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Distribution marginale en x : • Distribution marginale Distribution d'une des variables lorsque la valeur de l'autre est Calcul de la covariance (cf variance) :
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Chapitre III. Observation d"un couplede variables
1) Distribution conjointe et tableau de contingence
On observe simultan
´ement 2 variablesXetYsur un´echantillon den individus d"une population donn ´ee. A chaque individu de l"´echantillon est donc associ´e un couple de r´eponses`aXetY.
On notera(xi;yi)la r´eponse`a(X;Y)pour l"individu num´eroide l" ´echantillon. On notera aussiKetK0les nombres de modalit´es (ou de classes dans le cas d"une variable quantitative continue) deXet deY.Pour des variables quantitatives discr
`etes ou des variables qualitatives, les ensemble des modalit´es pourront alors s"´ecrire
MX=fm1;:::;mKg
et MY=fm01;:::;m0K0g
1Comme dans le cas d"une seule variable, les donn
´ees peuventˆetre
pr ´esent´ees sous la forme d"un tableau d"effectifs o`u, pour chaque couple de modalit ´es, on a compt´e le nombre d"individus ayant pour r´eponse ce couple de modalit´es.
Ce tableau est appel
´ee
tableau de contingence ou distribution conjointe en effectifs de(X;Y) XnY m 01 m 02 m 0j m 0K0 m 1 n 11 n 12 n 1j n 1K0 m 2 n 21n 22
n 2j n 2K0 m i n i1 n i2 n ij n iK0 m K n K1 n K2 n Kj n KK0 2
On a donc un tableau
`aKlignes (Nbre de modalit´es deX) etK0 colonnes (Nbre de modalit´es deY) avec les effectifs pour lesK£K0
couples de modalit ´es(mi;m0j), (1·i·K,1·j·K0). Par exemple, a l"intersection de lai`eme ligne et de laj`eme colonne, l"effectif n ij repr ´esente le nombre d"individus de l"´echantillon ayant`a la fois les modalit´es (r´eponses)
m i pourXet m 0j pourY. La somme desK£K0effectifsnij(1·i·K,1·j·K0) est´egale`a n, ce qui se traduit par la formule suivante: K X i=1K 0X j=1n ij=n 3On peut
´egalement remplacer les effectifs par les fr´equences. Pour ceci, il suffit de diviser chaque effectif parn, f ij=nij nLe tableau obtenu repr
´esentera alors la
distribution (conjointe) en fr´equences deXetY
La somme des fr
´equences est´egale`a 1 (ou100%s"il s"agit de pourcentages), c"est- `a-dire, K X i=1K 0X j=1f ij= 1: Note:Le tableau de contingence est beaucoup plus lisible que la liste des donn ´ees brutes mais r´esulte en une perte d"information. En effet,`a partir du tableau de contingence, on ne peut pas reconstituer la liste des donn´ees
brutes (alors que le contraire est possible), en particulier on ne peut pas conna ˆıtre le couple de r´eponses`a(X;Y)pour un individu donn´e. 42) Distributions marginales
A partir de la distribution (conjointe) deXetY, on peut en d´eduire la distribution marginale deX (appel´ee aussi distribution deX) et la
distribution marginale deY (ou distribution deY). Le mot "marginal" vient du fait qu"on les pr´esente souvent en "marge" du tableau de
contingence, en parall `ele`a la liste de modalit´es.Effectifs marginaux:
l"effectif marginal de la modalit´emi
deX correspond au nombre d"individus dont la r´eponse`aXestmi. On le note
n i² et on l"obtient en faisant la somme desK0effectifs sur lai`eme ligne, n i1;ni2;:::;niK0, ce qui se traduit par la formule: n i²=K 0X j=1n ij Note:Le "point" en deuxi`eme position signifie donc que l"on somme sur le deuxi `eme indicej(iest fix´e). 5 De mˆeme, on peut calculer
l"effectif marginal de la modalit´em0j
deY en faisant la somme desKeffectifs sur laj`eme colonne: n²j=KX
i=1n ij La fr´equence marginale de la modalit´emi
est not´ee
f i² et est´egale`a
l"effectif marginal n i² (somme des effectifs de lai`eme ligne) divis´e par
la taille de l"´echantillon
n De mˆeme la
fr´equence marginale de la modalit´em0j
est not´ee
f ²j et est egale`a l"effectif marginal n ²j (somme des effectifs de laj`eme colonne) divis´e par
la taille de l"´echantillon
n 6 Le tableau ci-dessous est le tableau de contingence avec les marges (en effectifs). XnY m 01 m 02 m 0j m 0K0Marge X
m 1 n 11 n 12 n 1j n 1K0 n 1² m 2 n 21n 22
n 2j n 2K0 n 2² m i n i1 n i2 n ij n iK0 n i² m K nquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42