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Universite de Strasbourg

L1S2Coordonnateur : Soane Souai

Bureau i507, IRMA/UFR math-info

Algebre lineaire

Chapitre III : Determinants

Table des matieres

1 Denition et premiere methode de calcul

1

2 Les theoremes fondamentaux

2

3 Utilisation de l'echelonnement pour calculer le determinant

3

3.1 Determinants des matrices elementaires

3

3.2 Methode de calcul du determinant

4

4 Variante de la premiere methode de calcul

4

5 Determinant et matrices inversibles

5 Le determinant est une application qui a une matrice carree associe un scalaire et qui va permettre, entre autres de detecter si une matrice carree est inversible.

Dans la suiteKdesigneRouC.

1 Denition et premiere methode de calcul

Notation.Soientn¥2 etAune matrice carree d'ordren. Pouri;j1;:::;n, on noteAi;jla matrice carree d'ordren1 obtenue a partir deAen supprimant lai-eme ligne et

laj-eme colonne.

Exemple.A

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

;A2;3 1 2 4

9 10 12

13 14 16

Denition.SoientnPNetAPMnpKq. Le determinant deAnote detpAqou|A|est un element deKque l'on denit pa recurrence de la maniere suivante : si n1 alors detpAq A11, si n¥2 alors detpAq °n i1p1qi1ai;1detpAi;1q. Cette formule est appelee developpement par rapport a la 1 erecolonne deA.

Exemple.

{n2 :Aa b c d , detpAq adetppdqq cdetppbqq adbc. 1 {n3 :A a b c d e f g h i detpAq ae f h i db c h i ga b d e apeihfq dpbichq gpaedb aeibfgcdh pcegafhbdiq: Remarque.Tres long a calculer. Pour un determinant d'une matrice d'ordre 4, il faut cal- culer 4 determinants de matrices d'ordre 3 qui ont chacun 6 termes. Cela donne une somme a 24 termes. Pour un determinant d'une matrice d'ordre 5, il faut calculer 5 determinants de matrices d'ordre 4 qui ont chacun 24 termes. Cela donne une somme a 524120 termes. En general, detpAq somme den! termes et chaque terme est un produit depn1q facteurs. On va voir dans la suite d'autres methodes de calcul.

2 Les theoremes fondamentaux

2.1 Theoreme(admis).SoientnPNetA;BPMnpKq. On a

detpABq detpAqdetpBq:

Exemple(n2).Aa b

c d ,Ba1b1 c 1d1 detpABq aa1bc1ab1bd1 ca

1dc1cb1dd1

paa1bc1qpcb1dd1q pca1dc1qpab1bd1q padbcqpa1d1b1c1q detpAqdetpBq:

BdetpABq detpAq detpBq.

Remarque.On deduit du theoreme que detpABq detpBAq(m^eme siABBA).

2.2 Theoreme(admis).SoientnPNetAPMnpKq. On a

detpATq detpAq:

2.3 Proposition.SoitAune matrice triangulaire (superieure ou inferieure) d'ordrenP

N . AlorsdetpAq a11a22ann. Demonstration.On va montrer la proposition pour les matrices triangulaires superieures et par recurrence surn. Pour obtenir la formule pour les matrices triangulaires inferieures, il sut d'appliquer le theoreme precedent. SiAPMnpKqtriangulaire superieure, alors, pour touti¡j,aij0. {n1 : siAtriangulaire superieure d'ordre 1, detpAq a11. 2 {nÑn1 : supposons que, pour toute matrice triangulaire superieure d'ordren, son determinant est le produit des coecients diagonaux, et soitAune matrice triangulaire superieure d'ordren1. Alors, comme, pour touti¡1,ai10, et, pour touti1;:::;n,pA11qiiai1i1, on a detpAq °n1 i1ai1detpAi1q a11detpA11q a11ppA11q11pA11q22pA11qnnq a11pa22a33an1n1q:2.4 Corollaire.SoientnPNetAPMnpKq. AlorsdetpAq ndetpAq.

