1) Hypoth`ese Statistique : Soit l'hypoth`ese nulle que nous notons H0 : H0 : µ = µ0 (ex : la durée moyenne de la semaine de travail est de 54 heures) et soit la
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logo.epsTest d'Hypothese1:6=0RejeterH0siZ > z=2ouZ
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logo.epsTest d'Hypothese
Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 1
logo.epsObjectif: On veut porter un jugement sur une hypothese statistique relative a la valeur particuliere d'un parametre d'une population specique. Ce jugement est base sur les resultats d'un echantillon preleve dans cette population et d'un certain risque d'erreur que nous acceptons de courir.Principe:
La construction d'un test d'hypothese consiste eectivement a determiner entre quelles valeurs peut varier la statistique (ou l'ecart reduit) en supposant l'hypothese vraie, sur la seule consideration du hasard de l'echantillonnage.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 2
logo.epsExemple: Verication de la duree moyenne de la semaine de travail de dirigeants de PME. Selon l'enqu^ete, la duree moyenne de la semaine de travail de ces dirigeants est de 54 heures. On aimerait verier cette armation au pres d'un echantillon aleatoire de dirigeants de PME en Tunisie. En supposant que le traitement des resultats de l'echantillon donne une valeur moyenne de 51 heures comme semaine de travail, peut-on considerer que l'ecart entre les deux resultats (l'ecart54-51= 3 heures) est uniquement imputable a l'hasard de
l'echantillonnage? Cette approche repose sur deux notions importantes celled'hypothese statistiqueet celle deseuil de signication.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 3
logo.eps1) Hypothese Statistique :Soit l'hypothese nulle que nous notonsH0:
H0:=0(ex : la duree moyenne de la semaine de travail est de
54 heures) et soit la contre-hypothese (ou hypothese alternative)
que nous notonsH1: H1:6=0(ex : la duree moyenne de la semaine de travail n'est
pas de 54 heures). C'est le cas d'un test bilateral.Remarque: SiH1: > 0ouH1: < 0on est dans un cas de
test unilateral a droite ou unilateral a gauche respectivement. Les resultats de l'echantillon vont nous permettre de rejeter ou de ne pas rejeterH0.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 4 logo.eps2) Seuil de signication d'un test d'hypothese : Le risque consenti a l'avance, que nous notons, est de rejeter a tort l'hypothese nulleH0alors qu'elle est vraie (et de favoriser alors l'hypothese alternativeH1). La quantites'appelle le seuil de signication du test et s'enonce en probabilite comme suit : =P(rejeterH0=H0est vraie): A ce seuil de signication on fait correspondre une region de rejet de l'hypothese nulle (appelee region critique). L'aire de cette region correspond a la probabilite. Exemple: Si= 0:05, cela signie que l'on admet que la statistique peut prendre dans5%des cas une valeur se situant dans la region de rejet bien que l'hypotheseH0soit veriee. Il y a aussi une region complementaire dite region de non rejet de H0appelee region d'acceptation de probabilite1.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 5
logo.epsDans un test d'hypothese on ne peut jamais ^etre certain que l'hypothese nulle doit ^etre rejetee ou non. Les risques de se tromper sont resumes dans le tableau suivant :Ne pas rejeterH0RejeterH0H0est vraieBonne decisionMauvaise decision
Erreur de type I
=P(commettre cette erreur)=risque de premiere especeH0est fausseMauvaise decisionBonne decision
Erreur de type II
=P(commettre cette erreur)=risque de deuxieme especeProbabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 6 logo.epsNous denissons les risques de premiere espece et de deuxieme espece comme suit : Risque de premiere espece: Le risque de rejeter a tort l'hypotheseH0et de favoriser l'hypothese alternativeH1s'appelle risque de premiere espece ou seuil de signication du test. Ce risque noteest xe a l'avance (avant de recueillir les donnees). Risque de deuxieme espece: Le risque de ne pas rejeterH0alorsqu'elle est fausse s'appelle risque deuxieme espece et est note.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 7
logo.eps3) Test sur une moyenne : Generalement, quand on est amene a comparer une moyennea une norme0, on est confronte a trois cas (selon la taille de l'echantillon et le fait de conna^tre ou pas la variance de celui-ci) :1ercas :Grand echantillon (n >30) preleve au hasard dans une population
de variance connue2dans ce casZ=Xn0pn suit approximativement la loi normale centree reduite. Hypothese nulle :H0:=0Contre-hypothesesRegles de decision du test H1:6=0RejeterH0siZ > z=2ouZ 1: > 0RejeterH0siZ > zH
1: < 0RejeterH0siZ logo.eps2 emecas :Grand echantillon (n >30) preleve au hasard dans une population suivant la loi normale de variance inconnue dans ce cas Z=Xn0spn
suit approximativement la loi normale centree reduite ets2=P(XiXn)2n1. Hypothese nulle :H0:=0Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:6=0RejeterH0siZ > z=2ouZ 1: > 0RejeterH0siZ > zH
1: < 0RejeterH0siZ logo.eps3 emecas :Echantillon de petite taille (n <30) preleve au hasard dans une population suivant la loi normale de variance inconnue dans ce cas l'ecart reduitT=Xn0spn suit la loi de Student a(n1)degres de liberte. Hypothese nulle :H0:=0Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:6=0RejeterH0siT > t=2;n1ouT 1: > 0RejeterH0siT > t;n1H
1: < 0RejeterH0siT logo.epsFigure{Zones de rejet et de non-rejetProbabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 11 logo.epsExemple: D'apres une societe conseil, le salaire annuel moyen d'administrateur de banques de donnees serait de 49738 Euros. Une enqu^ete eectuee aupres d'un organisme sur un echantillon aleatoire de 36 entreprises de ce secteur donne les resultats suivants concernant la remuneration des administrateurs de banque de donnees : Salaire moyen : 50200 Euros
Ecart type : 1560 Euros
Est-ce que les resultats de cette enqu^ete permettraient de supporter l'armation de cette societe conseil? Utiliser un seuil de signication de= 0:05Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 12 logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:= 49738
H 1:6= 49738
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
Grand echantillon (n30) provenant d'une population de variance connue. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test estXnl'ecart reduit est Z=Xn0pn
ou0= 49738etZsuit la loiN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 13 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05les valeurs critiques de l'ecart reduit sontz=2= 1:96etz=2=1:96(test bilateral). On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0siZ >1:96ouZ <1:96, sinon ne pas rejeterH0. 6- Calcul de l'ecart reduit:
PuisqueXn= 50200,= 1560etn= 36, donc :
Z=p36 50200497381560
= 462=260 = 1:77 7- Decision et conclusion:
La valeur deZ= 1:77se situe dans la region de non-rejet deH0 donc on ne peut rejeter l'armation de la societe conseil. L'ecart observe entreXnet0soit (50200- 49738= 462), n'est pas statistiquement signicatif au seuil= 0:05.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 14 logo.eps4) Test sur une variance On se propose de tester si la variance2d'elements d'une population gaussienne peut ^etre consideree ou non comme egale a une valeur hypothetique20. La statistique associee a ce test est notee2=(n1)s2 20et est
