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Ecole Nationale de la Statistique et de l'Administration Economique

Memoire presente devant le jury de l'

ENSAE en vue de l 'obtentiondu

Dipl^ome d'Actuaire

EN SAE

et de l'admission a l'

Institutdes A ctuaires

le 4 Juillet 2013 Par :

P hi-HungL Ee tG a

el VIROT

Titre :

M ethoded' evaluationst ochastiqued esp rovisionste chniquesd' uneent reprised' assurancedo m- mages par une approche ligne a ligne

Condentialite : non.

Membres presents du jury de l'Institut

des Actuaires

Signature :

Signature :Entreprise

AXA GIE

Directeurs de memoire en entreprise

Ngoc An DINH et Charles-Erwin ELIACHAR

Signatures :

Membres presents du jury de l'ENSAE

Xavier MILHAUD

Manasa PATNAMInvite

Signature :

Autorisation de publication et de mise en ligne sur un site de diusion de documents actuariels Signatures des responsables entrepriseSignatures des candidats

Bibliotheque : Secretariat :

ENSAE P arisTech- Eco leNa tionale3, avenue Pierre LarousseT +33 (0)1 41 17 58 09 Superieure de la Statistique etTimbre J101F +33 (0)1 41 17 38 52 de l'Administration Economique92245, Malako cedexinfo@ensae.fr

Resume

Le sujet de ce memoire est de proposer un modele de provisionnement non-vie"ligne a

ligne», c'est-a-dire en utilisant les donnees individuelles des tous les sinistres deja observes, et

non des donnees agregees. Notre travail s'est articule en deux etapes : d'abord, l'etablissement d'un modele theorique s'inscrivant dans le cadre developpe par Chau et Dinh (2012) [ 7 ]. Nous nous sommes concentres sur l'identication d'hypotheses permettant une modelisation simpliee, mais qui ne sont pas restrictives, an de permettre une utilisation sur des cas reels. A partir des hypotheses faites, un estimateur consistant de la moyenne des reserves est donne. Cet estima- teur est compare au comportement asymptotique de l'estimateur Chain-Ladder, apres agregation des donnees. Nous prouvons une equivalence asymptotique entre les deux estimateurs. Des si- mulations permettent de verier, qu'a distance nie, l'estimateur ligne a ligne et l'estimateur Chain-Ladder sont proches. Nous proposons egalement des procedures bootstrap pour estimer la distribution des reserves, dans une optique de mesure du risque de provisionnement. Ensuite, le modele est teste sur une base de donnees de sinistres automobiles. L'etude met en lumiere l'importance d'une bonne segmentation de la base entre sinistres attritionnels et sinistres graves. Nous presentons une methode de"segmentation dynamique», qui permet de prendre en compte qu'un sinistre d'abord evalue comme attritionnel peut par la suite devenir grave, et vice-versa. Nous eectuons egalement une estimation des reserves liees aux sinistres tardifs.

Abstract

The purpose of this study is to build an individual claim loss reserving model, which consists in estimating future payments directly upon claim-by-claim data. First, based on the framework developed in [ 7 ], a stochastic model is built, which leads to signicant simplication in regards to what is proposed in the literature, while not making too restrictive assumptions to be considered enough realistic in a variety of practical cases. Under these assumptions, a consistant estimator of the reserve is derived, which is compared to the Chain-Ladder estimator after data aggregation. We nd an asymptotic equivalence between the Chain-Ladder estimator and the estimator based on individual claims. A simulation study was conducted in order to verify that the claim-by-claim estimator and the Chain-Ladder estimator are near at nite distance. We also propose bootstrap procedures to estimate the distribution of reserve, which could be used to quantify reserve risk. Then, the model is tested on an automobile claims database. It reveals the importance of dening a good segmentation between attritional claims and large claims. We expose a "dynamic segmentation"method allowing to take into account a transition from attritional to large claims status during claims life cycle. Late claims have also been estimated. ii

Remerciements

Nous aimerions tout d'abord vivement remercier nos encadrants Ngoc An DINH et Charles- Erwin ELIACHAR, pour nous avoir fait benecier de leur experience, de leurs conseils precieux, et de leur supervision tres active tout au long de l'annee. Ils nous ont enormement appris, tant au niveau de la theorie que de la pratique de l'actuariat. Nous remercions egalement Xavier MILHAUD et le corps enseignant de l'ENSAE pour la qualite des cours qui nous ont ete dispenses. iii

