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L1 Psycho Statistiques descriptives
STATISTIQUES DESCRIPTIVES
BIVARIÉESExercice 1.Un site internet reçoit 113 457 visiteurs durant un mois. On désigne parXlenavigateur internet utilisé etYle système d"exploitation utilisé.XnYWindowsMacLinux
Chrome141031186427
Firefox3085343923234
Internet Explorer47389230
Safari66864160
Autres2974401752
(a)Identifier la population, sa taille ainsi que les variables étudiées en précisant leur type.(b)Quelle est la proportion de visiteurs sous Windows?(c)Quelle proportion de visiteurs utilisent le navigateur Safari?(d)Parmi les utilisateurs de Mac, quelle proportion utilise Chrome?(e)Parmi les utilisateurs de Safari, quelle proportion est sous Windows?(f)Représenter graphiquement la distribution des proportions par Navigateur pour chaquesystème d"exploitation. Les variablesXetYsont-elles indépendantes?Corrigé de l"exercice 1.
(a)P opulation: visiteurs du site internet étudié.Individu :un visiteur du site internet.
Taille :113 457.
Variables étudiées :on étudie deux variables, à savoirXetY. La variableXest le navi- gateur utilisé par le visiteur; c"est une variable qualitative nominale. La variableYest le système d"exploitation utilisé par le visiteur; c"est une variable qualitatif nominale. 1 (b)On recherche la proportion marginaleP(Y=Windows). Pour cela, on détermine les eec- teurs marginaux dans le tableau de contingence :XnYWindowsMacLinuxTOTALChrome14103118642715716
Firefox308534392323438479
Internet Explorer4738923047412
Safari668641607084
Autres29744017524766
TOTAL95987120575413113457
L"eectif marginal de la modalité "Windows» pourYest donc 95987. On a donc :P(Y=Windows)=95987113457
=84;60 %: (c)L"eectif marginal de la modalité Safari pourXest 7084 doncP(X=Safari)=7084113457
=6;24 %: (d)On est sous la conditionY=Mac donc on extrait du tableau de contingence la colonne Mac et on calcule les proportions correspondantes :XjY=MacEectifProportion (%)Chrome11869,84
Firefox439236,43
Internet Explorer230,19
Safari641653,21
Autres400,33
TOTAL12057100
On a donc :
P(X=ChromejY=Mac)=9;84 %:
(e)On est sous la conditionX=Safari, donc on extrait du tableau de contingence la ligne correspondant à Safari :YjX=SafariWindowsMacLinuxTOTALEectif668641607084
Proportion (%)9,4390,570100
On a donc :
P(Y=WindowsjX=Safari)=9;43 %:
(f)Puisque l"on demande la répartition des proportions, on met les proportions en ordonnée. Puisque l"on demande la répartition par Navigateur, on met la variableXen abscisse. Fina- lement, puisque l"on demande la répartition pour chaque système d"exploitation, on doit 2 déterminer les proportions conditionnelles deXsachant les modalités deY, c"est-à-direXjY=Windows,XjY=Mac etXjY=Linux.
À la question (d), on a déjà déterminerXjY=Mac donc il nous resteXjY=Windows etXjY=Linux :XjY=WindowsEectifProportion (%)Chrome1410314,69
Firefox3085332,14
Internet Explorer4738949,37
Safari6680,7
Autres29743,1
TOTAL95987100
XjY=LinuxEectifProportion (%)
Chrome4277,89
Firefox323459,75
Internet Explorer00
Safari00
Autres175232,37
TOTAL5413100,01
On est maintenant en mesure de tracer le diagramme en tuyaux d"orgues : Mac LinuxNavigateurProportion (%)
Pour chaque modalité deX, les tuyaux ne sont pas du tout de la même hauteur; cela signifie que le système d"exploitation influe fortement sur le navigateur utilisé. Autrementdit, il n"y a pas indépendance entre système d"exploitation et navigateur utilisé.Exercice 2.En 1885, Francis Galton publie un tableau de données comparant la tailleYdesenfants avec la tailleXde leurs parents (la taille des parents est égale à la moyenne de la taille3
du père et de la mère). Pour compenser les diérences de tailles entre sexes, toutes les taillesdes personnes de sexe féminin ont été multiplié par 1,08. Les tailles sont exprimées en pouces
(1 pouce=2,54 cm).XnY]60;61;7]]61;7;63;7]]63;7;65;7]]65;7;67;7]]67;7;69;7]]69;7;71;7]]71;7;73;7]]73;7;75]]62;64]12542000
]64;66]214173216710 ]66;68]01436108933440 ]68;70]184710013584225 ]70;72]112113835185 ]72;74]000033134Les bornes des classes extrêmes ont été fixées arbitrairement pour les besoins de l"exercice.