distribuee selon la loi du2avecn1degres de liberte.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 15 logo.epsLe tableau suivant resume dans le cas d'un test sur une variance les regles de decision selon les hypothesesH1pour le seuil de signication. Hypothese nulle :H0:2=20Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:26=20RejeterH0si2> 2
=2;n1ou2< 2 1=2;n1H
1:2> 20RejeterH0si2> 2;n1H
1:2< 20RejeterH0si2< 21;n1Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 16
logo.epsFigure{Zones de rejet et de non-rejetProbabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 17 logo.epsExemple: Selon la responsable de l'application de tests d'evaluation de l'entreprise PMX, la variabilite des resultats aux tests de dexterite n'excede pas 144 (= 12). Les resultats a ce test obtenus par un echantillon aleatoire de20 employes donnent une somme de carres des ecarts par rapport a la moyenne de2952. On suppose que l'echantillon aleatoire provient d'une population normale. L'hypothese selon laquelle2n'excede pas144est-elle acceptable au seuil de signication= 0:05? Eectuer le test selon la demarche usuelle (7 etapes). Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 18
logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:2= 144
H 1:2>144
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
Echantillon aleatoire provenant d'une population normale. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test en supposantH0vraie est 2=(n1)s2
20ou20= 144. La quantite2est distibuee selon la loi
de khi-deux a19 (201)degres de liberte.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 19 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05la valeur critique de2est 20:05;19= 30:1435(test unilateral a droite).
On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0si2>30:1435, sinon ne pas rejeterH0.
6- Calcul de l'ecart reduit:
On aP(XiXn)2= (n1)s2= 2952,n= 20et20= 144.
Le calcul de2donne :2=2952144
= 20:5. 7- Decision et conclusion:
Puisque2= 20:5<30:1435, on ne peut rejeterH0. La dispersion des resultats au test de dexterite semble correspondre a la norme requise. Au risque de se tromper5fois sur100, il n'est pas invraisemblable d'observer une variance de2952=19 = 155:37dans un echantillon de taillen= 20lorsqu'on admet que la variance de la population est144. Cette valeur experimentale ne permet pas d'ecarter l'hypothese selon laquelle2= 144.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 20 logo.eps5) Test sur une proportion : On se propose de tester si la proportionpd'elements de la population presentant un certain caractere qualitatif peut ^etre considere ou non comme egale a une valeur hypothetiquep0. Hypothese nulle :H0:p=p0
Hypothese alternative :H1:p6=p0(p > p0oup < p0)
Soit un echantillon de grande taille(n >30)preleve au hasard d'une population binomiale de sorte quenp5etn(1p)5 dans ce cas l'ecart reduitZ=^pp0qp 0(1p0)n
est distribue selon la loi normaleN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 21 logo.epsLe tableau suivant resume dans le cas d'un test sur une proportion les regles de decision selon les hypothesesH1pour le seuil de signication. Hypothese nulle :H0:p=p0Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:p6=p0RejeterH0siZ > z=2ouZ 1:p > p0RejeterH0siZ > zH
1:p < p0RejeterH0siZ logo.epsExemple: Un cadre d'une societe conseil arme que36%des entreprises ont recu des commandes par internet. Une enqu^ete sur le commerce electronique par les entreprises indique que sur un echantillon de 256 entreprises 96 font du commerce electronique. Peut-on considerer, au seuil de signication de5%que l'armation du conseiller est vraisemblable? Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 23
logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:p= 0:36
H 1:p6= 0:36
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
np5,n(1p)5etn >30. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test est^pl'ecart reduit est Z=^pp0qp
0(1p0)n
oup0= 0:36etZsuit la loiN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 24 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05les valeurs critiques de l'ecart reduit sontz=2= 1:96etz=2=1:96( test bilateral). On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0siZ >1:96ouZ <1:96sinon ne pas rejeterH0. 6- Calcul de l'ecart reduit:
^p= 96=256 = 0;375etZ=0:3750:36q0:36(0:64)256 = 0:5 7- Decision et conclusion:
Puisque la valeur prise parZest0:5et que1:96<0:5<1:96on ne peut rejeter l'hypothese nulleH0, donc l'armation du conseiller est vraisemblable au seuil de signication de= 5%.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 25
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
1: > 0RejeterH0siZ > zH
1: < 0RejeterH0siZ logo.eps2 emecas :Grand echantillon (n >30) preleve au hasard dans une population suivant la loi normale de variance inconnue dans ce cas Z=Xn0spn
suit approximativement la loi normale centree reduite ets2=P(XiXn)2n1. Hypothese nulle :H0:=0Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:6=0RejeterH0siZ > z=2ouZ 1: > 0RejeterH0siZ > zH
1: < 0RejeterH0siZ logo.eps3 emecas :Echantillon de petite taille (n <30) preleve au hasard dans une population suivant la loi normale de variance inconnue dans ce cas l'ecart reduitT=Xn0spn suit la loi de Student a(n1)degres de liberte. Hypothese nulle :H0:=0Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:6=0RejeterH0siT > t=2;n1ouT 1: > 0RejeterH0siT > t;n1H
1: < 0RejeterH0siT logo.epsFigure{Zones de rejet et de non-rejetProbabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 11 logo.epsExemple: D'apres une societe conseil, le salaire annuel moyen d'administrateur de banques de donnees serait de 49738 Euros. Une enqu^ete eectuee aupres d'un organisme sur un echantillon aleatoire de 36 entreprises de ce secteur donne les resultats suivants concernant la remuneration des administrateurs de banque de donnees : Salaire moyen : 50200 Euros
Ecart type : 1560 Euros
Est-ce que les resultats de cette enqu^ete permettraient de supporter l'armation de cette societe conseil? Utiliser un seuil de signication de= 0:05Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 12 logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:= 49738
H 1:6= 49738
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
Grand echantillon (n30) provenant d'une population de variance connue. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test estXnl'ecart reduit est Z=Xn0pn
ou0= 49738etZsuit la loiN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 13 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05les valeurs critiques de l'ecart reduit sontz=2= 1:96etz=2=1:96(test bilateral). On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0siZ >1:96ouZ <1:96, sinon ne pas rejeterH0. 6- Calcul de l'ecart reduit:
PuisqueXn= 50200,= 1560etn= 36, donc :
Z=p36 50200497381560
= 462=260 = 1:77 7- Decision et conclusion:
La valeur deZ= 1:77se situe dans la region de non-rejet deH0 donc on ne peut rejeter l'armation de la societe conseil. L'ecart observe entreXnet0soit (50200- 49738= 462), n'est pas statistiquement signicatif au seuil= 0:05.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 14 logo.eps4) Test sur une variance On se propose de tester si la variance2d'elements d'une population gaussienne peut ^etre consideree ou non comme egale a une valeur hypothetique20. La statistique associee a ce test est notee2=(n1)s2 20et est
