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Agr´egation interneUFR MATH´EMATIQUES

R´eduction d"endomorphismes

1. Qu"est-ce que r´eduire un endomorphisme ?

SoientEun espace vectoriel de dimension finie sur un corpsKetfun endomorphisme de E. Si on se place dans une base deE, on peut repr´esenterfpar une matrice. Le but de ce chapitre est de trouver une base deEtelle que la matrice repr´esentantfdans cette base soit la plus "simple" possible (on prend la mˆeme base pourEensemble de d´epart que pour

Eensemble d"arriv´ee).

D´efinition 1 -

-on dit quefest diagonalisable, s"il existe une base{ei}deEtelle que

M(f)ei=(((((a

110···0

0a22...............0

0···0ann)))))

-on dit quefest triangularisable(ou trigonalisable), s"il existe une base{ei}deEtelle que

M(f)ei=(((((a

11a12···a1n

0a22...a2n............

0···0ann)))))

ouM(f)ei=(((((a

110···0

21a22...............0

a n1···ann-1ann))))) Dans toute la suite, on suppose queEest un espace vectoriel de dimensionfiniesur un corpsK.

2. Vecteurs propres - Valeurs propres

2.1. Vecteurs propres

D´efinition 2 -Soitf?L(E). Un vecteuru?Eest un vecteur propre defsi

1)uest non nul

2) il existeλ?K, f(u) =λu

Le scalaireλest appel´evaleur propreassoci´ee `au. Remarque -Siuest vecteur propre def, alors, par lin´earit´e def,αuest vecteur propre defpour toutα?= 0. Th´eor`eme 3 -L"endomorphismefdeEest diagonalisable si et seulement il existe une base deEform´ee de vecteurs propres def. Pr´eparation`a l"agr´egation interneAnn´ee 2005-2006 D´emonstration : sifest diagonalisable, alors il existe une base{e1,...,en}telle que

M(f)ei=(((((a

110···0

0a22...............0

0···0ann)))))

On en d´eduit que, pour tout vecteureide cette basef(ei) =aiieiavecei?= 0donc cette base est form´ee de vecteurs propres. R´eciproquement, siEadmet une base de vecteurs propres def, il est clair que la matrice defdans cette base sera diagonale. Remarque -Sifest diagonalisable, les termes qui apparaissent sur la diagonale de la matrice repr´esentantfdans une base de vecteurs propres sont les valeurs propres associ´ees.

2.2. Polynˆome caract´eristique

Soitλune valeur propre def. L"endomorphismef-λIdn"est alors pas injectif puisqu"il existeu?= 0 tel quef(u) =λu. Comme on est en dimension finie, c"est ´equivalent `a sa non-bijectivit´e, donc `a ce que le d´eterminant def-λIdsoit nul. Proposition 4 -Les valeurs propres defsont les racines du polynˆomePf(λ) = D´et(f- λId).Pf(λ) est un polynˆome de degr´en, appel´e polynˆome car- act´eristique def. Remarque -SiAetBsont deux matrices repr´esentant un mˆeme endomorphismefdans deux bases distinctes, alors elles sont semblables donc D´et(A-λI) = D´et(B-λI). On

appelle ´egalement polynˆome caract´eristique de la matriceAle polynˆome D´et(A-λIn).

D´efinition 5 -On dit qu"une valeur propre defest de multiplicit´eαsi elle est racine d"ordreαdu polynˆome caract´eristique def.

Une fois d´etermin´ees les valeurs propres, on d´etermine l"espace des vecteurs propres associ´es

`a chacune de ces valeurs en r´esolvant le syst`eme lin´eaire (A-λId)(u) = 0 o`uAest la matrice defdans une certaine base. D´efinition 6 -L"ensemble des valeurs propres d"un endomorphismefest appel´e le spectre def. Proposition 7 -SoitA?Mn(K). Le polynˆome caract´eristique deAest de degr´enet, plus pr´ecis´ement, on a :

D´et(A-λIn) = (-1)nλn+n-1?

i=0a iλiaveca0= D´etA, an-1= (-1)n-1trA

3. Caract´erisation des endomorphismes diagonalisables

Proposition 8 -Soitλ?K. On noteEλ= Ker(f-λId) ={x?E;f(x) =λx}. E

λest un sous-espace vectoriel deE, appel´e

espace propreassoci´e `aλ.

L"espaceEλest stable parf.

D´emonstration :Eλest le noyau d"un endomorphisme donc c"est un sous-espace vectoriel de l"ensemble de d´epart de cet endomorphisme. Montrons qu"il est stable parf. Soitx?Eλ, alorsf(x) =λx. Doncf?f(x)) =f(λx) = λf(x). On a montr´e quef(x)?Eλ, ce qui prouve queEλest stable parf.

