Tableau de contingence Définition Distributions marginales Distributions conditionnelles S , El Melhaoui (FSJESO) Série statistique univariée 12/2015 2 / 41
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Chapitre 2: Série statistique à deux variables
Said, El Melhaoui
Faculté des Sciences Juridiques, économiques et Sociales Oujdahttp://said-el-melhaoui.e-monsite.com
S., El Melhaoui (FSJESO)
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Outline1
Introduction
2Covariance
DéfinitionPropriétés
3Coefficient de corrélation
DéfinitionPropriétés
4Ajustement linéaire simple
Ajustement par la méthode des moindres carrésQualité de l"ajustement 5Tableau de contingence
DéfinitionDistributions marginalesDistributions conditionnellesS., El Melhaoui (FSJESO)
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Introduction
Introduction
Souvent on s"interesse à l"étude d"un phénomène à traversplusieurs variablesqui l"influencentsimultanémentEn particulier soient deux variables statistiquesxety. Pour
chaque unitéion observe des valeurs :x iety i; lasérie bivariée est : {(x i,y i),i=1,...,n} Comment organiser les données d"une grande taille dans untableau?Existe t"il une relation entre les deux variablesxety?Si oui, comment peut on mesurer son intensité? son sens?Peut on la formuler sous forme d"une relation explicite (fonction,modèle)?
S., El Melhaoui (FSJESO)
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Introduction
Exemple 1Le manager d"un magasin s"intéresse à la relation qui pourrait existerentre le nombre des spots publicitaires diffusés au cours du week-endet les ventes effectuées la semaine suivante. Il observe les donnéesde dix semainesNuméro de la semaine
Nombre de spots
Volumes de ventes en 100 $
1 2 502 5 57
3 1 41
4 3 54
5 4 54
6 1 38
7 5 63
8 4 48
9 4 59
10 2 46
S., El Melhaoui (FSJESO)
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Introduction
Exemple 1 (suite)Pour schématiser cette relation on représente les pointsP1= (2,50),
P2= (5,57),...,P
10 = (2,46), le graphe ainsi obtenu est ditnuage de pointsS., El Melhaoui (FSJESO)
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Covariance
Définition
Définition de la covarianceAfin de mesurer l"intensité de ladépendance(liaison) entre deux variablesxetyainsi que son sens (positive ou négative), on définit la covariancedexetyDéfinitionPour une série bivariée{(x i,y i),i=1,...,n}.la covariance est définie par S xy =cov(x,y) =1 n n?i=1 (x i-¯x)(y i-¯y)S., El Melhaoui (FSJESO)
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Covariance
Définition
Définition de la covariance (suite)
La covarianceS
xy sera positive six??y?. En effet, dans ce cas les points qui ont la plus grande influence sur la valeurS xy sont les pointsP i(x i,y i)qui vérifient(x i-¯x)?(y i-¯y)>0: les points appartenant au cadransIIetIVLa covarianceS
xy sera négative six??y?. Dans ce cas les points qui ont la plus grande influence sur la valeurS xy sont les pointsP i(x i,y i)qui vérifient(x i-¯x)?(y i-¯y)<0: les points appartenant au cadransIetIIILa covarianceS
xy sera presque nulle, s"il n"existe aucune relation entre les deux variables. En effet, dans ce cas les pointsP i(x i,y i) appartenant au cadransIIetIVont presque la même influence que ceux se trouvant aux cadransIetIIIS., El Melhaoui (FSJESO)
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Covariance
Propriétés
Propriétés
1 La covariance est influencée par les changements d"unités et se conserve par les changements des origines. Soitx 0ety0deux réels etd
xetd ydeux réels non nuls.uetvsont les variables issues dexetyrespectivement par le changement d"origine et d"unité suivant: u=x-x 0 dx etv=y-y 0 dy Alors cov(u,v) =cov(x,y) dxdy. 2Formule deKonig Huyghens.
La covariance peut être écrite sous la forme suivante: S xy =cov(x,y) =1 n n?i=1 (x i?y i)-(¯x?¯y).S., El Melhaoui (FSJESO)
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Covariance
Propriétés
Exemple 1 (suite)
La formule deKonig Huyghens:
cov(x,y) = (1677/10)-(31/10)?(510/10) =9.6>>0 =?Il y"a une forte relation positive entre le volume des ventes et le nombre des spots publicitaires xi yi xi?y i 2 50100
5 57
285
1 41
41
3 54
162
4 54
216
1 38
38
5 63
315
4 48
192
4 59
236
2 46
92
31
510
1677
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Coefficient de corrélation
Définition
Définition du coefficient de corrélation
La covariance est influencée par les changements d"unités donc elle dépend des unités des deux variables ce qui relativise son interprétationon définit un coefficient dit lecoefficient de corrélation de Bravais-Pearson; ce coefficient mesure l"intensité de la "dépendance linéaire» entre deux variablesDéfinitionPour une série bivariée{(x
i,y i),i=1,...,n}telle queS x?=0,S y?=0, le coefficient de corrélation est le nombre r=S xySxSy=cov(x,y)
var(x)? var(y).S., El Melhaoui (FSJESO)
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Coefficient de corrélation
Définition
Définition coefficient de corrélation (suite) r≈1 quand tous les points observées sont situées à proximité d"une même droite de pente positive : on parle d"une forte corrélation positiver≈ -1 quand tous les points observés sont situés à proximitéd"une même droite de pente négative : forte corrélation négativer≈0 quand le nuage de points est allongé parallèlement à l"un
des axes de coordonnées ; les points forment un nuage arrondie : faible corrélationRemarqueUne forte corrélation (liaison, dépendance) n"indique pasnécessairement une relation de causalité (cause→effet)
Par exemple la variable ventes des glaces est fortement corrélée à la variable ventes des lunettes solaires, mais évidement aucune des deux variables ne cause l"autre