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ENIT, Campus Universitaire, B.P. 37, 1002 Tunis Le Belvédère, Tunisie, Tel: (216) 71 874 700, Fax: (216)71 872 729, http://www.enit.rnu.tn,
Email : karim.bourouni@enit.rnu.tn, karimbourouni@yahoo.fr, Site Web : www.karimbourouni.comEXERCICES DE MESURES ET INSTRUMENTAION
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A l"Ecole Nationale d"Ingénieurs de Tunis
Université de Tunis El Manar
Karim Bourouni
Maître Assistant en Génie Industriel
Janvier 2011
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ENIT, Campus Universitaire, B.P. 37, 1002 Tunis Le Belvédère, Tunisie, Tel: (216) 71 874 700, Fax: (216)71 872 729,
http://www.enit.rnu.tn, Email : karim.bourouni@enit.rnu.tn, karimbourouni@yahoo.fr, Site Web : www.karimbourouni.com 1 ______________________________________ Exercices Corrigés de Mesure et InstrumentationPREFACE
Ș¨¯²§³"Ɏ ³Ôº§²²¯·»"ȍɎ /3ŴųųȍɎ 3®"¸³¯¹º§´©"ȍɎ "º©ȌșȌɎ ¬¯´Ɏ ª"Ɏ ¸Ô¼¯¹"¸Ɏ ¹µ´Ɏ ©µ»¸¹Ɏ "ºɎ
3 ______________________________________ Exercices Corrigés de Mesure et InstrumentationMODE D"EMPLOI
. La page de la correction est indiquée dans le sommaire.Chapitre 1. : Analyse dimensionnelle
Ɏ1111 ???? ANALYSE DIMENSIONNELLE
_____________________________ ▪ EXERCICE 1 &¸§´ª"»¸Ɏ 2¿³¨µ²"Ɏ Ɏ4´¯ºÔ¹Ɏ 4´¯ºÔ¹Ɏ2(Ɏ5¯º"¹¹"Ɏ ³Ɏ¹ɉŴɎ
5¯º"¹¹"Ɏ§´»²§¯¸"Ɏ w ¸§ªɎ¹ɉŴɎ
©©Ô²Ô¸§º¯µ´Ɏ a ³Ɏ¹ɉŵɎµ»Ɏ-±ɉŴɎ
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,§¹¹"Ɏm ±ɎȘ±¯²µ¸§³³"șɎ ,µ³"´ºɎª"Ɏ¬µ¸©"Ɏ M -Ȍ³Ɏ ,µ³"´ºɎ©¯´Ôº¯·»"Ɏs ±Ɏ³ŵ¹ɉŴɎ %¸Ô·»"´©"Ɏn 'ÀɎȘ®"¸ºÀșɎ +µ´»"»¸Ɏªȟµ´ª"Ɏl ³ȍɎ Ɏ /Ô¸¯µª"ɎT ¹Ɏ /»²¹§º¯µ´Ɏw ¸§ªɎ¹ɉŴɎ 5 ______________________________________ Exercices Corrigés de Mesure et Instrumentation´²"Ɏ¹µ²¯ª"ɎW ¹¸ɎȘ¹ºÔ¸§ª¯§´șɎ
Tableau 1.2. Dimensions des grandeurs électromécaniques"®§¸"ɎÔ²"©º¸¯·»"Ɏ·ȍɎ0Ɏ "ɎȘ"µ»²µ³¨șɎ
/µº"´º¯"²ɎÔ²"©º¸¯·»"Ɏ5Ɏ 5ɎȘ5µ²ºșɎ
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#"´¹¯ºÔɎª"Ɏ©µ»¸§´ºɎÔ²"©º¸¯·»"ɎJ Ɏ³ɉŵɎ
"µ´ª»©º¯¼¯ºÔɎÔ²"©º¸¯·»"Ɏg S m-11Ô¹¯¹º§´©"Ɏ1Ɏ W (ohm)
%µ¸©"ɎÔ²"©º¸µ³µº¸¯©"Ɏ$ȍ"Ɏ V (Volt) /µº"´º¯"²Ɏ¼"©º"»¸Ɏ A Wb/m"µ"¬¬¯©¯"´ºɎª"Ɏ¹"²¬Ɏ¯´ª»©º§´©"Ɏ+Ɏ H (henry)
¯´ª»©º§´©"Ɏ,Ɏ H (henry) ,µ³"´ºɎ³§´Ôº¯·»"Ɏ m A m2 F/m /"¸³¯ºº¯¼¯ºÔɎ³§´Ôº¯·»"Ɏm0 H/m ▪ EXERCICE 21. Donner la définition d"une grandeur physique et sa propriété
fondamentale2. Une masse est mesurée à l"aide de deux unités U
1 et U2. Le rapport de
ces deux unités estŴŵ4
41=2.1. Quelle est la valeur du rapport des deux résultats de mesure ?