(a)Préciser la population, les individus, la taille de la population ainsi que les variablesétudiées.
(b)Quelle est la proportion d"enfants dont la taille est comprise entre 65,7 et 67,7?(c)Parmi les enfants dont la taille est comprise entre 71,7 et 73,7, quelle proportion a desparents dont la taille est entre 70 et 72?
(d)Quelle est la taille moyenne des enfants dont les parents ont une taille comprise entre 68et 70? Convertir le résultat en centimètres.
(e)Même question pour la taille médiane.(f)Même question pour l"écart-type.Corrigé de l"exercice 2.
(a)P opulation: les enfants étudiés par Galton (en notant qu"à chaque enfant, on associe ses
deux parents).Individu :un enfant (et ses parents).
Taille de la population :938 (c"est la somme de tous les éléments du tableau). Variables étudiées :la variableX"taille de l"enfant» (quantitative continue) et la variableY"taille des parents» (quantitative continue).
(b)On cherche la proportion marginaleP(65;7X67;7) :P(65;7X67;7)=4+32+108+100+11938
=255938 =27;19 %: (c)On cherche la proportion conditionnelleP(X2]70;72]jY2]71;7;73;7]). Pour lacalculer, on extrait la colonneY2]71;7;73;7] du tableau et on calcule les proportions :XjY2]71;7;73;7]EectifsProportions (%)
]62;64]00 ]64;66]11,72 ]66;68]46,9 ]68;70]2237,93 ]70;72]1831,03 ]72;74]1322,41TOTAL58
4On a donc
P(X2]70;72]jY2]71;7;73;7])=31;03 %:
(d)On regarde la distribution conditionnelle deYsachant queX2]68;70]. On extrait donc du tableau la ligne correspondante (on met les proportions cumulées pour les questionssuivantes) :YjX2]68;70]]60;61;7]]61;7;63;7]]63;7;65;7]]65;7;67;7]]67;7;69;7]]69;7;71;7]]71;7;73;7]]73;7;75]TOTAL
Eectifs184710013584225402
Proportions (%)0,251,9911,6924,8833,5820,95,471,24 Prop. cumul. (%)0,252,2413,9338,8172,3993,2998,76100Centre60,8562,764,766,768,770,772,774,35
La moyenne est donc :
+8470;7+2272;7+574;3540227457;80402
=68;30: Pour convertir en centimètres, on utilise la formule 1 pouce=2,54 cm :YjX2]68;70]=68;302;54=173;48:
(e)La médiane deYjX2]68;70] se calcule à partir des proportions cumulées données dans le tableau précédent. La classe correspondant à la proportion cumulée 50 % est ]a;b]= ]67;7;69;7] donc la médiane est donnée par la formule médiane=a+ (ba)50P(Xa)P(Xb)P(Xa) =67;7+ (69;767;7)5038;8172;3938;81 =67;7+211;1933;58
=67;7+[20;3332] =67;7+0;67 =68;37: Pour convertir en centimètres, on utilise la formule 1 pouce=2,54 cm : médiane=68;372;54=173;66: 5 (f)Calculons l"écart-type :YjX2]68;70]=v
uuuut160;852+862;72+4764;72+10066;72 +13568;72+8470;72+2272;72+574;3524022
YjX2]68;70]
=r1877735;574024664;89
p4670;984664;89 =p6;09 =2;47: Pour convertir en centimètres, on utilise la formule 1 pouce=2,54 cm :YjX2]68;70]=2;472;54=6;27:Exercice 3.Les mesure du nombreXde jours de pluie et de la hauteurY(en mm) de pluie àParis tous les 5 ans entre 1960 et 1995 sont récapitulées dans le tableau suivant.
année19601965197019751980198519901995X198196199164170163149162
Y739880631658690501501670
(a)Représenter graphiquement le nuage de points.(b)Calculer le coecient de corrélation.(c)Y a-t-il une relation de liaison entre les variablesXetY?Corrigé de l"exercice 3.
(a)Pour tracer un nuage de points, on place chaque donnée individuelle sur un graphique avec Xen abscisse etYen ordonnée :X(jours de pluie)Y(hauteur de pluie)100150200400500600700800900 6 (b)Pour calculer le coecient de corrélation, on doit calculer la covariance et les deux écart- types. Pour calculer la covariance, on a besoin des deux moyennes. Rappelons les dié- rentes formules lorsqu"on dispose des données individuelles :