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9 1 4 Polynômes irréductibles et factorisation les résultats obtenus sous la forme d'une image, d'un volume, ou d'une riable symbolique de même nom, et renvoie comme résultat cette variable Sans forme normale, les systèmes ne peuvent que donner (Un calcul de somme par récurrence) Calculer sans utiliser

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[PDF] cours

5 5 Polynômes irréductibles beaucoup de rigueur, le résultat peut s'avérer désastreux nous pourrons l'écrire sous forme “développée”, c'est à dire, sans l' abréger, mais verrons plus tard que l'on pourra donner des valeurs négatives calculer la somme des n + 1 premiers termes des éléments dont le suivant est

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matiques à se demander si B divise A ou non, i e si l'on peut écrire : A = BC On divise 7X5 par X2 (résultat 7X3), puis on De telles décompositions sont appelées factorisations irréductibles sur est déjà sous Forme de la décomposition en éléments simples sur : On peut montrer que pour certains a, b, c,d,e, f, g,h ∈ :

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tion seulement n'a pas été présentée encore sous la forme extrêmement simple on pourra donc calculer cette racine avec tel degré d'ap- proximation qu'on

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27 avr 2016 · Calculer A en détaillant les calculs et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible 2 Calculer B en utilisant les règles de calcul sur

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6 oct 2009 · On met devant le résultat le signe commun aux deux nombres Exemple : Pour calculer le produit 4×6×25, la manière la plus rapide de matiques comme Option 1 On peut donc donner le signe de ax + b sous forme de tableau Exercice 43 : *** Écrire sous forme de fractions irréductibles le nombre

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Calcul mathématique avec Sage

Alexandre Casamayou Guillaume Connan Thierry Dumont Laurent Fousse François Maltey Matthias Meulien Marc Mezzarobba Clément Pernet Nicolas M. Thiéry

Paul Zimmermann

Version 1.0 - Juillet 2010

Calcul mathématique avec Sage1Cet ouvrage est diffusé sous la licence Creative Commons " Paternité-

Partage des Conditions Initiales à l"Identique 2.0 France ». Extrait de

Vous êtes libres :

de reproduire, distribuer et communiquer cette création au public, de mo difiercette cré ation; selon les conditions suivantes : Paternité. Vous devez citer le nom de l"auteur original de la manière indiquée par l"auteur de l"oeuvre ou le titulaire des droits qui vous confère cette autorisation (mais pas d"une manière qui suggérerait qu"ils vous soutiennent ou approuvent votre utilisation de l"oeuvre). Partage des Conditions Initiales à l"Identique. Si vous modifiez, transformez ou adaptez cette création, vous n"avez le droit de distribuer la création qui en résulte que sous un contrat identique à celui-ci. À chaque réutilisation ou distribution de cette création, vous devez faire apparaître clairement au public les conditions contractuelles de sa mise à disposition. La meilleure manière de les indiquer est un lien vers cette page web. Chacune de ces conditions peut être levée si vous obtenez l"autorisation du titulaire des droits sur cette oeuvre. Rien dans ce contrat ne diminue ou ne restreint le droit moral de l"auteur ou des auteurs. Des parties de cet ouvrage sont inspirées de l"ouvrageCalcul formel : mode d"emploi. Exemples en Maplede Philippe Dumas, Claude Gomez, Bruno Salvy et Paul Zimmermann [DGSZ95], diffusé sous la même licence, notamment les sections 1.6 et 2.1.2 , et la section 2.3.5 Une partie des exemplesSagede la section12 son ttirés du tutoriel de MuPAD-Combinat[HT04] etSage-combinat. Le dénombrement des arbres binaires complets de §

12.1.2

est en partie inspiré d "unsujet de TP de Floren t

Hivert.

L"exercice

9 sur le problème de Gauss est tiré d"un problème d eF rançois

Pantigny et l"exercice

17 sur l"effet Magn usest extrait d"un TD de Jean-Guy

Stoliaroff.

PréfaceCe livre est destiné à tous ceux qui désirent utiliser efficacement un système de calcul mathématique, en particulier le logicielSage. Ces systèmes offrent une multitude de fonctionnalités, et trouver comment résoudre un problème donné n"est pas toujours facile. Un manuel de référence fournit une description analytique et en détail de chaque fonction du système; encore faut-il savoir le nom de la fonction que l"on cherche! Le point de vue adopté ici est complémentaire, en donnant une vision globale et synthétique, avec un accent sur les mathématiques sous-jacentes, les classes de problèmes que l"on sait résoudre et les algorithmes correspondants. La première partie, plus spécifique au logicielSage, constitue une prise en main du système. Cette partie se veut accessible aux élèves de lycée, et donc a fortiori aux étudiants de BTS et de licence. Les autres parties s"adressent à des étudiants au niveau agrégation, et sont d"ailleurs organisées en suivant le programme de l"épreuve de modélisation de l"agrégation de mathématiques. Contrairement à un manuel de référence, les concepts mathématiques sont clairement énoncés avant d"illustrer leur mise en oeuvre avecSage. Ce livre est donc aussi un livre sur les mathématiques. Pour illustrer cet ouvrage, le choix s"est porté naturellement versSage, car c"est un logiciel libre, que tout un chacun peut librement utiliser, modifier et redistribuer. Ainsi l"élève qui a apprisSageau lycée pourra l"utiliser quelle que soit sa voie professionnelle : en licence, Master, doctorat, en école d"ingénieur, en entreprise, ...Sageest un logiciel encore jeune par rapport aux logiciels concurrents, et malgré ses capacités déjà étendues, comporte encore de nombreusesbogues. Mais par sa communauté très active de développeurs, Sageévolue très vite. Chaque utilisateur deSagepeut rapporter une bogue - et éventuellement sa solution - surtrac.sagemath.orgou via la liste sage-support. Pour rédiger ce livre, nous avons utilisé la version 4.4.4 deSage. Néan- moins, les exemples doivent fonctionner avec toute version ultérieure. Par contre, certaines affirmations peuvent ne plus être vérifiées, comme par exemple le fait queSageutilise Maxima pour évaluer des intégrales numé- riques. Quand j"ai proposé en décembre 2009 à Alexandre Casamayou, Guillaume Connan, Thierry Dumont, Laurent Fousse, François Maltey, Matthias Meu- 2

