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Racines carrées.
1. Généralités :
a) Définition : b) Notation. c) Exemples.2. Propriétés.
a) Produits de 2 racines carrées. b) Quotient de 2 racines carrées. c) Lien avec les puissances. d) Modification d"écritures avec des radicaux au dénominateur.3. Exercices de bases corrigés.
4.Exercices non corrigés.
5.Approfondissement.
1. Généralités :
a) Définition : soit aun nombre positif ou nul.On appelle racine carrée de
a le nombre positif dont le carré est égal à a Cette définition se traduit en écritures mathématiques par :2a a a a´ = =
20,9 0,9=
2p p= 8 8 8´ = Pour 0:x>
20,7 0,7
x x=Remarque : il est essentiel d"acquérir cet automatisme pour se simplifier les écritures mathématiques.
b)Notation : on note la racine carrée de a para.
Le symbole "
» est le symbole " radical ».
c) Exemples : Des racines entières (entier naturel) : 2 220 0 0 0
4 16 16 4
9 81 81 9
2 221 1 1 111 121 121 11
450 202500 202500 450
Des racines décimales : 220,1 0,01 0,01 0,1
3,5 12,25 12,25 3,5
220,05 0,0025 0,0025 0,05
27,43 752,4049 752,4049 27,43
Des racines rationnelles. :23 9 9 3
5 25 25 5
Des racines irrationnelles : l"écriture la plus simple de la racine carrée de 2 est2.2. Propriétés.
a) Produits de 2 racines carrées : ab a b a b= ´ = ´En conséquence :
22a a a a a a a= ´ = ´ = =
Automatismes à acquérir :Il est essentiel de connaître sa table des carrés pour se simplifier les écritures mathématiques
avec radicaux quand celles-ci font apparaître des racines carrés de carrés de nombre entier 222 2 2
21 1 1 1
2 4 2 2
3 9 3 3
222 2 2
24 16 4 4
5 25 5 5
6 36 6 6
222 2 2 2 2
27 49 7 7
8 64 8 8
9 81 9 9
10 100 10 10
Il faut connaître par coeur la série suivante : 1 1 4 2 9 3 16 4 25 536 6
49 7
64 8
81 9
100 10
Exemples d"application : 3216 2 16 2 4 2 4 2a a a a a== ´= ´= ´
4 75 6 12 3
4 25 3 6 4 3 3
4 25 3 6 4 3 3
4 5 3 6 2 3 3
20 3 12 3 1 3
3 20 12 1
9 3b b b b b bb= - += ´ - ´ += ´ ´ - ´ ´ += ´ ´ - ´ ´ += ´ - ´ + ´= ´ - +
25 2 15
5 2 5 3
5 2 5 3
2 5 3 2 5 3 10 3c c c c c c= ´= ´ ´ ´= ´ ´ ´= ´ ´= ´ ´ ()3 2 2 53 2 2 3 2 5
3 2 15 2
6 15 2d
d d d= -60 30 50
2 30 30 2 25
2 30 5
300ee e e= ´ ´= ´ ´ ´ ´= ´ ´ 20 2 4 5 2 2 5 2 5f f f f= b)
Quotient de 2 racines carrées :
Pour a o³et 0b> : a a bb= 9 9 325 525= = 1 1 1
4 24= =
c)Lien avec les puissances :
On remarque que les formules relatives aux racines carrées sont des extensions des formules relatives
aux puissances d"un nombre appliquées aux racines carrées. nn nab a b= ´ et ab a b= ´ ( 0a³et0)b³ nn na a b b a a bb= ( 0a³et0)b>En fait, au lycée, tu apprendras que pour
120:a a a³ =
d) Modification d"écritures avec des radicaux au dénominateur : Une règle d"écriture veut de ne jamais avoir de radicaux en dénominateur.Ainsi, une écriture telle que
32est à transformer.
Il suffit de multiplier numérateur et dénominateur par un même facteur pour avoir 2 écritures
différentes de 32. On va bien sûr multiplier numérateur et dénominateur par 3.
3 3 2 3 2
22 2 2´= =´ Généralisation :
a c a c a c d a cd b d bdb d b d d´= = =´ ´3. Exercices de bases corrigés.
a) Sans calculatrice, donne l"écriture la plus simple des nombres ci-dessous. 648 a a 64 36
8 6 14
b b 22,52,5 c c= 2d d p p 2 22
3 2 3 2
9 2 18
e e e== ´= ´ = 259 25 5
39f
f= 27
7 g g= -= - 23
9 3f f f= - b) Donne l"écriture la plus simple des nombres suivants. 2 2 2 2 2052
20 52
20 54