Table des matieres

Introduction1

1 Le provisionnement en assurance non-vie : aspects economiques, reglemen-

taires et pratiques 5

1.1 L'activite d'assurance non-vie

6

1.1.1 Le contrat d'assurance

6

1.1.2 Le perimetre de l'assurance non-vie

7

1.1.3 L'inversion du cycle de production et ses consequences

8

1.2 Reglementation

11

1.2.1 Normes comptables francaises

14

1.2.2 Directive Solvabilite II

18

1.2.3 Normes IFRS 4

25

1.2.4 Bilan

28

1.3 Marche de l'assurance non-vie

30

1.3.1 Classication par branches techniques

30

1.3.2 Les classications ocielles

32

1.3.3 Niveau de granularite

32

1.3.4 Classication par contrats et garanties

33

1.3.5 Poids des branches

34

1.4 La gestion des sinistres en pratique

36

1.4.1 La survenance du sinistre

38

1.4.2 La declaration a l'assureur

41

1.4.3 L'ouverture du dossier sinistre

42

1.4.4 L'expertise

44

1.4.5 Indemnites

45

1.4.6 Cl^oture, recours de l'assureur, reouverture

48

1.4.7 La gestion des provisions de sinistres

50

2 Methodes de provisonnement classiques

5 5

2.1 Construction du triangle de developpement

55

2.2 La methode de reference : Chain-Ladder

58

2.2.1 Hypotheses et estimation

58

2.2.2 Validation de Chain Ladder

59

2.2.3 Limites de la methode Chain-Ladder

60

2.2.4 Autres modeles deterministes

60

2.3 Chain Ladder Stochastique : Mack (1993)

62

2.3.1 Hypotheses

62
v

TABLE DES MATI

ERES2.3.2 Estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.3.3 Validation du modele

63

2.3.4 Erreurs de prediction

63

2.4 Modelisation GLM

64

2.4.1 Modeles GLM

64

2.4.2 Estimation du modele

65

2.4.3 Qualite de l'ajustement

65

2.4.4 Modeles usuels

66

2.5 Bootstrap

67

2.5.1 Principe

67

2.5.2 Application a la modelisation GLM

67

2.6 Facteurs de queue

6 8 3 Etablissement d'un cadre pour une evaluation des provisions par une approche ligne a ligne69

3.1 Revue succincte de la litterature sur les modeles individuels

69

3.2 Demarche adoptee et presentation du cadre

71

3.3 Denitions de base

73

3.3.1 Processus d'etats

74

3.3.2 Processus de paiements

76

3.3.3 Processus de charges

77

3.4 Ensembles d'information

78

3.4.1 Sous-ensembles de sinistres d'inter^et

78

3.4.2 Information disponible a la datet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

3.5 Mesures de provision

83

3.5.1 Mesures de provision coherentes

83

3.5.2 Mesures de provision retenues

84

4 Modele et estimation

8 7

4.1 Modelisation et estimation des processus

87

4.1.1 Processus d'etats

87

4.1.2 Processus de reglements

90

4.2 Estimation des provisions

98

4.2.1 Flux de tresorerie a un an

98

4.2.2 Reserve a l'ultime

100

4.3 Comparaison avec la methode agregee Chain-Ladder

103

4.3.1 Flux de tresorerie a un an

103

4.3.2 Reserve ultime

106

4.4 Distribution des reserves

108

4.4.1 Bootstrap"total». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

4.4.2 Boostrap en utilisant la duree de vie estimee

108

4.4.3 Bootstrap et distribution non-parametrique des facteurs de developpement

109

5 Exercice de simulations

1 11

5.1 Generateur de bases de donnees

111

5.2 Generateur de scenario central

113

5.2.1 Parametrage retenu

113

5.2.2Etude d'une realisation du PGD central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

vi

TABLE DES MATI

ERES5.2.3 Sensibilite au nombre de sinistres simules. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3 Augmentation de la volatilite de la premiere charge