distribuee selon la loi du2avecn1degres de liberte.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 15 logo.epsLe tableau suivant resume dans le cas d'un test sur une variance les regles de decision selon les hypothesesH1pour le seuil de signication. Hypothese nulle :H0:2=20Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:26=20RejeterH0si2> 2
=2;n1ou2< 2 1=2;n1H
1:2> 20RejeterH0si2> 2;n1H
1:2< 20RejeterH0si2< 21;n1Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 16
logo.epsFigure{Zones de rejet et de non-rejetProbabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 17 logo.epsExemple: Selon la responsable de l'application de tests d'evaluation de l'entreprise PMX, la variabilite des resultats aux tests de dexterite n'excede pas 144 (= 12). Les resultats a ce test obtenus par un echantillon aleatoire de20 employes donnent une somme de carres des ecarts par rapport a la moyenne de2952. On suppose que l'echantillon aleatoire provient d'une population normale. L'hypothese selon laquelle2n'excede pas144est-elle acceptable au seuil de signication= 0:05? Eectuer le test selon la demarche usuelle (7 etapes). Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 18
logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:2= 144
H 1:2>144
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
Echantillon aleatoire provenant d'une population normale. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test en supposantH0vraie est 2=(n1)s2
20ou20= 144. La quantite2est distibuee selon la loi
de khi-deux a19 (201)degres de liberte.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 19 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05la valeur critique de2est 20:05;19= 30:1435(test unilateral a droite).
On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0si2>30:1435, sinon ne pas rejeterH0.
6- Calcul de l'ecart reduit:
On aP(XiXn)2= (n1)s2= 2952,n= 20et20= 144.
Le calcul de2donne :2=2952144
= 20:5. 7- Decision et conclusion:
Puisque2= 20:5<30:1435, on ne peut rejeterH0. La dispersion des resultats au test de dexterite semble correspondre a la norme requise. Au risque de se tromper5fois sur100, il n'est pas invraisemblable d'observer une variance de2952=19 = 155:37dans un echantillon de taillen= 20lorsqu'on admet que la variance de la population est144. Cette valeur experimentale ne permet pas d'ecarter l'hypothese selon laquelle2= 144.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 20 logo.eps5) Test sur une proportion : On se propose de tester si la proportionpd'elements de la population presentant un certain caractere qualitatif peut ^etre considere ou non comme egale a une valeur hypothetiquep0. Hypothese nulle :H0:p=p0
Hypothese alternative :H1:p6=p0(p > p0oup < p0)
Soit un echantillon de grande taille(n >30)preleve au hasard d'une population binomiale de sorte quenp5etn(1p)5 dans ce cas l'ecart reduitZ=^pp0qp 0(1p0)n
est distribue selon la loi normaleN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 21 logo.epsLe tableau suivant resume dans le cas d'un test sur une proportion les regles de decision selon les hypothesesH1pour le seuil de signication. Hypothese nulle :H0:p=p0Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:p6=p0RejeterH0siZ > z=2ouZ 1:p > p0RejeterH0siZ > zH
1:p < p0RejeterH0siZ logo.epsExemple: Un cadre d'une societe conseil arme que36%des entreprises ont recu des commandes par internet. Une enqu^ete sur le commerce electronique par les entreprises indique que sur un echantillon de 256 entreprises 96 font du commerce electronique. Peut-on considerer, au seuil de signication de5%que l'armation du conseiller est vraisemblable? Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 23
logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:p= 0:36
H 1:p6= 0:36
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
np5,n(1p)5etn >30. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test est^pl'ecart reduit est Z=^pp0qp
0(1p0)n
oup0= 0:36etZsuit la loiN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 24 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05les valeurs critiques de l'ecart reduit sontz=2= 1:96etz=2=1:96( test bilateral). On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0siZ >1:96ouZ <1:96sinon ne pas rejeterH0. 6- Calcul de l'ecart reduit:
^p= 96=256 = 0;375etZ=0:3750:36q0:36(0:64)256 = 0:5 7- Decision et conclusion:
Puisque la valeur prise parZest0:5et que1:96<0:5<1:96on ne peut rejeter l'hypothese nulleH0, donc l'armation du conseiller est vraisemblable au seuil de signication de= 5%.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 25
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
Z=Xn0spn
suit approximativement la loi normale centree reduite ets2=P(XiXn)2n1. Hypothese nulle :H0:=0Contre-hypothesesRegles de decision du test H1:6=0RejeterH0siZ > z=2ouZ 1: > 0RejeterH0siZ > zH
1: < 0RejeterH0siZ logo.eps3 emecas :Echantillon de petite taille (n <30) preleve au hasard dans une population suivant la loi normale de variance inconnue dans ce cas l'ecart reduitT=Xn0spn suit la loi de Student a(n1)degres de liberte. Hypothese nulle :H0:=0Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:6=0RejeterH0siT > t=2;n1ouT 1: > 0RejeterH0siT > t;n1H
1: < 0RejeterH0siT logo.epsFigure{Zones de rejet et de non-rejetProbabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 11 logo.epsExemple: D'apres une societe conseil, le salaire annuel moyen d'administrateur de banques de donnees serait de 49738 Euros. Une enqu^ete eectuee aupres d'un organisme sur un echantillon aleatoire de 36 entreprises de ce secteur donne les resultats suivants concernant la remuneration des administrateurs de banque de donnees : Salaire moyen : 50200 Euros
Ecart type : 1560 Euros
Est-ce que les resultats de cette enqu^ete permettraient de supporter l'armation de cette societe conseil? Utiliser un seuil de signication de= 0:05Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 12 logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:= 49738
H 1:6= 49738
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
Grand echantillon (n30) provenant d'une population de variance connue. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test estXnl'ecart reduit est Z=Xn0pn
ou0= 49738etZsuit la loiN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 13 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05les valeurs critiques de l'ecart reduit sontz=2= 1:96etz=2=1:96(test bilateral). On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0siZ >1:96ouZ <1:96, sinon ne pas rejeterH0. 6- Calcul de l'ecart reduit:
PuisqueXn= 50200,= 1560etn= 36, donc :
Z=p36 50200497381560
= 462=260 = 1:77 7- Decision et conclusion:
La valeur deZ= 1:77se situe dans la region de non-rejet deH0 donc on ne peut rejeter l'armation de la societe conseil. L'ecart observe entreXnet0soit (50200- 49738= 462), n'est pas statistiquement signicatif au seuil= 0:05.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 14 logo.eps4) Test sur une variance On se propose de tester si la variance2d'elements d'une population gaussienne peut ^etre consideree ou non comme egale a une valeur hypothetique20. La statistique associee a ce test est notee2=(n1)s2 20et est
