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Université Lyon 1

Math-III-Algèbre semestre de printemps 2009

Examen partiel

jeudi 9 avril 2009 durée : 2h documents autorisés, calculatrices interdites

Exercice 1

La matrice

0 B

BBBBBBBBBBB@1 2 3 4 5

0 6 7 8 9

0 0 10 11 12

0 0 0 13 14

0 0 0 0 151

C

CCCCCCCCCCCA

est-elle diagonalisable?

Exercice 2

SoitA:=0

B

BBBB@1 0 0

1 1 0

0 0 11

C

CCCCA.

a) Calculer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal deA. b) La matriceAest-elle diagonalisable? c) Est-elle inversible? Si oui, calculerA1, sinon passer à un autre exer- cice.

Exercice 3

Soitt2?. On poseR(t) :=0

B @costsint sintcost1 C A. a) Déterminer le polynôme caractéristique deR(t). b) Calculer l"inverse deR(t). c) Montrer queR(t)est diagonalisable sur?et déterminer une matrice Pinversible indépendante detet une matrice diagonaleDtelle que :

R(t) =PDP11

d) Pour quelst2?, la matriceR(t)est-elle trigonalisable sur?.

Exercice 4

On pose

B:=0 B

BBBB@115 5

5 33 53 31
C CCCCA a) Trouver les valeurs propres deB. b) Trouver une matrice inversiblePet une matrice diagonaleDtelle que :

B=PDP1:

c) On suppose qu"il existe une matrice complexeAtelle queA2=B.

Montrer queAetBcommutent.

d) On suppose toujours queA2=B. Montrer queAlaisse stable les espaces propres deB. e) Montrer que toute base de vecteurs propres deBest aussi une base de vecteurs propres deA. f) Trouver toutes les matrices diagonalesdtelles que : d 2=0 B

BBBB@0 0 0

0 4 0

0 0 161

C

CCCCA:

g) Combien y a-t-il de matricesAtelles queA2=B?2

Université Lyon 1

Math-III-Algèbre semestre de printemps 2009

Contrôle continu final

jeudi 18 juin 2009 durée : 2h documents autorisés, calculatrices interdites

Exercice 1

a) Rappeler la définition d"une matrice nilpotente. b) Donner un exemple de matrice non nulleN, de taille33, vérifiant N

2= 0et un exemple vérifiantN26= 0etN3= 0.

Soientn >0etN2Mn(?)une matrice nilpotente.

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