2.2. La livre anglaise ou pound (U
2) vaut 0.453492 kg. En prenant le
kilogramme pour (U1), quelle est la masse en kg de 0.275 pound ?
Chapitre 1. : Analyse dimensionnelle
3. Le psi est l"unité de mesure anglo-saxonne "pound per square inch" de
la pression. On donne les équations aux unités : {1} [inch] = {2.54 10 -2} [mètre] {1} [pound] = {4448222} [Newton] Que vaut le psi dans le système international ? On rappelle que l"unité SI de pression est le Pascal et représente la pression exercée par une force de 1 Newton sur la surface de 1 mètre carré.4. Etablir l"équation aux dimensions et donner la valeur numérique dans le
système SI de la constante de Boltzmann :1±=
On rappelle que le système SI Comprend 7 unités : Longueur (L), Masse (M), temps (T), courant électrique (I), température (K), quantité de matière (mol), et intensité lumineuse (Cd).On donne R = 8.314510 J mol
-1 K-1, NA = 6.0221367 1023 mol-15. L"indice de réfraction de l"air affecte les longueurs d"onde des radiations
électromagnétiques par la relation :
¼¯ª"§¯¸´l=l´ (1.1)
Les formules d"Edlen permettent de calculer l"indice de réfraction de l"air La première formule d"indice de réfraction de l"air dans les conditions standards.Où n
s est l"indice de réfraction dans des conditions d"air standards, c"est à dire pour une température T = 15°C et une pression P = 101325 Pa et s=1 lest le nombre d"onde (en mm-1) dans le vide la radiation considérée. La deuxième formule donne l"indice de réfraction de l"air dans les conditions d"utilisation. (1.3)Où n
tp est l"indice de réfraction de l"air à la température T (en °C) et à la pression P (en Pa)5.1. Quelle est la dimension de l"indice de réfraction n ?
5.2. Donner la dimension de l"unité des nombres figurant dans les
expressions (1.2) et (1.3) : 8342,13; 13; 130; 15997; 0,003671; 1.04126 10 -5 7 ______________________________________ Exercices Corrigés de Mesure et Instrumentation6. Dans les domaines de la géométrie, de la cinématique, de la dynamique
et de l"électricité, le système SI utilise les quatre grandeurs physiques de base suivantes: Longueur, Masse, Temps et Intensité de courant électrique, dont les symboles sont notés L, M, T et I respectivement.6.1. Compléter le tableau suivant des grandeurs physiques dérivées les
plus courantes.Nom Symbole Equation de
définition Exposants dimensionnelsVitesse V V = L/T
Accélération g g = V/T
Force F F = M g
Energie W W = F L
Puissance P P = W/T
Action A A = W.T
Quantité
d"électricité Q Q = I.TD.d.p U U = P/I
Resistance R R = U/I
6.2. On se propose de construire un système de grandeurs physiques
