ONDES PLANES PROGRESSIVES HARMONIQUES

3.2 Structure des ondes planes progressives har-

moniques dans le vide Ici, nous exploitons directement les ´equations de Maxwell en notation complexe. En utilisant l"op´erateur?particuli`erement efficace ici, ces´equations s"´ecrivent en l"absence de charges et de courants : ? ·E= 0 ;? ?E=-∂B∂t ;? ·B= 0 ;? ?B=?0μ0∂B∂t Apr`es transcription en notation complexe, il vient :

-ik·E= 0 ;-ik?E=-iωB;-ik·B= 0 ;-ik?B=i?0μ0ωELa transcription de l"´equation de Maxwell-Gauss impose :k·E= 0, soit

aveck=ku,u·E= 0. En prenant la partie r´eelle, nous obtenons alors : ?(u·E) = 0 soitu· ?(E) = 0 puisu·E= 0 Ainsi le champ ´electriqueEest `a tout instant perpendiculaire `a la direction de propagationu: on dit que les ondes ´el´ectromagn´etiques planes progessives harmoniques dans le vide sont transverses ´electriques. La transcription de l"´equation de conservation du flux magn´etique conduit, avec des calculs strictement analogues, `a la condition : u·B= 0 Ainsi le champ magn´etiqueBest `a tout instant perpendiculaire `a la direction de propagationu: on dit que les ondes ´el´ectromagn´etiques planes progessives harmoniques dans le vide sont transverses ´electriques. Les champsEetB ´etant tout deux perpendiculaires `a la direction de propagationu, on dit que les ondes ´el´ectromagn´etiques planes progessives harmoniques dans le vide sont transversales. Les transcriptions de l"´equation de Maxwell-Faraday et de Maxwell-

Amp`ere s"´ecrivent apr`es simplification :

B= kω u?E;-1c 2E= kω u?BEn ´eliminantB, il vient : ku??kω u?E? =-ωc 2E

3.2. STRUCTURE DES ONDES PLANES PROGRESSIVES HARMONIQUES DANS LE VIDE3

En d´eveloppant le double produit vectoriel :

u?(u?E) = (u·E)u-(u·u)E=-Eil vient : -k2ω

E=-ωc

2Esoitk2=ω2c

2 Nous obtenons ainsi la relation de dispersion liantketω, et qui apparaˆıt ici comme la condition de compatibilit´e des quatre ´equations de Maxwell : k=ωc Cette relation de dispersion est conforme `a ce que nous attendions d"apr`es le chapitre pr´ec´edent pour une solution harmonique des ´equations de D"Alem- bert. En rempla¸cant enfin dans la transcription de l"´equation de Maxwell- Faraday, nous obtenons une relation entre les champs ´electrique et magn´e- tique : B= kω u?E= u?Ec

En prenant les parties r´eelles, il vient :

B=?(B) =??u?Ec

=uc ? ?(E) = u?Ec

Soit finalement :

B=u?Ec

Cette relation montre d"abord que le tri`edre (u,E,B) est un tri`edre orthogonal direct. En outre le rapport des champs vaut :

E(M,t)B(M,t)=c

de telle sorte que le champ ´electrique et le champ magn´etique d"une onde ´electromagn´etique plane progressive harmonique dans le vide sont en phase. L"ensemble de ces r´esultats constitue la structure des ondes ´electroma- gn´etiques planes progressives harmoniques dans le vide. Il importe `a la fois de les connaˆıtre parfaitement pour les utiliser directement, mais aussi de prendre garde `a ne les utiliser que dans ce cas l`a! Notons toutefois que cette structure ne fait pas apparaˆıtre la pulsationω. D"apr`es l"analyse de Fou- rier, toute onde ´electromagn´etique plane progressive est une somme d"ondes

4CHAPITRE 3. STRUCTURE DES ONDES PLANES PROGRESSIVES HARMONIQUES

´electromagn´etiques planes progressives harmoniques ayant toutes la mˆeme direction de propagationuet des pulsationsωdiff´erentes. Ainsi, les r´esultats obtenus pour les ondes ´electromagn´etiques planes progressives harmoniques s"´etendent par sommation aux ondes ´electromagn´etiques planes progressives non n´ecessairement harmoniques.

