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www math sciences univ-nantes fr/˜guillope/l3-osc Version : 2 mars 2020 Le problème d'optimisation avec les contraintes d'égalité gi(x) = 0,i = 1, ,n et les contraintes la dérivée à droite en t = 0 de la fonction t ∈ [0,ε) ↦→ U(x + td)

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T(f+g) = (f+g)(1)2(f+g)(0)

=f(1) +g(1)2f(0)2g(0) =(f(1)2f(0)) +(g(1)2g(0)) =T(f) +T(g): jT(f)j=jf(1)2f(0)j jf(1)j+ 2[f(0)j 3kfk1: f(x) = 2x1? ?? ???? ?????

T(f) =f(1)2f(0) = 12(1) = 3 = 31 = 3 kfk1:

rf(x;y) =6x2+ 6y 6x6y:

6x2+ 6y= 0

6x6y= 0,x2+y= 0

x=y,x2+x= 0 x=y,x(x+ 1) = 0 x=y ,x= 0 y= 0??x=1 y=1: H f(x;y) =12x6 66
?? ????? ? ????(0;0)?? ? H f(0;0) =0 6 66
? ????? ? ????(1;1)?? ? H f(1;1) =12 6 66
??f??? ??? ?? ??????? ????? ???? ?? ???? ??? ????? ?? ??????? ??????? ?? ????f?????

C=x2R2; g1(x)0; g2(x)0:

g H g1(x;y) =Hg2(x;y) =2 0 0 2: (1)(x0;y0) +(x1;y1)? ?? ? g

1(x;y) =g1((1)(x0;y0) +(x1;y1))(1)g1(x0;y0) +g1(x1;y1);

(x0;y0);(x1;y1)2C? ????g1(x;y)0? ?? ???? ?? ?????? ???g2(x;y)0? ????? g g

2(x;y)0,(x+4)2+(y+3)225,p(x+ 4)2+ (y+ 3)25, k(x;y)(4;3)k 5

rg1(x;y) =2(x1) 2y ??rg2(x;y) =2(x+ 4)

2(y+ 3)

?? (x;y)?? ?????? ??? ?? ?????? ?? ????? ? ???? ??? ??? ?? ?????? ?? ????? ? ????? ?? (x;y)?? ?????? ??? ?? ?????? ?? ????? ? ???? ??? ??? ?? ?????? ?? ????? ? ????? ??????? g1(x;y) = 0 g

2(x;y) = 0,(x1)2+y2= 1

(x+ 4)2+ (y+ 3)2= 25 ,x2+ 12x+y2= 1 x

2+ 16 + 8x+y2+ 9 + 6y= 25

,x22x+y2= 0 x

2+ 8x+y2+ 6y= 0

,x22x+y2= 0

10x+ 6y= 0

,x22x+y2= 0 y=5x3 ,x22x+259 x2= 0 y=5x3 349
x22x= 0 y=5x3 ,x349 x2= 0 y=5x3 ,x= 0 y= 0??x=917 y=53 917
=1517 ? ???(9=17;15=17)?rg1(9=17;15=17) = (16=17;30=17)??rg2(9=17;15=17) = det(rg1(x;y);rg2(x;y)) =2(x1) 2(x+ 4)

2y2(y+ 3)

= 4(x1)(y+ 4)4y(x+ 3) (x1)(y+ 4) =y(x+ 3),xy+ 4xy4 =xy+ 3y ,4x4y4 = 0 ,y=x1: :g

1(x;y) = 0

g

2(x;y) = 0

y=x1,8 :(x1)2+y2= 1 (x+ 4)2+ (y+ 3)2= 0 y=x1,8 :2y2= 1 (x+ 4)2+ (x+ 2)2= 0 y=x1: 8< :rJ(x;y) +1rg1(x;y) +2rg2(x;y) = 0

1g1(x;y) = 0

2g2(x;y) = 0

,8 >:1 + 21(x1) + 22(x+ 4) = 0

1 + 21y+ 22(y+ 3) = 0

1g1(x;y) = 0

2g2(x;y) = 0

,8 >:2(1+2)x+ 1 + 8221= 0

2(1+2)y+ 1 + 62= 0

1g1(x;y) = 0

2g2(x;y) = 0

?? ??? ? 1= 0??26= 0? ?????g2(x;y) = 0?? ?? ??????? ??????? 8< :22x+ 1 + 82= 0

22y+ 1 + 62= 0

(x+ 4)2+ (y+ 3)2= 25,8 :22(xy) + 22= 0

22y+ 1 + 62= 0

(x+ 4)2+ (y+ 3)2= 25 ,8 :xy+ 1 = 0

2(2y+ 6) =1

(x+ 4)2+ (y+ 3)2= 25 ,8 :y=x+ 1

2(2y+ 6) =1

(x+ 4)2+ (x+ 4)2= 25 ,8 :y=x+ 1

2(2y+ 6) =1

2x2+ 16x+ 7 = 0

2? ????x=1610p2

4 45p2
2 2 ???? ????? ????4+5p2 2 ???p2<3=2????4+5p2 2 <4+534 =16+154 <0? ?? ?? ??? ??? ? 16= 0??2= 0? ?????g1(x;y) = 0?? ?? ??????? ??????? 8< :21x+ 121= 0

21y+ 1 = 0

(x1)2+y2= 1,8 :21(xy)21= 0

21y+ 1 = 0

(x1)2+y2= 1 ,8 :xy1 = 0

21y+ 1 = 0

(x1)2+y2= 1 ,8 :y=x1

21y+ 1 = 0

2(x1)2= 1

,8 :y=x1

21y+ 1 = 0

2x24x+ 1 = 0

2? ????x=42p2

4 = 1p2 2 x= 1 +p2 2 ? ?????y=x1 =p2 2 2 ? ?????y=x1 =p2 2 (1p2 2 ;p2 2 )??? ???? ????C??? ??????? ?? ???? ?? ?g1 1p2 2 ;p2 2 = 0??????? g 2 1p2 2 ;p2 2 = (1p2 2 + 4)2+ (p2 2 ) + 3)225 = 2(3p2 2 )225 = 186p2 + 125 =6(1 +p2)<0: ?? ??? ? 16= 0??26= 0? ?????g1(x;y) =g2(x;y) = 0????(x;y) = (0;0)?? 8< :2(1+2)x+ 1 + 8221= 0quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17