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Chapitre 1. Ensembles et applications.
()February 18, 2013 1 / 47
Table des mati`eres
1Ensembles: introduction
2Ensembles finis
()February 18, 2013 2 / 47
1. Ensembles: introduction
D´efinition
On appelleensembleune collection des objets. Ces objets sont appel´esles
´el´ementsde l"ensemble.
Exemples
1)= l"ensemble de tous les nombres entiers positifs.
2)= l"ensemble de tous les nombres entiers relatifs.
3)= l"ensemble des nombres rationnelsm
n,mn,n= 0.
4)= l"ensemble des nombres r´eels.
5)+= l"ensemble des nombres r´eels positifs.
6)= l"ensemble des nombres r´eels non nuls.
Terminologie de la th´eorie des ensembles
Sixest un ´el´ement d"un ensembleA, on ecritxA. Si non, on ´ecrit xA. Par exemple 2,2 3. ()February 18, 2013 3 / 47 On peut d´efinir un ensemble par la liste de ses ´el´ements. Par exemple, l"ensemble contenant le seul ´el´ement 0 est not´e0. L"ensemble contenant trois ´el´ements 123 est not´e par123. Une autre fa¸con de d´efinir un ensemble c"est d"indiquer la propri´et´e `a laquelle v´erifient tous les ´el´ements de cet ensemble et seulement ces
´el´ements. L"ensemble de tous les ´el´ements v´erifiant propri´et´ePest not´e
xP.
Exemple
l"ensemble de tous les nombres naturels strictement sup´erieurs`a 2 est not´e xx2
D´efinition
L"ensemble ne contenant aucun ´el´ement est appel´el"ensemble videet not´e ()February 18, 2013 4 / 47
D´efinition
SoitEFdes ensembles. Si chaque ´el´ement deEest aussi un ´el´ement de F, on dit queEestune partie (ou sous-ensemble)deFet on ´ecritEF. SiEFetE=Falors on dit queEest unsous-ensemble propredeE et on ´ecritEF.
Exemples
1). 2).
3) quel que soit un ensembleEon a:EetEE.
Pour un ensembleA, l"ensemble de tous les sous-ensembles deAest not´e 2
AouP(A).
Exemple
SoitA=01. Les sous-ensembles deAsont,A,0,1donc
P(A) =0101.
()February 18, 2013 5 / 47
D´efinition
SoitABdes ensembles. L"ensemble qui contient tous les ´el´ementsqui appartiennent `a la fois `aAet `aBest appel´el"intersection de ABet not´e AB.
Autrement dit (xAB)((xA) et (xB)).
Exemple
01 21=1
D´efinition
SoitABdes ensembles. L"ensemble des ´el´ementsxtels quexAou xBest appell´ela r´eunion de A et Bet not´eAB.
Exemple
On note parl"ensemble de tous les nombres entiers n´egatifs (y compris
0). On a alors=et=0.
()February 18, 2013 6 / 47
D´efinition
SiAEsont des ensembles, alors l"ensemblexExAest appel´e compl´ementaire de A dans E, et not´eEA.
SiAE, l"ensembleEAest not´e aussiCA.
Exemple
Quel que soit un ensembleEon a:C=EetCE=.
R`egles de calcul
Intersection et r´eunion sont commutatives:
AB=BA,AB=BA,
et associatives:
A(BC) = (AB)C,A(BC) = (AB)C
On a:
AA=AA=A,A=,A=A.
()February 18, 2013 7 / 47
Proposition
A(BC) = (AB)(AC)(l"intersection est distributive par rapport `a la r´eunion).
D´emonstration.On va montrer d"abord que
A(BC)(AB)(AC).
SixA(BC), alorsxAetxBouxC. DoncxAet
xBou bienxAetxC. Autrement ditxABou xAC. Ce qui est ´equivalent `ax(AB)(AC). De la mˆeme fa¸con, on v´erifie que (AB)(AC)A(BC). Donc chacun de deux ensembles de notre ´enonc´e fait partie de l"autre.
Cela veut dire qu"ils sont ´egaux.?
Exercice
Montrer queA(BC) = (AB)(AC)
()February 18, 2013 8 / 47
Proposition
Soit E un ensemble et A, BE. Alors CAB=CACBet
C
AB=CACB.
D´emonstration.Nous avons
xCAB (xAB) (xA)(xB)
Par la loi de De Morgan on a
(xA)(xB) (xA) (xB) La derni`ere assertion est ´equivalente `a (xCA)(xCB), d"o`u xCABxCAB La d´emonstration de la deuxi`eme formule est similaire.?