distribuee selon la loi du2avecn1degres de liberte.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 15 logo.epsLe tableau suivant resume dans le cas d'un test sur une variance les regles de decision selon les hypothesesH1pour le seuil de signication. Hypothese nulle :H0:2=20Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:26=20RejeterH0si2> 2
=2;n1ou2< 2 1=2;n1H
1:2> 20RejeterH0si2> 2;n1H
1:2< 20RejeterH0si2< 21;n1Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 16
logo.epsFigure{Zones de rejet et de non-rejetProbabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 17 logo.epsExemple: Selon la responsable de l'application de tests d'evaluation de l'entreprise PMX, la variabilite des resultats aux tests de dexterite n'excede pas 144 (= 12). Les resultats a ce test obtenus par un echantillon aleatoire de20 employes donnent une somme de carres des ecarts par rapport a la moyenne de2952. On suppose que l'echantillon aleatoire provient d'une population normale. L'hypothese selon laquelle2n'excede pas144est-elle acceptable au seuil de signication= 0:05? Eectuer le test selon la demarche usuelle (7 etapes). Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 18
logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:2= 144
H 1:2>144
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
Echantillon aleatoire provenant d'une population normale. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test en supposantH0vraie est 2=(n1)s2
20ou20= 144. La quantite2est distibuee selon la loi
de khi-deux a19 (201)degres de liberte.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 19 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05la valeur critique de2est 20:05;19= 30:1435(test unilateral a droite).
On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0si2>30:1435, sinon ne pas rejeterH0.
6- Calcul de l'ecart reduit:
On aP(XiXn)2= (n1)s2= 2952,n= 20et20= 144.
Le calcul de2donne :2=2952144
= 20:5. 7- Decision et conclusion:
Puisque2= 20:5<30:1435, on ne peut rejeterH0. La dispersion des resultats au test de dexterite semble correspondre a la norme requise. Au risque de se tromper5fois sur100, il n'est pas invraisemblable d'observer une variance de2952=19 = 155:37dans un echantillon de taillen= 20lorsqu'on admet que la variance de la population est144. Cette valeur experimentale ne permet pas d'ecarter l'hypothese selon laquelle2= 144.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 20 logo.eps5) Test sur une proportion : On se propose de tester si la proportionpd'elements de la population presentant un certain caractere qualitatif peut ^etre considere ou non comme egale a une valeur hypothetiquep0. Hypothese nulle :H0:p=p0
Hypothese alternative :H1:p6=p0(p > p0oup < p0)
Soit un echantillon de grande taille(n >30)preleve au hasard d'une population binomiale de sorte quenp5etn(1p)5 dans ce cas l'ecart reduitZ=^pp0qp 0(1p0)n
est distribue selon la loi normaleN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 21 logo.epsLe tableau suivant resume dans le cas d'un test sur une proportion les regles de decision selon les hypothesesH1pour le seuil de signication. Hypothese nulle :H0:p=p0Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:p6=p0RejeterH0siZ > z=2ouZ 1:p > p0RejeterH0siZ > zH
1:p < p0RejeterH0siZ logo.epsExemple: Un cadre d'une societe conseil arme que36%des entreprises ont recu des commandes par internet. Une enqu^ete sur le commerce electronique par les entreprises indique que sur un echantillon de 256 entreprises 96 font du commerce electronique. Peut-on considerer, au seuil de signication de5%que l'armation du conseiller est vraisemblable? Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 23
logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:p= 0:36
H 1:p6= 0:36
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
np5,n(1p)5etn >30. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test est^pl'ecart reduit est Z=^pp0qp
0(1p0)n
oup0= 0:36etZsuit la loiN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 24 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05les valeurs critiques de l'ecart reduit sontz=2= 1:96etz=2=1:96( test bilateral). On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0siZ >1:96ouZ <1:96sinon ne pas rejeterH0. 6- Calcul de l'ecart reduit:
^p= 96=256 = 0;375etZ=0:3750:36q0:36(0:64)256 = 0:5 7- Decision et conclusion:
Puisque la valeur prise parZest0:5et que1:96<0:5<1:96on ne peut rejeter l'hypothese nulleH0, donc l'armation du conseiller est vraisemblable au seuil de signication de= 5%.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 25
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
1: > 0RejeterH0siZ > zH
1: < 0RejeterH0siZ logo.eps3 emecas :Echantillon de petite taille (n <30) preleve au hasard dans une population suivant la loi normale de variance inconnue dans ce cas l'ecart reduitT=Xn0spn suit la loi de Student a(n1)degres de liberte. Hypothese nulle :H0:=0Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:6=0RejeterH0siT > t=2;n1ouT 1: > 0RejeterH0siT > t;n1H
1: < 0RejeterH0siT logo.epsFigure{Zones de rejet et de non-rejetProbabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 11 logo.epsExemple: D'apres une societe conseil, le salaire annuel moyen d'administrateur de banques de donnees serait de 49738 Euros. Une enqu^ete eectuee aupres d'un organisme sur un echantillon aleatoire de 36 entreprises de ce secteur donne les resultats suivants concernant la remuneration des administrateurs de banque de donnees : Salaire moyen : 50200 Euros
Ecart type : 1560 Euros
Est-ce que les resultats de cette enqu^ete permettraient de supporter l'armation de cette societe conseil? Utiliser un seuil de signication de= 0:05Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 12 logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:= 49738
H 1:6= 49738
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
Grand echantillon (n30) provenant d'une population de variance connue. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test estXnl'ecart reduit est Z=Xn0pn
ou0= 49738etZsuit la loiN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 13 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05les valeurs critiques de l'ecart reduit sontz=2= 1:96etz=2=1:96(test bilateral). On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0siZ >1:96ouZ <1:96, sinon ne pas rejeterH0. 6- Calcul de l'ecart reduit:
PuisqueXn= 50200,= 1560etn= 36, donc :
Z=p36 50200497381560
= 462=260 = 1:77 7- Decision et conclusion:
La valeur deZ= 1:77se situe dans la region de non-rejet deH0 donc on ne peut rejeter l'armation de la societe conseil. L'ecart observe entreXnet0soit (50200- 49738= 462), n'est pas statistiquement signicatif au seuil= 0:05.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 14 logo.eps4) Test sur une variance On se propose de tester si la variance2d'elements d'une population gaussienne peut ^etre consideree ou non comme egale a une valeur hypothetique20. La statistique associee a ce test est notee2=(n1)s2 20et est
distribuee selon la loi du2avecn1degres de liberte.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 15 logo.epsLe tableau suivant resume dans le cas d'un test sur une variance les regles de decision selon les hypothesesH1pour le seuil de signication. Hypothese nulle :H0:2=20Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:26=20RejeterH0si2> 2
=2;n1ou2< 2 1=2;n1H
1:2> 20RejeterH0si2> 2;n1H