118

5.4 Augmentation de la volatilite des facteurs de developpement

119

5.5 Branche longue

11 9

5.6 Levee de l'hypothese d'equi-distribution du premier paiement

120

6 Applications a des donnees reelles

1 21

6.1 Description de la base

121

6.2 Profondeur de la base

122

6.3 Construction de la base d'etude

122

6.4 Traitements eectuees

122

6.4.1 Duree d'observation

122

6.4.2 Cas de reouvertures

122

6.4.3 Cas de valeurs nulles ou negatives

123

6.5 Demarche adoptee

124

6.6 Statistiques descriptives

125

6.6.1 Charges

126

6.6.2 Duree de vie

128

6.6.3 Facteurs de developpement

128

6.7 Verication des hypotheses

129

6.7.1 Independance entre les facteurs de developpement et la duree de vie

129

6.7.2 Independance entre les facteurs de developpement et le passe

130

6.7.3 Independance des facteurs de developpement

132

6.8 Estimation sans segmentation

134

6.8.1 Description de la demarche

134

6.8.2 Resultats

134

6.9 Segmentationa priori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136

6.9.1 Demarche

136

6.9.2 Choix du seuil

136

6.9.3 Resultats

136

6.9.4 Independance des facteurs avec le passe apres segmentation

139

6.9.5 Sensibilite par rapport au seuil

142

6.9.6 Segmentationa priorisur la derniere charge observee. . . . . . . . . . . 144

6.10 Segmentation dynamique

146

6.10.1 Modele

146

6.10.2 Procedure bootstrap

147

6.10.3 Le choix du seuil

148

6.10.4 Resultats

148

6.10.5 Sensibilite par rapport au seuil

150

6.10.6 Comparaison entre la segmentationa prioriet segmentation dynamique. 152

6.11 Analyses complementaires

154

6.11.1 Temps de calcul

154

6.11.2 Comparaison de la distribution avec les modeles stochastiques agreges

155

6.12 Base retraitee

157

6.12.1 Retraitements eectues

157

6.12.2 Modelisation des tardifs

157

6.12.3 Nombre de tardifs

158
vii

TABLE DES MATI

ERES6.12.4 Resultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6.12.5 Limites

159

6.12.6 Pistes d'amelioration

161

Conclusion163

Bibliographie

1 65

Annexe A Divers

1 69

A.1 Exemple de bilans

170

A.2 Classication ocielle des branches

172

A.3 Estimation non-parametrique

175
viii

Introduction

En assurance non-vie, tous les engagements d'un contrat ne sont pas quantitativement xes a sa signature. L'assureur s'engage a verser, en cas de survenance d'un sinistre, une indemnite dont le montant n'est pas connu a l'avance. L'assureur doit ^etre en mesure d'evaluer correctement ses dettes probables, appeleesprovi- sions techniques(ou reserves), c'est-a-dire ^etre en mesure d'estimer a tout moment le montant des engagements qu'il a pris vis-a-vis de ses assures. Un mauvais provisionnement (reserving) de la part de l'assureur peut avoir des consequences graves. L'insusance des provisions pour sinistres a ete la cause principale de faillite des compa- gnies d'assurance aux Etats-Unis, pour la periode 1969 - 2002, d'apres une etude d'A.M. Best. Par exemple, sur la branche RC et accidents en Assurance Dommages, sur la periode 1969 -

2002 aux Etats-Unis,37%des cas de faillite etaient dus a une insusance des provisions pour

sinistres

1.Figure1 { Causes des faillites enregistrees des compagnies d'assurance americaines

dommages, responsabilite civile et accidents, periode 1969-2002.1. N.B. : l'insusance de reserve peut avoir comme cause premiere une sous-tarication du produit d'assurance

vendu. 1

Introduction

De maniere symetrique, un sur-provisionnement revient a immobiliser du capital supplemen- taire qui pourrait ^etre investi dans des valeurs a de meilleurs taux de retours sur investissement 1 que celui genere par les actifs de la compagnie. Par ailleurs, un sur-provisionnement peut aussi entra^ner un redressement scal, puisqu'il entra^ne un resultat non declare. Les methodes traditionnelles de provisionnement reposent sur des techniques de triangula- tion. Les paiements eectues par l'assureur lies aux indemnites de sinistres sont agreges par annee de survenance et par annee de developpement. Seul l'etalement des montants agreges au cours du temps est analyse : les donnees speciques a chaque sinistre (les donnees individuelles) ne sont pas prises en compte.