D´efinition
SoitABdes ensembles. L"ensemble de tous les couples ordonn´es (xy) tels quexA,yBest appell´ele produit cart´esiendeAetB, not´e AB. ()February 18, 2013 9 / 47
Exemple
A=,B=alorsAB=est identifi´e avec le plan euclidien. (faire le dessin!) NB. L"ordre de deux composantes d"un couple est important: (xy)= (yx) comme on le voit sur le dessin.
Remarque
Nous avons d´ecrit quelques proc´edures pr´ecises qui permettent de construire des nouveaux ensembles `a partir des ensembles d´ej`a existants. Il se trouvent que toutes les fa¸cons de construire des ensembles ne sont pas bonnes. On peut montrer par exemple quel"ensemble de tous les ensembles n"existe pas, c"est-`a-dire l"hypoth`ese de l"existence de cet ensemble m`ene `a une contradiction. ()February 18, 2013 10 / 47
Applications
D´efinition
SoitABdes ensembles. Une loi qui associe `a chaque ´el´ementxdeAun unique ´el´ementydeBest appell´eeapplicationoufonctiondeAdansB.
On ´ecrit
f:ABouAf?? B Pour un ´elementxAl"´el´ement deBqui lui est associ´e est not´ef(x), et on ´ecritx??? f(x). L"´el´ementf(x) est appel´el"image de x par fetx est ditl"ant´ec´edentdef(x).
Exemples
1)f??d´efinie par la formulef(x) = sin(x) est une application de
dans. L"´el´ement 0a un nombre infini d"ant´ec´edents, notamment, pour toutkle nombrekest un ant´ec´edent de 0.
2) La formulef(n) =n2d´efinit une application dedans lui-mˆeme.
()February 18, 2013 11 / 47 Dans les exemples pr´ec´edents les fonctions ont ´et´e d´efinies par des formules (polynˆomiales, trigonom´etriques etc.); ce n"est pas un seul moyen de d´efinir des fonctions comme le montre l"exemple suivant.
Fonction de Dirichlet::?,
(x) = 1six (x) = 0six
D´efinition
Soitf:A?Bune application. Le sous-ensemble
(xf(x))xA ABest ditle graphe de fet not´e Γf.
Exemples
1) Soitf:la fonction donn´ee par:f(x) =x. Alors son graphe Γf
est une ligne droite dans le plan euclidien2, notamment la bissectrice de l"angle droit form´e de deux axes de coordonn´ees. (faire les dessins!)
2) Soitf:la fonction donn´ee par:f(x) = 0. Alors son graphe Γf
est l"axe des abscisses. ()February 18, 2013 12 / 47
D´efinition
Soitf:A??Bg:B??Cdes applications. L"application deA dansCqui associe `a chaquexAl"´el´ementg(f(x)) deCest appel´ee l"application compos´ee(o`u simplementla compos´ee) defetg, et not´ee gf.
Exemple
Soitf:l"application d´efinie par la formulef(x) =x3. Alors pour l"applicationg=ffon ag(x) = (x3)3=x27.
Exercice
Calculerfgo`ufg:R+R+sont les applications suivantes:
1)f(x) =xg(x) =1
x;
2)f(x) =1
xg(x) =1x;
3)f(x) =1
xg(x) =1x2. ()February 18, 2013 13 / 47
Remarque
En g´eneralfg=gfmˆeme sifgsont des applications d"un ensemble Adans lui-mˆeme. Par example, sif(x) =x3g(x) = 2x(des applications dedans) on a (fg)(x) = 8x3(gf)(x) = 2x3
D´efinition
SoitAun ensemble, etBA. L"application qui `a chaque ´el´ementxB associexlui-mˆeme consid´er´e comme un ´el´ement deAest appel´ee l"application inclusion. SiB=Acette application est appel´eel"application identit´edeAet not´eeIdA.
D´efinition
Soitf:ABune application, etAA. La compos´ee de l"application inclusion et defest appel´eela restriction de f sur Aet not´ee fA:AA.
C"est-`a-dire (fA)(x) =f(x) pour toutxA.
()February 18, 2013 14 / 47
D´efinition
Une applicationf:A?Best diteinjectivesi
f(x) =f(y) =(x=y) (c"est-`a-dire sizBadmet un ant´ec´edent dansA, alors cet ant´ec´edent est unique.)
D´efinition
Une applicationf:A?Best ditesurjectivesi:
zBxAtel quef(x) =z (c"est-`a-dire chaquezdansBadmet un ant´ec´edent dansA).
Exemples
1)f(x) = sin(x) n"est pas injective carf(0) =f() = 0 et n"est pas
surjective carxsin(x)?1. ()February 18, 2013 15 / 47
2) En revanche, la fonctionh:?[?1;1] d´efinie parh(x) = sin(x) est
surjective.
3) La fonctiong:?g(n) =n2est injective mais elle n"est pas
surjective (v´erifiez!).