1:2< 20RejeterH0si2< 21;n1Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 16
logo.epsFigure{Zones de rejet et de non-rejetProbabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 17 logo.epsExemple: Selon la responsable de l'application de tests d'evaluation de l'entreprise PMX, la variabilite des resultats aux tests de dexterite n'excede pas 144 (= 12). Les resultats a ce test obtenus par un echantillon aleatoire de20 employes donnent une somme de carres des ecarts par rapport a la moyenne de2952. On suppose que l'echantillon aleatoire provient d'une population normale. L'hypothese selon laquelle2n'excede pas144est-elle acceptable au seuil de signication= 0:05? Eectuer le test selon la demarche usuelle (7 etapes). Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 18
logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:2= 144
H 1:2>144
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
Echantillon aleatoire provenant d'une population normale. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test en supposantH0vraie est 2=(n1)s2
20ou20= 144. La quantite2est distibuee selon la loi
de khi-deux a19 (201)degres de liberte.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 19 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05la valeur critique de2est 20:05;19= 30:1435(test unilateral a droite).
On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0si2>30:1435, sinon ne pas rejeterH0.
6- Calcul de l'ecart reduit:
On aP(XiXn)2= (n1)s2= 2952,n= 20et20= 144.
Le calcul de2donne :2=2952144
= 20:5. 7- Decision et conclusion:
Puisque2= 20:5<30:1435, on ne peut rejeterH0. La dispersion des resultats au test de dexterite semble correspondre a la norme requise. Au risque de se tromper5fois sur100, il n'est pas invraisemblable d'observer une variance de2952=19 = 155:37dans un echantillon de taillen= 20lorsqu'on admet que la variance de la population est144. Cette valeur experimentale ne permet pas d'ecarter l'hypothese selon laquelle2= 144.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 20 logo.eps5) Test sur une proportion : On se propose de tester si la proportionpd'elements de la population presentant un certain caractere qualitatif peut ^etre considere ou non comme egale a une valeur hypothetiquep0. Hypothese nulle :H0:p=p0
Hypothese alternative :H1:p6=p0(p > p0oup < p0)
Soit un echantillon de grande taille(n >30)preleve au hasard d'une population binomiale de sorte quenp5etn(1p)5 dans ce cas l'ecart reduitZ=^pp0qp 0(1p0)n
est distribue selon la loi normaleN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 21 logo.epsLe tableau suivant resume dans le cas d'un test sur une proportion les regles de decision selon les hypothesesH1pour le seuil de signication. Hypothese nulle :H0:p=p0Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:p6=p0RejeterH0siZ > z=2ouZ 1:p > p0RejeterH0siZ > zH
1:p < p0RejeterH0siZ logo.epsExemple: Un cadre d'une societe conseil arme que36%des entreprises ont recu des commandes par internet. Une enqu^ete sur le commerce electronique par les entreprises indique que sur un echantillon de 256 entreprises 96 font du commerce electronique. Peut-on considerer, au seuil de signication de5%que l'armation du conseiller est vraisemblable? Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 23
logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:p= 0:36
H 1:p6= 0:36
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
np5,n(1p)5etn >30. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test est^pl'ecart reduit est Z=^pp0qp
0(1p0)n
oup0= 0:36etZsuit la loiN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 24 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05les valeurs critiques de l'ecart reduit sontz=2= 1:96etz=2=1:96( test bilateral). On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0siZ >1:96ouZ <1:96sinon ne pas rejeterH0. 6- Calcul de l'ecart reduit:
^p= 96=256 = 0;375etZ=0:3750:36q0:36(0:64)256 = 0:5 7- Decision et conclusion:
Puisque la valeur prise parZest0:5et que1:96<0:5<1:96on ne peut rejeter l'hypothese nulleH0, donc l'armation du conseiller est vraisemblable au seuil de signication de= 5%.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 25
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
1:6=0RejeterH0siT > t=2;n1ouT 1: > 0RejeterH0siT > t;n1H
1: < 0RejeterH0siT logo.epsFigure{Zones de rejet et de non-rejetProbabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 11 logo.epsExemple: D'apres une societe conseil, le salaire annuel moyen d'administrateur de banques de donnees serait de 49738 Euros. Une enqu^ete eectuee aupres d'un organisme sur un echantillon aleatoire de 36 entreprises de ce secteur donne les resultats suivants concernant la remuneration des administrateurs de banque de donnees : Salaire moyen : 50200 Euros
Ecart type : 1560 Euros
Est-ce que les resultats de cette enqu^ete permettraient de supporter l'armation de cette societe conseil? Utiliser un seuil de signication de= 0:05Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 12 logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:= 49738
H 1:6= 49738
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
Grand echantillon (n30) provenant d'une population de variance connue. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test estXnl'ecart reduit est Z=Xn0pn
ou0= 49738etZsuit la loiN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 13 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05les valeurs critiques de l'ecart reduit sontz=2= 1:96etz=2=1:96(test bilateral). On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0siZ >1:96ouZ <1:96, sinon ne pas rejeterH0. 6- Calcul de l'ecart reduit:
PuisqueXn= 50200,= 1560etn= 36, donc :
Z=p36 50200497381560
= 462=260 = 1:77 7- Decision et conclusion:
La valeur deZ= 1:77se situe dans la region de non-rejet deH0 donc on ne peut rejeter l'armation de la societe conseil. L'ecart observe entreXnet0soit (50200- 49738= 462), n'est pas statistiquement signicatif au seuil= 0:05.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 14 logo.eps4) Test sur une variance On se propose de tester si la variance2d'elements d'une population gaussienne peut ^etre consideree ou non comme egale a une valeur hypothetique20. La statistique associee a ce test est notee2=(n1)s2 20et est
distribuee selon la loi du2avecn1degres de liberte.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 15 logo.epsLe tableau suivant resume dans le cas d'un test sur une variance les regles de decision selon les hypothesesH1pour le seuil de signication. Hypothese nulle :H0:2=20Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:26=20RejeterH0si2> 2
=2;n1ou2< 2 1=2;n1H
1:2> 20RejeterH0si2> 2;n1H
1:2< 20RejeterH0si2< 21;n1Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 16
logo.epsFigure{Zones de rejet et de non-rejetProbabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 17 logo.epsExemple: Selon la responsable de l'application de tests d'evaluation de l'entreprise PMX, la variabilite des resultats aux tests de dexterite n'excede pas 144 (= 12). Les resultats a ce test obtenus par un echantillon aleatoire de20 employes donnent une somme de carres des ecarts par rapport a la moyenne de2952. On suppose que l'echantillon aleatoire provient d'une population normale. L'hypothese selon laquelle2n'excede pas144est-elle acceptable au seuil de signication= 0:05? Eectuer le test selon la demarche usuelle (7 etapes). Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 18
logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:2= 144
H 1:2>144
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
Echantillon aleatoire provenant d'une population normale. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test en supposantH0vraie est 2=(n1)s2
20ou20= 144. La quantite2est distibuee selon la loi
de khi-deux a19 (201)degres de liberte.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 19 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05la valeur critique de2est 20:05;19= 30:1435(test unilateral a droite).
On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0si2>30:1435, sinon ne pas rejeterH0.
6- Calcul de l'ecart reduit:
On aP(XiXn)2= (n1)s2= 2952,n= 20et20= 144.
Le calcul de2donne :2=2952144
= 20:5. 7- Decision et conclusion:
Puisque2= 20:5<30:1435, on ne peut rejeterH0. La dispersion des resultats au test de dexterite semble correspondre a la norme requise. Au risque de se tromper5fois sur100, il n'est pas invraisemblable d'observer une variance de2952=19 = 155:37dans un echantillon de taillen= 20lorsqu'on admet que la variance de la population est144. Cette valeur experimentale ne permet pas d'ecarter l'hypothese selon laquelle2= 144.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 20 logo.eps5) Test sur une proportion : On se propose de tester si la proportionpd'elements de la population presentant un certain caractere qualitatif peut ^etre considere ou non comme egale a une valeur hypothetiquep0. Hypothese nulle :H0:p=p0
Hypothese alternative :H1:p6=p0(p > p0oup < p0)
Soit un echantillon de grande taille(n >30)preleve au hasard d'une population binomiale de sorte quenp5etn(1p)5 dans ce cas l'ecart reduitZ=^pp0qp 0(1p0)n
est distribue selon la loi normaleN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 21 logo.epsLe tableau suivant resume dans le cas d'un test sur une proportion les regles de decision selon les hypothesesH1pour le seuil de signication. Hypothese nulle :H0:p=p0Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:p6=p0RejeterH0siZ > z=2ouZ 1:p > p0RejeterH0siZ > zH
1:p < p0RejeterH0siZ logo.epsExemple: Un cadre d'une societe conseil arme que36%des entreprises ont recu des commandes par internet. Une enqu^ete sur le commerce electronique par les entreprises indique que sur un echantillon de 256 entreprises 96 font du commerce electronique. Peut-on considerer, au seuil de signication de5%que l'armation du conseiller est vraisemblable? Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 23
logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:p= 0:36
H 1:p6= 0:36
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
np5,n(1p)5etn >30. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test est^pl'ecart reduit est Z=^pp0qp
0(1p0)n
oup0= 0:36etZsuit la loiN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 24 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05les valeurs critiques de l'ecart reduit sontz=2= 1:96etz=2=1:96( test bilateral). On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0siZ >1:96ouZ <1:96sinon ne pas rejeterH0. 6- Calcul de l'ecart reduit:
^p= 96=256 = 0;375etZ=0:3750:36q0:36(0:64)256 = 0:5 7- Decision et conclusion:
Puisque la valeur prise parZest0:5et que1:96<0:5<1:96on ne peut rejeter l'hypothese nulleH0, donc l'armation du conseiller est vraisemblable au seuil de signication de= 5%.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 25
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1: > 0RejeterH0siT > t;n1H
1: < 0RejeterH0siT logo.epsFigure{Zones de rejet et de non-rejetProbabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 11 logo.epsExemple: D'apres une societe conseil, le salaire annuel moyen d'administrateur de banques de donnees serait de 49738 Euros. Une enqu^ete eectuee aupres d'un organisme sur un echantillon aleatoire de 36 entreprises de ce secteur donne les resultats suivants concernant la remuneration des administrateurs de banque de donnees : Salaire moyen : 50200 Euros
Ecart type : 1560 Euros
Est-ce que les resultats de cette enqu^ete permettraient de supporter l'armation de cette societe conseil? Utiliser un seuil de signication de= 0:05Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 12 logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:= 49738
H 1:6= 49738
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
Grand echantillon (n30) provenant d'une population de variance connue. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test estXnl'ecart reduit est Z=Xn0pn
ou0= 49738etZsuit la loiN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 13 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05les valeurs critiques de l'ecart reduit sontz=2= 1:96etz=2=1:96(test bilateral). On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0siZ >1:96ouZ <1:96, sinon ne pas rejeterH0. 6- Calcul de l'ecart reduit:
PuisqueXn= 50200,= 1560etn= 36, donc :
Z=p36 50200497381560
= 462=260 = 1:77 7- Decision et conclusion:
La valeur deZ= 1:77se situe dans la region de non-rejet deH0 donc on ne peut rejeter l'armation de la societe conseil. L'ecart observe entreXnet0soit (50200- 49738= 462), n'est pas statistiquement signicatif au seuil= 0:05.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 14 logo.eps4) Test sur une variance On se propose de tester si la variance2d'elements d'une population gaussienne peut ^etre consideree ou non comme egale a une valeur hypothetique20. La statistique associee a ce test est notee2=(n1)s2 20et est
distribuee selon la loi du2avecn1degres de liberte.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 15 logo.epsLe tableau suivant resume dans le cas d'un test sur une variance les regles de decision selon les hypothesesH1pour le seuil de signication. Hypothese nulle :H0:2=20Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:26=20RejeterH0si2> 2
=2;n1ou2< 2 1=2;n1H
1:2> 20RejeterH0si2> 2;n1H
1:2< 20RejeterH0si2< 21;n1Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 16
logo.epsFigure{Zones de rejet et de non-rejetProbabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 17 logo.epsExemple: Selon la responsable de l'application de tests d'evaluation de l'entreprise PMX, la variabilite des resultats aux tests de dexterite n'excede pas 144 (= 12). Les resultats a ce test obtenus par un echantillon aleatoire de20 employes donnent une somme de carres des ecarts par rapport a la moyenne de2952. On suppose que l'echantillon aleatoire provient d'une population normale. L'hypothese selon laquelle2n'excede pas144est-elle acceptable au seuil de signication= 0:05? Eectuer le test selon la demarche usuelle (7 etapes). Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 18
logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:2= 144
H 1:2>144
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
Echantillon aleatoire provenant d'une population normale. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test en supposantH0vraie est 2=(n1)s2
20ou20= 144. La quantite2est distibuee selon la loi
de khi-deux a19 (201)degres de liberte.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 19 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05la valeur critique de2est 20:05;19= 30:1435(test unilateral a droite).
