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Chapitre 12 Enroulement de la droite des réels sur le cercle

re 12 2 page 131 propose plusieurs cercles trigonométriques • Sur un de ces cercles, placer les 

TRIGONOMÉTRIE - maths et tiques

le de centre O et de rayon 1 II Enroulement de la droite numérique 1) Tangente à un cercle

TRIGONOMÉTRIE : exercices page 1 http://pierreluxnet L

ès enroulement sur le cercle trigonométrique, deux points x et y de la droite numérique :

13 Trigonométrie

ment de la droite numérique sur un cercle (I ;K) : cette droite graduée représente l'ensemble

12 trigonometrie

métrique est le cercle de centre O et de rayon 1 II Enroulement de la droite numérique

I- Sur le cercle trigonométrique

I- 1- 2- Enroulement d'une droite graduée Soit une droite graduée (l'unité n'a pas 

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ulement de la droite numérique » sur le cercle trigonométrique et définition du sinus et du cosinus d' 

Exercices corrigés pour améliorer ses techniques Enroulement

ment sur le cercle Exercice 1 Donner les points images sur le cercle trigonométrique 

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CONTENUS CAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES

" Enroulement de la droite numérique » sur le cercle trigonométrique et définition du sinus et du cosinus d'un nombre réel. On fait le lien avec les valeurs des sinus et

cosinus des angles de 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. On fait le lien avec la trigonométrie du triangle

rectangle vue au collège.

La notion de radian n'est pas exigible.

I.

LE CERCLE TRIGONOMETRIQUE

a. Repérage d'un point sur le cercle trigonométrique

On appelle

cercle trigonométrique un cercle de rayon 1 (le sens anti-horaire), autour du quel on a

" enroulé » la droite numérique. L'origine est le point I. On définit ensuite un sens de rotation appelé " sens

direct » A tout réel x, on peut associer un point M sur le cercle de la façon suivante : - si x > 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens direct. - si x < 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens indirect.

La longueur de l'arc IM est alors

||x.

Exemple :

La longueur totale du cercle est : 2 × π × R = 2 × π × 1 = 2π

Le point J est repéré par le nombre :

2π

4 = π

2 (un quart de tour dans le sens direct)

Le point J' est repéré par le nombre : -

2 (un quart de tour dans le sens indirect) ou 3π

2 (trois quarts de tour

dans le sens direct) b. Angle et longueur de l'arc. La longueur de l'arc intercepté par un angle au centre du cercle trigonométrique est proportionnelle à la mesure de l'angle en degré. Cet angle est orienté, c'est-à-dire positif ou négatif suivant le sens dans lequel on tourne.

Exemples :

IOA = 45° = 1

8 de tour = 1

8 × 2

4

IOB = 60° = 1

6 de tour = 1

6 × 2π = π

3

IOC = 120° = 1

3 de tour = 1

3 × 2π = 2π

3

IOD = 30° = 1

12 de tour (sens indirect) = - 1

12 × 2π = - π

6

IOI' = 180° = un demi-tour = π

O+ II' J J M O + II' J J ' 120°

60°

45°

30°

A BC D www.mathsenligne.com 2N5 - TRIGONOMETRIE COURS (2/2)

Remarques :

Tout point peut être repéré par une infinité de nombres. Par exemple A est associé aux nombres 0 (aucun

tour), 2π (un tour), 4π (deux tours...), -2π... La longueur de l'arc est en fait une autre façon de mesurer un ange, qu'on appelle le radian II.

COSINUS ET SINUS

On munit le cercle trigonométrique d'un repère orthonormé (O, OI , OJ ). Soit x la mesure en radian d'un angle, et M le point tel que IOM = x

Dans le triangle rectangle OAM, on a :

cos x = OA OM cos x = OA 1 (le cercle a pour rayon 1) cos x = OA donc cos x est l'abscisse de M. De même sin x = MA OM sin x = MA 1 (le cercle a pour rayon 1) sin x = MA = OB donc sin x est l'ordonnée de M.

Conclusion :

Si M est le point associé a réel x sur le cercle trigonométrique, alors M(cos x ; sin x).

Remarques :

- Pour tout x, on a -1 cos x 1 et -1 sin x 1

- Dans le triangle OAM rectangle en A on a OM = 1, OA = cos x et AM = sin x, alors d'après le théorème

de Pythagore OA² + AM² = OM² et donc : cos²x+ sin²x = 1

Quelques valeurs remarquables :

x (rad)

0 ππππ

6

4 ππππ

3 ππππ

2 x (°) 0 30° 45° 60° 90° cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 sin x 0 1 2 2 2 3 2 1 O I J M x A Bquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8