Graphe d"une fonction surjective:
pour chaqueyla droitelyintersecte le graphe Γf. (faire les dessins!)
Graphe d"une fonction f injective:
Chaque droitelyintersecte Γfune fois maximum.
D´efinition
Une application qui est injective et surjective est ditebijective(ouune bijection). Doncfest bijective si et seulement si chaqueyBadmet un unique ant´ec´edent dansA. ()February 18, 2013 16 / 47
Exemples
1)f:?f(x) =?xest bijective (car chaqueyadmet un
unique ant´ec´edent par rapport `af, notamment?y).
2) On va construire une bijection???
. Posons (x) = x
2sixest pair;
x+1
2sixest impair
V´erifions queest injective.
Supposons que(x) =(y) alors
si(x)?0 alorsxest pair,yaussi etx
2=y2, soitx=y.
si(x)0 alorsxetysont impairs et?x+1
2=?y+12=x=y.
V´erifions queest surjective.
Soitnalorsn=(2n), 2n.
Soitmm0. Alorsm=(?2m?1) o`u?2m?1.
()February 18, 2013 17 / 47
Remarque
L"ensembleest un sous-ensemble propre de, c"est-`a-dire, et =. Cependant on a ´etabli une bijection entreetce qui veut dire quecontient "autant d"´elements" que.
3) L"application
f: [01][02];f(t) = 2t est une bijection. ( Rappelons que [ab] =xa?x?b. ) En effet, montrons d"abord quefest injective. Sif(x) =f(y), alors
2x= 2yce qui impliquex=y. Montrons maintenant quefest surjective.
Soity[02]. Posonsx=y2, alorsx[01] etf(x) = 2x=y.
Exercice
Soitabnombres r´eels etab. Montrer que l"application g: [01][ab];f(t) =a+t(b?a) est bijective. ()February 18, 2013 18 / 47
D´efinition
Soitf:A?Bune application.
SoitXA, alors le sous-ensemble
yBy=f(x)pour unxX est appel´el"image de X par f, not´eImX. L"image deAest not´e aussi par
Im(f).fest surjective si et seulement siIm(f) =Y.
SoitYB, le sous-ensemble
xAf(x)Y est appel´el"image r´eciproque de Y par fnot´ef1(Y). ()February 18, 2013 19 / 47
Exemple
Soitf:?,f(x) =x2. AlorsIm(f) =Im() =+et
f
1(1) =?1;1.
Proposition
1) La compos´ee de2applications injectives est injective.
2) La compos´ee de2applications surjectives est surjective.
3) La compos´ee de2applications bijectives est bijective.
D´emonstration.1) SoitAf??
Bg??Co`ufgsont des
applications injectives. Pour montrer quegfest injective, supposons que (gf)(x) = (gf)(y), pourxyA. Alorsg(f(x)) =g(f(y)). Puisquegest injective, cela implique f(x) =f(y). De plus,f´etant injective, on d´eduitx=y.
Donc (gf) est injective.
2) SoitAf??
Bg??C, o`ufgsont des applications surjectives.
SoitzC. L"applicationg´etant surjective, il existeyBtel que g(y) =z. ()February 18, 2013 20 / 47 De plus,f´etant surjective, il existexAtel quef(x) =y. Finalementz=g(y) =g(f(x)) = (gf)(x) et l"applicationgfest surjective.
3) d´ecoule de 1) et 2).?
D´efinition
(Rappel). SoitAun ensemble. On noteIdAl"applicationAAd´efinie parIdA(x) =x. On l"appellel"application identit´e.
Proposition
Soit f:A?B une application. Alors f est bijective si et seulement si il existe une application g:B?A, telle que gf=IdAetfg=IdB g est appel´ee l"application r´eciproque `a f , et not´ee f 1.
D´emonstration.
Premi`erement, supposons qu"il existeg:B?A, tel quefg=IdB, gf=IdA, et montrons quefest bijective. ()February 18, 2013 21 / 47 Remarquons quefest injective. En effet, sif(x) =f(y) alors g(f(x)) =g(f(y)) donc (gf)(x) = (gf)(y). Or (gf)(x) =IdB(x) =x, de mˆeme poury; doncx=y. De plusfest surjective, car siyB,y=IdB(y) = (fg)(y) =f(z), avecz=g(y), doncyf(A). On en d´eduit quefest bijective.
Deuxi`emement, soitf:A??
Bune bijection.
AlorsyB,xAtel quef(x) =y(carfest surjective). On pose g(y) =x(un telxest unique, puisquefest injective) et on obtient ainsi une applicationg:B?? A.
Par d´efinition on a (gf) =IdA, (fg) =IdB.
Corollaire
quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24
Chapitre 2 Ensembles et sous-ensembles