Calcul mathématique avec Sage3lien, Marc Mezzarobba, Clément Pernet et Nicolas Thiéry d"écrire un livre sur

Sage, tous ont répondu présent, malgré une charge de travail déjà importante. Je tiens à les remercier, notamment pour le respect du planning serré que j"avais fixé. Tous les auteurs remercient les personnes suivantes qui ont relu une version préliminaire de ce livre : Gaëtan Bisson, Françoise Jung; ainsi qu"Emmanuel Thomé pour son aide précieuse lors de la réalisation de ce livre, et Sylvain

Chevillard pour ses conseils typographiques.

En rédigeant ce livre, nous avons beaucoup appris surSage, nous avons bien sûr rencontré quelques bogues, dont certaines sont déjà corrigées. Nous espérons que ce livre sera utile à d"autres, lycéens, étudiants, professeurs, ingénieurs, chercheurs, ... Cette première version comportant certainement de nombreuses imperfections, nous attendons en retour du lecteur qu"il nous fasse part de toute erreur, critique ou suggestion pour une version ultérieure; merci d"utiliser pour cela la pagesagebook.gforge.inria.fr.

Villers-lès-Nancy, France

juillet 2010Paul Zimmermann

Table des matières

I Prise en main du logiciel

1 Premiers pas avecSage10

1.1 Le logicielSage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

1.1.1 Un outil pour les mathématiques

1.1.2 Accès àSage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.2 Premier calcul, aide en ligne et complétion

1.3 Syntaxe générale

1.4 Variables

1.4.1 Variables et affectations

1.4.2 Variables symboliques

1.5 Calcul formel et méthodes numériques

1.6 Classes et classes normales

1.7 Les classes élémentaires

1.8 Autres classes à forme normale

2 Analyse et algèbre avecSage25

2.1 Simplification d"expressions symboliques

2.1.1 Expressions symboliques et fonctions symboliques

2.1.2 Expressions complexes et simplification

2.1.3 Hypothèses sur une variable symbolique

2.2 Équations

2.3 Analyse

2.3.1 Sommes et produits

2.3.2 Limites

2.3.3 Suites

2.3.4 Développements limités

2.3.5 Séries

2.3.6 Dérivation

2.3.7 Dérivées partielles

2.3.8 Intégration

2.3.9 Récapitulatif des fonctions utiles en analyse

2.4 Algèbre linéaire élémentaire

2.4.1 Résolution de systèmes linéaires

42
4

Calcul mathématique avec Sage5

2.4.2 Calcul vectoriel

2.4.3 Calcul matriciel

3 Programmation et structures de données

3.1 Algorithmique

3.1.1 Les boucles

3.1.2 Les tests

3.1.3 Les procédures et les fonctions

3.1.4 Algorithme d"exponentiation rapide

3.1.5 Affichage et saisie

3.2 Listes et structures composées

3.2.1 Définition des listes et accès aux éléments

3.2.2 Opérations globales sur les listes

3.2.3 Principales méthodes sur les listes

3.2.4 Exemples de manipulation de listes

3.2.5 Chaînes de caractères

3.2.6 Structure partagée ou dupliquée

3.2.7 Données modifiables ou immuables

3.2.8 Ensembles finis

3.2.9 Dictionnaires

4 Graphiques

4.1 Courbes en 2D

4.1.1 Représentation graphique de fonctions

4.1.2 Courbes paramétrées

4.1.3 Courbes en coordonnées polaires

4.1.4 Courbe définie par une équation implicite

4.1.5 Tracé de données

4.1.6 Tracé de solution d"équation différentielle

4.1.7 Développée d"une courbe

4.2 Courbes en 3D

II Calcul numérique

5 Algèbre linéaire numérique

5.1 Calculs inexacts en algèbre linéaire

5.2 Matrices pleines

102

5.2.1 Résolution de systèmes linéaires

102

5.2.2 Résolution directe

103

5.2.3 La décompositionLU. . . . . . . . . . . . . . . . . .103

5.2.4La décomposition de Cholesky des matrices réelles

symétriques définies positives 104

5.2.5 La décompositionQR. . . . . . . . . . . . . . . . . .105

Calcul mathématique avec Sage6

5.2.6 La décomposition en valeurs singulières

105

5.2.7 Application aux moindres carrés

106

5.2.8 Valeurs propres, vecteurs propres

110

5.2.9 Ajustement polynomial : le retour du diable

115

5.2.10Implantation et performances (pour les calculs avec

des matrices pleines) 118

5.3 Matrices creuses

119

5.3.1 Origine des systèmes creux

119

5.3.2 Sage et les matrices creuses

120

5.3.3 Résolution de systèmes linéaires

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