3.3 Polarisation des ondes planes progressives har-

moniques La structure des OemPPH laisse ind´etermin´ee la direction du champ ´electriqueEdans le plan perpendiculaire `a la direction de propagationu. Cette direction est appel´ee direction de polarisation de l"onde. Notons qu"une fois que cette direction est connue, celle deBest d´etermin´ee par la structure des ondes OemPPH. Prenons un tri`edre cart´esien, dontuxsoit la direction de propagation de l"OemPPH. Par d´efinition le champ ´electrique est de la forme : E=0 E

0ycos(ωt-kx)E

0zcos(ωt-kx-φ)

o`u on a choisi l"origine des temps de mani`ere `a prendre nulle une des phases `a l"origine. Dans le cas le plus g´en´eral, le champ ´electriqueEd"une onde OemPPH d´ecrit en un point donn´e une ellipse avec une p´eriode ´egale `a celle de l"onde; on dit que l"onde est polaris´ee elliptiquement. Si de plus, l"ellipse est d´ecrite dans le sens trigonom´etrique autour du vecteuru, on dit que la polarisation est elliptique-gauche (PEgen abr´eg´e); si l"ellipse est d´ecrite dans le sens des aiguilles d"une montre, la polarisation est dite elliptique-droite (PEden abr´eg´e). Attention, cette convention est celle des opticiens. Les physiciens des particules ont opt´e pour la convention inverse! Par rotation des axesuyetuz, on peut toujours se ramener au cas d"une ellipse d"axesuyetuzet mettre le champ ´electrique sous la forme : E=0 E

0ycos(ωt-kx)±E0zsin(ωt-kx)

Le signe + repr´esente le cas d"unePEget le signe-le cas d"unePEd.

3.4. PROPAGATION DE L"

´ENERGIE DES OEMPPH5

Dans le cas particulier o`u les deux composantes du champ ont mˆeme amplitude, on obtient des polarisations circulaires-droites (PCden abr´eg´e) et circulaire-gauches (PCgen abr´eg´e) : PC g(+) etPCd(-) :E=0 E

0cos(ωt-kx)±E0sin(ωt-kx)

Enfin lorsqueφ= 0, l"ellipse se r´eduit `a un segment. On dit que la polarisation est rectiligne (PRen abr´eg´e) et le champ ´electrique est de la forme :

PR:E=E0cos(ωt-k·r-φ)

Si le cas le plus g´en´eral est bien la polarisation elliptique, il importe de remarquer qu"une onde polaris´ee elliptiquement se d´ecompose en deux ondes polaris´ees rectilignement dans des directions orthogonales. Ainsi, toute onde ´electromagn´etique dans le vide est une superposition d"ondes planes pro- gressives harmoniques polaris´ees rectilignement : l"OemPPHPRapparaˆıt comme le maillon ´el´ementaire de la th´eorie des ondes ´electromagn´etiques dans le vide. Il est parfois commode de caract´eriser la nature de la polarisation d"une OemPPH en notation complexe. Pour une onde de la formeE=E0 exp[i(ωt-k·r)], on a : PE:E0 quelconque ;PR:E0 =E0r´eel PC g:E0 =E0(uy-iuz);PCd:E0 =E0(uy+iuz)

3.4 Propagation de l"´energie des OemPPH

3.4.1 Puissance fournie par un champ ´electromagn´etique `a

des porteurs de charges Consid´erons une distribution de charges et de courants [ρ;j] soumise `a un champ ´electromagn´etique [E;B] non n´ecessairement cr´e´e par elle-mˆeme. Une chargeqide cette distribution subit la force de Lorentz :quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7