couvrant le même domaine à partir des quatre grandeurs physiques de base suivantes : Longueur, Action, Temps et quantité d"électricité, dont les symboles seront notés L", A", T" et Q" respectivement. a. Etablir un tableau équivalent à celui qui a été donné plus haut, comprenant dans l"ordre les grandeurs physique suivantes : vitesse v", accélération g", énergie w", puissance p", force f", masse m", intensité de courant électrique i", différence de potentielle u" et résistance r" (on donnera les exposants dimensionnels dans l"ordre suivant L", A", T" et Q") b. Les unités de base du nouveau système sont déduites des unités SI par les relations suivantes :1. [L"] = 2.42631 10
-12 m1. [A"] = 6.626176 10
-34 J.s1. [T"] = 8.093299 10
-21 s1. [L"] = 1.602189 10
-19 CEn déduire les valeurs numériques
a1, a2, a3 et a4 définis ci-après :1.[V"] =
a1 m/s1.[F"] =
a2 N1.[R"] =
a3 WChapitre 1. : Analyse dimensionnelle
1.[T"] = a4 A
EXERCICE 3
1. A partir de l"équation de définition du champ électrique
Edéterminer
la dimension de la permittivité du vide e0 et déduire son unité dans SI2. a. Déterminer la dimension du champ magnétique B et déduire son
unité dans SI b. Déduire la dimension de la permittivité du vide m0 ainsi que son unité dans le SI3. Montrer que la célérité de la lumière dans le vide C vérifie l"équation
suivante :Ŵ"m´e= (1.4)
On donne :
{e0 } = 8.85 10-12 m0} = 12.56 10-7EXERCICE 4 ☺☺☺☺
La force qui s"exerce entre deux charges électriques q et q" séparées par une distance r est donnée en module par la loi de coulomb : La force de la base entre deux fils parallèles parcourus respectivement par les courants I et I", de longueur L et séparés par une distance r est donnée par :´p´
´´´m= (1.6)
1. Donner les dimensions de
e0 et m02. Vérifier l"homogénéité de la relation :
la lumière dans le vide. 9 ______________________________________ Exercices Corrigés de Mesure et Instrumentation2222 ???? INCERTITUDES ET CALCUL D"ERREURS
_______________________________________EXERCICE 1
Deux résistances ont des valeurs respectives 10.7 ±2 ohm et 26.5 ±0.5 ohm. 1. Quelle est la valeur de la résistance équivalente quand ils sont connectées (1) en séries, (2) en parallèle ? 2. Déduire l"erreur sur la résistance équivalente dans chaque cas.EXERCICE 2 ☺☺☺☺
Une résistance R = 5.1 W est traversée pendant 60.0 s par un courant continud"intensité 2.2 A. Quelle est l"énergie thermique dépensée dans cette résistance ?
Donner son incertitude absolue. (Donner le résultat en deux chiffres significatifs) Les incertitudes absolues des différents termes sont au plus égales a une unité de l"ordre du dernier chiffre.EXERCICE 3
Quand on mesure une constante de temps d"un circuit RC, nous supposons l"expression suivante : t-=--= "5555 (2.1)Où :
Vc : Tension aux bornes de la capacité
V s : Tension de saturation V i : Tension initiale V s < Vc < ViCalculer l"incertitude
DA en fonction de l"incertitude sur la tension Vi, Vc et Vs (Nous supposons queDVs = DVc = DVi = DV)
EXERCICE 4
Afin de calculer les pertes de chaleur à travers les murs d"un bâtiment, il estnécessaire de connaître la différence de température entre l"intérieur et l"extérieur.