On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0si2>30:1435, sinon ne pas rejeterH0.
6- Calcul de l'ecart reduit:
On aP(XiXn)2= (n1)s2= 2952,n= 20et20= 144.
Le calcul de2donne :2=2952144
= 20:5. 7- Decision et conclusion:
Puisque2= 20:5<30:1435, on ne peut rejeterH0. La dispersion des resultats au test de dexterite semble correspondre a la norme requise. Au risque de se tromper5fois sur100, il n'est pas invraisemblable d'observer une variance de2952=19 = 155:37dans un echantillon de taillen= 20lorsqu'on admet que la variance de la population est144. Cette valeur experimentale ne permet pas d'ecarter l'hypothese selon laquelle2= 144.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 20 logo.eps5) Test sur une proportion : On se propose de tester si la proportionpd'elements de la population presentant un certain caractere qualitatif peut ^etre considere ou non comme egale a une valeur hypothetiquep0. Hypothese nulle :H0:p=p0
Hypothese alternative :H1:p6=p0(p > p0oup < p0)
Soit un echantillon de grande taille(n >30)preleve au hasard d'une population binomiale de sorte quenp5etn(1p)5 dans ce cas l'ecart reduitZ=^pp0qp 0(1p0)n
est distribue selon la loi normaleN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 21 logo.epsLe tableau suivant resume dans le cas d'un test sur une proportion les regles de decision selon les hypothesesH1pour le seuil de signication. Hypothese nulle :H0:p=p0Contre-hypothesesRegles de decision du test H 1:p6=p0RejeterH0siZ > z=2ouZ 1:p > p0RejeterH0siZ > zH
1:p < p0RejeterH0siZ logo.epsExemple: Un cadre d'une societe conseil arme que36%des entreprises ont recu des commandes par internet. Une enqu^ete sur le commerce electronique par les entreprises indique que sur un echantillon de 256 entreprises 96 font du commerce electronique. Peut-on considerer, au seuil de signication de5%que l'armation du conseiller est vraisemblable? Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 23
logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:p= 0:36
H 1:p6= 0:36
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
np5,n(1p)5etn >30. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test est^pl'ecart reduit est Z=^pp0qp
0(1p0)n
oup0= 0:36etZsuit la loiN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 24 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05les valeurs critiques de l'ecart reduit sontz=2= 1:96etz=2=1:96( test bilateral). On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0siZ >1:96ouZ <1:96sinon ne pas rejeterH0. 6- Calcul de l'ecart reduit:
^p= 96=256 = 0;375etZ=0:3750:36q0:36(0:64)256 = 0:5 7- Decision et conclusion:
Puisque la valeur prise parZest0:5et que1:96<0:5<1:96on ne peut rejeter l'hypothese nulleH0, donc l'armation du conseiller est vraisemblable au seuil de signication de= 5%.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 25
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
Salaire moyen : 50200 Euros
Ecart type : 1560 Euros
Est-ce que les resultats de cette enqu^ete permettraient de supporter l'armation de cette societe conseil? Utiliser un seuil de signication de= 0:05Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 12 logo.eps1- Hypothese Statistique: H0:= 49738
H1:6= 49738
2- Seuil de signication:
= 0:053- Condition d'application du test:
Grand echantillon (n30) provenant d'une population de variance connue.4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test estXnl'ecart reduit estZ=Xn0pn
ou0= 49738etZsuit la loiN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 13 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05les valeurs critiques de l'ecart reduit sontz=2= 1:96etz=2=1:96(test bilateral).On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0siZ >1:96ouZ <1:96, sinon ne pas rejeterH0.6- Calcul de l'ecart reduit:
PuisqueXn= 50200,= 1560etn= 36, donc :
Z=p3650200497381560
= 462=260 = 1:777- Decision et conclusion:
La valeur deZ= 1:77se situe dans la region de non-rejet deH0 donc on ne peut rejeter l'armation de la societe conseil. L'ecart observe entreXnet0soit (50200- 49738= 462), n'est pas statistiquement signicatif au seuil= 0:05.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 14 logo.eps4) Test sur une variance On se propose de tester si la variance2d'elements d'une population gaussienne peut ^etre consideree ou non comme egale a une valeur hypothetique20. La statistique associee a ce test est notee2=(n1)s220et est
distribuee selon la loi du2avecn1degres de liberte.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 15 logo.epsLe tableau suivant resume dans le cas d'un test sur une variance les regles de decision selon les hypothesesH1pour le seuil de signication. Hypothese nulle :H0:2=20Contre-hypothesesRegles de decision du test H1:26=20RejeterH0si2> 2
=2;n1ou2< 21=2;n1H
1:2> 20RejeterH0si2> 2;n1H
1:2< 20RejeterH0si2< 21;n1Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 16
logo.epsFigure{Zones de rejet et de non-rejetProbabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 17 logo.epsExemple: Selon la responsable de l'application de tests d'evaluation de l'entreprise PMX, la variabilite des resultats aux tests de dexterite n'excede pas 144 (= 12). Les resultats a ce test obtenus par un echantillon aleatoire de20 employes donnent une somme de carres des ecarts par rapport a la moyenne de2952. On suppose que l'echantillon aleatoire provient d'une population normale. L'hypothese selon laquelle2n'excede pas144est-elle acceptable au seuil de signication= 0:05? Eectuer le test selon la demarche usuelle (7 etapes).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 18
logo.eps1- Hypothese Statistique: H0:2= 144
H1:2>144
2- Seuil de signication:
= 0:053- Condition d'application du test:
Echantillon aleatoire provenant d'une population normale.4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test en supposantH0vraie est2=(n1)s2
20ou20= 144. La quantite2est distibuee selon la loi
de khi-deux a19 (201)degres de liberte.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 19 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05la valeur critique de2est20:05;19= 30:1435(test unilateral a droite).