England et Verrall (2002) [

13 ] notent que les"techniques traditionnelles [de provisionne- ment] ont ete developpees avant l'avenement des ordinateurs personnels

2, en ayant recours a des

methodes qui pouvaient ^etre utilisees avec un crayon et un papier». Le recours a une modelisation individuelle,par une approche ligne a lignesur l'ensemble des sinistres, pourrait apporter de nombreux avantages. Il permettrait notamment : d ev aliderou non l 'utilisationd em ethodesagr egeese nf onctiond el ap erted' information ou des caracteristiques individuelles des sinistres. Notamment, etudier les donnees indi- viduelles permet de segmenter de maniere dynamique les portefeuilles pour obtenir des ensembles plus homogenes. d ep otentiellementd epasserce rtainesl imitesde sm ethodesagr egees.P armices l imites, on peut citer les problemes de sur-parametrisation des modeles (due a un faible nombre d'observations apres agregation des donnees). Les methodes agregees sont aussi generale- ment peu adaptees en presence de donnees negatives dans les triangles, cas relativement courants avec des donnees de charges (paiements eectues et reserves dossier par dossier constituees par le gestionnaire de sinistres) . d 'obtenird ese stimationsde l adi stributiond ese ngagementsf utursp robables,p ermettant de mesurer la capacite de l'assureur a faire face a ceux-ci dans les cas les plus extr^emes. Les methodes agregees fournissent une distribution predictive des reserves au prix soit de formuler une hypothese sur la loi des rpovisionss (ou des paiements), ou soit en faisant appel a des techniques de re-echantillonage sur un echantillon initial contenant une infor- mation trop succincte. Les distributions predictives de reserve obtenues avec un modele ligne a ligne permettraient d'exploiter l'ensemble de l'information disponible. d 'appliquerde sl imitesde con trat(m ontantmax imumd esin demnites),e tde sst ructures de reassurance non-proportionnelle. L'approche ligne a ligne permettrait ainsi de calculer les reserves cedees au reassureur (et les reserves nettes), par exemple dans le cas de traites de type"excedent de sinistres»(excess of loss3), et d'etudier la volatilite des reserves

brutes et des reserves nettes.1. p. ex. un investissement dans le capital d'une compagnie d'assurance d'un pays emergent.

2. L'utilisation de la methode Chain-Ladder remonterait aux annees 30 (Denuit et Charpentier, 2005 [

6

3. c'est-a-dire lorsque le reassureur prend en charge les indemnites lies a un sinistre qu'a partir d'un certain

seuil de sinistre (la priorite) et avec une limite d'intervention (la garantie). 2

Introduction

Le memoire s'articule selon le plan suivant :

d ansl ap remierep artie,nou srap pelleronsl 'environnementr eglementaire.Nou sd etaillons aussi les dierentes etapes de la vie d'un sinistre, de sa survenance a sa cl^oture, an de mieux se familiariser avec le type d'information qui sera disponible dans les donnees indi- viduelles de sinistres. d ansl asec ondepar tie,nou sex poseronsbr ievementl esp rincipalesm ethodesagr egeesd e provisionnement, en mettant l'accent sur la methode deterministe de reference : Chain- Ladder, et les principales methodes stochastiques. Il est conseille au lecteur familier avec les notions relatives au secteur de l'assurance non- vie et avec les enjeux du provisionnement de se rendre directement en partie 3. d ansl at roisiemep artie,n ouspr esenteronsl ec adreq uenou sa vonsre tenup our etudierle s sinistres par une approche ligne a ligne. d ansl aq uatriemepar tie,nou se xposeronsl em odelest ochastiquep ermettantd 'evaluerl es provisions par une approche ligne a ligne. Nous comparerons le comportement asympto- tique de nos estimateurs avec ceux de la methode agregee Chain-Ladder. d ansl aci nquiemepar tie,n ousr ealiseronsun e etuded es imulationsp our etudierl 'ecart a distance nie entre les estimateurs de la methode ligne a ligne et ceux de la methodequotesdbs_dbs19.pdfusesText_25