Des températures de 5°C et 20°C sont mesurées de chaque côté du mur par un
thermomètre à mercure avec un domaine de -25°C à +25°C. La précision des mesures est de ±1% de la lecture, calculer l"erreur possible dans la figure calculée pour la différence de température.Chapitre 2 : Incertitude et calcul d"erreurs
EXERCICE 5
La densité d"un liquide est calculée par la mesure de sa profondeur c dans un réservoir calibré de section rectangulaire et en le vidant dans un système de mesure de mass. La longueur et la largeur du réservoir sont respectivement a et b. Ainsi, la densité est donnée par :³ª´´= (2.2)
Où m est la mass mesurée du liquide. Si les erreurs possibles des mesures sur a, b, c et m sont respectivement: 1%, 1%, 2% et 0.5%, déterminer l"erreur possible sur la valeur calculée de la densité d.EXERCICE 6
Un générateur de courant continu de 3 V exigé pour un circuit est obtenu en connectant ensemble deux batteries de 1.5 Volts en série. Si l"erreur sur la tension à la sortie de chaque batterie est de ±1%, calculer l"erreur possible sur la tension de sortie du générateur 3 V.EXERCICE 7 ☺☺☺☺
Pour mesurer l"indice n d"un matériau transparent pour une longueur d"onde l, on peut utiliser un prisme d"angle A réalisé avec ce matériau et mesurer l"angle de déviation minimum D m entre le rayon incident et le rayon émergent. AFigure 2.1. Diffraction par un prisme
On a alors la relation :
(2.3) 11 ______________________________________ Exercices Corrigés de Mesure et Instrumentation1. En appelant DA et DDm les limites de l"erreur systématique sur A et Dm,
calculer Dn limite supérieure de l"erreur systématique sur n.2. Application numérique :
A = 60"; D
m = 40"; DA = 1"; DDm = 2". ▪ EXERCICE 8 Soit Y une grandeur physique calculée à partir des grandeurs physiques X1 et X2 par une relation de forme : Y = f(X1, X2)
En outre X
1 et X2 sont liées par la relation déterministe : X2 = g(X1)
X1 et X2 sont entachées d"erreurs systématiques évaluées par les incertitudes
DX1 et DX2.
Calculer l"incertitude
DY qui en résulte sur Y
- en faisant un calcul correct - en faisant un calcul d"erreur qui "ignore" la relation entre X1 et X2
▪ EXERCICE 9 ☺☺☺☺ L"accélération g de la pesanteur mesurée avec une pendule réversible est donnée par la relation suivante : 3 +ŷ´p´= (2.4) Avec L = 104.23 cm : la longueur du pendule et DL = 0.1 mm.T : est la période des oscillations
LFigure 2.2. Schéma d"une pendule
1. Exprimer l"incertitude absolue sur g en fonction de
DL, DT, L et T;
2. On veut mesurer la période T avec un chronomètre, pour cela on compte N
périodes pendant un temps t Calculer t pour que l"incertitude relative sur T soit égale à 1% sachant que lesChapitre 2 : Incertitude et calcul d"erreurs
incertitudes sur t sont dues à l"erreur d"enclenchement et à l"erreur de déclenchement du chronomètre sont de 0.1 s chacune.4. Sachant que le nombre d"oscillations est de 22 oscillations pendant le temps t,
déduire la période T5. Calculer g et
DgEXERCICE 10 ☺☺☺☺
La vitesse d"une masse suspendue par un fil à l"extrémité d"un pendule simple est donnée par la formule suivante :ș©µ¹ŴȘ+5q-´´= (2.5)
Avec g : l"accélération de la pesanteurL : la longueur du fil
q : l"amplitude angulaire du pendule1. En appelant
Dg, Dl et Dq les incertitudes sur g, L et q. Calculer de deux manières différentes l"incertitude sur la vitesse V.2. Application numérique :
g = 9.81 N/mDg = 0.01 N/m
L = 1,000 m
DL = 0.001 m
q = 10° Dq = 1"Calculer V et
DVEXERCICE 11
Une résistance R = 5.1 W est traversée pendant 60.0 s par un courant continu d"intensité 2.2 A. Quelle est l"énergie thermique dépensée dans cette résistance? Donner son incertitude absolue. (Donner le résultat avec deux chiffres significatifs). Les incertitudes absolues des différents termes sont au plus égales à une unité de l"ordre du dernier chiffre inscrit. ▪ EXERCICE 12 ☺☺☺☺ La période d"un pendule simple pour des oscillations de faible amplitude est:???±=±=´p´=±Ƀ-ųŴȌų±Ƀ-Żȍż³ųųŴȍų³ųųųȍŴ²§¼"©²ŵ3 (2.6)