On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0si2>30:1435, sinon ne pas rejeterH0.
6- Calcul de l'ecart reduit:
On aP(XiXn)2= (n1)s2= 2952,n= 20et20= 144.
Le calcul de2donne :2=2952144
= 20:5.7- Decision et conclusion:
Puisque2= 20:5<30:1435, on ne peut rejeterH0. La dispersion des resultats au test de dexterite semble correspondre a la norme requise. Au risque de se tromper5fois sur100, il n'est pas invraisemblable d'observer une variance de2952=19 = 155:37dans un echantillon de taillen= 20lorsqu'on admet que la variance de la population est144. Cette valeur experimentale ne permet pas d'ecarter l'hypothese selon laquelle2= 144.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 20 logo.eps5) Test sur une proportion : On se propose de tester si la proportionpd'elements de la population presentant un certain caractere qualitatif peut ^etre considere ou non comme egale a une valeur hypothetiquep0.Hypothese nulle :H0:p=p0
Hypothese alternative :H1:p6=p0(p > p0oup < p0)
Soit un echantillon de grande taille(n >30)preleve au hasard d'une population binomiale de sorte quenp5etn(1p)5 dans ce cas l'ecart reduitZ=^pp0qp0(1p0)n
est distribue selon la loi normaleN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 21 logo.epsLe tableau suivant resume dans le cas d'un test sur une proportion les regles de decision selon les hypothesesH1pour le seuil de signication. Hypothese nulle :H0:p=p0Contre-hypothesesRegles de decision du test H1:p6=p0RejeterH0siZ > z=2ouZ 1:p > p0RejeterH0siZ > zH
1:p < p0RejeterH0siZ logo.epsExemple: Un cadre d'une societe conseil arme que36%des entreprises ont recu des commandes par internet. Une enqu^ete sur le commerce electronique par les entreprises indique que sur un echantillon de 256 entreprises 96 font du commerce electronique. Peut-on considerer, au seuil de signication de5%que l'armation du conseiller est vraisemblable? Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 23
logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:p= 0:36
H 1:p6= 0:36
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
np5,n(1p)5etn >30. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test est^pl'ecart reduit est Z=^pp0qp
0(1p0)n
oup0= 0:36etZsuit la loiN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 24 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05les valeurs critiques de l'ecart reduit sontz=2= 1:96etz=2=1:96( test bilateral). On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0siZ >1:96ouZ <1:96sinon ne pas rejeterH0. 6- Calcul de l'ecart reduit:
^p= 96=256 = 0;375etZ=0:3750:36q0:36(0:64)256 = 0:5 7- Decision et conclusion:
Puisque la valeur prise parZest0:5et que1:96<0:5<1:96on ne peut rejeter l'hypothese nulleH0, donc l'armation du conseiller est vraisemblable au seuil de signication de= 5%.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 25
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
1:p > p0RejeterH0siZ > zH
1:p < p0RejeterH0siZ logo.epsExemple: Un cadre d'une societe conseil arme que36%des entreprises ont recu des commandes par internet. Une enqu^ete sur le commerce electronique par les entreprises indique que sur un echantillon de 256 entreprises 96 font du commerce electronique. Peut-on considerer, au seuil de signication de5%que l'armation du conseiller est vraisemblable? Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 23
logo.eps1- Hypothese Statistique: H 0:p= 0:36
H 1:p6= 0:36
2- Seuil de signication:
= 0:05 3- Condition d'application du test:
np5,n(1p)5etn >30. 4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test est^pl'ecart reduit est Z=^pp0qp
0(1p0)n
oup0= 0:36etZsuit la loiN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 24 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05les valeurs critiques de l'ecart reduit sontz=2= 1:96etz=2=1:96( test bilateral). On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0siZ >1:96ouZ <1:96sinon ne pas rejeterH0. 6- Calcul de l'ecart reduit:
^p= 96=256 = 0;375etZ=0:3750:36q0:36(0:64)256 = 0:5 7- Decision et conclusion:
Puisque la valeur prise parZest0:5et que1:96<0:5<1:96on ne peut rejeter l'hypothese nulleH0, donc l'armation du conseiller est vraisemblable au seuil de signication de= 5%.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 25
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 23
logo.eps1- Hypothese Statistique: H0:p= 0:36
H1:p6= 0:36
2- Seuil de signication:
= 0:053- Condition d'application du test:
np5,n(1p)5etn >30.4- La statistique:
La statistique qui convient pour le test est^pl'ecart reduit estZ=^pp0qp
0(1p0)n
oup0= 0:36etZsuit la loiN(0;1).Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 24 logo.eps5- Regle de decision: D'apresH1et au seuil= 0:05les valeurs critiques de l'ecart reduit sontz=2= 1:96etz=2=1:96( test bilateral).On adoptera la regle de decision suivante :
RejeterH0siZ >1:96ouZ <1:96sinon ne pas rejeterH0.6- Calcul de l'ecart reduit:
^p= 96=256 = 0;375etZ=0:3750:36q0:36(0:64)256 = 0:57- Decision et conclusion:
Puisque la valeur prise parZest0:5et que1:96<0:5<1:96on ne peut rejeter l'hypothese nulleH0, donc l'armation duconseiller est vraisemblable au seuil de signication de= 5%.Probabilites et StatistiquesTest d'Hypothese 25
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