Demonstration.On a detpInq net detpAq detpInqdetpAq.3 Utilisation de l'echelonnement pour calculer le determinant

3.1 Determinants des matrices elementaires

3.1 Lemme.SoientnPNeti;j1;:::;n,ij. On a

P ijDjp1qTijp1qTjip1qTijp1q: Demonstration.On va montrer que, pour toutAPMnpKq, P ijADjp1qTijp1qTjip1qTijp1qA: On peut ensuite, en choisissant des matricesAadequates, deduire de cette egalite que les matricesPijetDjp1qTijp1qTjip1qTijp1qont les m^emes coecients. La matricePijAest celle obtenue a partir deAen permutant les lignesLietLj. Que donneDjp1qTijp1qTjip1qTijp1qA? L i L jÝÝÝÑT ijp1qL iLj L jÝÝÝÝÝÑT jip1qL iLj L j pLiLjq LiÝÝÝÑT ijp1qL iLjLiLj

LiÝÝÝÝÑD

jp1qL j L i: On obtient donc bien l'egalite souhaitee.3.2 Proposition.SoientnPN,i;j1;:::;n,ijetPK. On a detpTijpqq 1;detpDipqq p0q;detpPijq 1: Demonstration.Tijpqest triangulaire et tous ses coecients diagonaux sont egaux a 1. D ipqest triangulaire et ses coecients diagonaux sont 1;:::;1;;1;:::;1. detpPijq detpDjp1qqdetpTijp1qqdetpTjip1qqdetpTijp1qq p1q:1:1:1 1.3

3.2 Methode de calcul du determinant

SoientnPNetAPMnpKq. Remarquons tout d'abord que :

Si on m ultiplieune ligne de Apar0, son determinant est multplie par: detpDipqAq detpAq: Si on echangedeux lignes de A, son determinant est multiplie par1 : detpPijAq detpAq: Si on remplace la ligne LiparLiLjdeA, son determinant ne change pas : detpTijpqAq detpAq:

C'est encore vrai si on fait ces m^emes operations sur les colonnes car detpATq detpAq.A l'aide de ces operations elementaires sur les lignes et/ou les colonnes, on rend la

matriceAtriangulaire en modiant le determinant quand l'operation eectuee le necessite.

Remarquons que :

{ADipqest la matrice obtenue a partir deAen multipliant la colonneCideApar 0. {APijest la matrice obtenue a partir deAen echangeant les colonnesCietCjdeA, ij. {ATijpqest la matrice obtenue a partir deAen remplacant la colonneCiparCiCj deA,PK,ij.

Exemple.Supposons que

P

12T23p4qD2p2qAD2p13

qP32T12p17 q 1 2 4 0 2 7 0 01

Alorsp1qp2qdetpAqp13

qp1q 2ðñ 23 detpAq 2ðñdetpAq 3:

Exemple.Calcul de

1 2 2 1 4 6 1 3 6 a l'aide du developpement par rapport a la premiere colonne puis a l'aide d'operations sur lignes et les colonnes.

4 Variante de la premiere methode de calcul

SoientnPNetAPMnpKq. Si on ecrit la formule du developpement selon la premiere colonne du determinant de la transposeeATdeA, on obtient detpAq detpATq °n j1p1qj1pATqj1detpATj1q °n j1p1q1ja1jdetppA1jqTq °n j1p1q1ja1jdetpA1jq: 4 Cette formule est appelee le developpement selon la premiere ligne. SoitjPN. Si on permute les colonnesC1etCj, on obtient a partir du developpement selon la premiere colonne celui selonj-eme colonne : detpAq n¸ i1p1qijaijdetpAijq: SoitiPN. Si on permute les lignesL1etLi, on obtient a partir du developpement selon la premiere ligne celui selonj-eme ligne : detpAq n¸ j1p1qijaijdetpAijq:

Exemple.Calcul de

1 2 2 1 4 6 1 3 6 a l'aide du developpement par rapport la deuxieme colonne puis `a l'aide de la troisieme ligne. Remarque.Toutes ces methodes peuvent ^etre utilisees simultanement pour un calcul du determinant plus ecace ou rapide.

5 Determinant et matrices inversibles

5.1 Theoreme.SoientnPNetAPMnpKq. On a

Aest inversibleðñdetpAq 0:

Dans ce cas,detpA1q 1detpAq.

Demonstration.SiAest inversible, alorsAA1In, ce qui implique detpAA1q 1, c'est a dire detpAqdetpA1q 1. Donc detpAq 0 et detpA1q 1detpAq. Supposons detpAq 0 et soit~Ala forme bien echelonnee deA. Alors detp~Aq 0. Comme~Aest triangulaire, les coecients diagonaux sont alors tous non nuls. Cela signie que~Aa un pivot sur chaque ligne, ou autrement dit que rgpAq rgp~Aq n. DoncAest inversible.Exemple.Est-ce que la matrice 1 3 1 2 1 1 1 1 1 est inversible? 5quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19