Remarque -

- 2 -

R´EDUCTION D"ENDOMORPHISMES

-siλn"est pas valeur propre,Eλ={0}. -siλest valeur propre, dimEλ≥1. Proposition 9 -Soientλ1,...,λpdes scalaires distincts deux `a deux. Alors les sous- espaces propresEλ1,...,Eλpsont en somme directe.

D´emonstration : on prouve le r´esultat par r´ecurrence surp. Sip= 1, il n"y a rien `a montrer.

Supposons que les espacesEλ1,...,Eλpsoient en somme directe et montrons que les espacesEλ1,...,Eλp,Eλp+1sont aussi en somme directe. Pour cela, il suffit de montrer que(Eλ1+···+Eλp)∩Eλp+1={0}. Soitx?(Eλ1+···+Eλp)∩Eλp+1. On af(x) =λp+1xcarx?Eλp+1. Commex?Eλ1+···+Eλp, il existex1?Eλ1,...,xp?Eλptel quex=x1+···+xp. On a donc ´egalementf(x) =λ1x1+···+λpxp. On d´eduit de ces deux calculs que

0 = (λ1-λp+1)x1+···+ (λp-λp+1)xp.

Les espacesEλ1,...,Eλpsont en somme directe donc pourk? {1,...,p},(λk-λp+1)xk= 0. Comme lesλisont deux `a deux distincts, on en d´eduit quex= 0. Corollaire 10 -L"endomorphismefest diagonalisable si et seulement siEest somme directe de ses sous-espaces propres. Si on noteλ1,...,λples valeurs propres deux `a deux distinctes def, on a Corollaire 11 -L"endomorphismefest diagonalisable si et seulement si dimE= dimEλ1+···+ dimEλp. Proposition 12 -Soitf?L(E) etλune valeur propre de multiplicit´eα. Alors D´emonstration : supposonsdimEλ≥α+ 1. Soientu1,...,uα+1des vecteurs propres lin´eairement ind´ependants deEλ. Compl´etons cette famille en une baseBdeE. On a

M(f)B=((((((((((λ0

...A 0λ

0B))))))))))

d"o`uPf(X) =D´et?(λ-X)Iα+1?D´et(B-X In-α-1) = (λ-X)α+1D´et(B-X In-α-1). λserait donc valeur propre de multiplicit´e strictement sup´erieure `aα. Absurde Des propositions pr´ec´edentes, on d´eduit le Th´eor`eme 13 -Soitfun endomorphisme d"un espace vectorielEde dimension finie. L"endomorphismefest diagonalisable si et seulement si les deux propo- sitions suivantes sont v´erifi´ees : - 3 - Pr´eparation`a l"agr´egation interneAnn´ee 2005-2006

1)Pf(X) est scind´e dansK, ce qui veut dire que

P f(X) = (-1)n(X-λ1)α1...(X-λp)αp avecλ1,...,λpscalaires etα1+···+αp=n.

2) Pour chaque valeur propreλde multiplicit´eα, on a dimEλ=α.

Corollaire 14 -Soitfun endomorphisme d"un espace vectoriel de dimensionn. Sifadmet nvaleurs propres distinctes deux `a deux, alorsfest diagonalisable.

4. Applications de la diagonalisation

4.1. Calcul de la puissance d"une matrice

SiAest diagonalisable, il existeP?GLn(K) telle queP-1AP=Dsoit diagonale. Alors

A=PDP-1et

A k=PDkP-1pour toutk?N. La matriceAest alors inversible si, et seulement si,Dest inversible etA-1=PD-1P-1. La formule pr´ec´edente se g´en´eralise alors `ak?Z. Remarque -SiAest la matrice d"un endomorphismefdans la baseB0, alorsPest la matrice de passage de la baseB0`a une baseBde vecteurs propres deA.La matricePest obtenue en mettant les coordonn´ees dans la baseB0des vecteurs propres deAen colonnes. (De l"ordre des vecteurs propres dans la baseBd´epend l"ordre des valeurs de la diagonale deD,et r´eciproquement.)

4.2. Suites r´ecurrentes lin´eaires

Soientaetbdeux r´eels donn´es non simultan´ement nuls. Une suite r´ecurrente lin´eaire d"ordre

2 v´erifie la relation

u n=aun-1+bun-2, u0etu1donn´es.

Matriciellement, ceci peut s"´ecrire :

?un u n-1? =?a b 1 0?? un-1 u n-2? =?a b 1 0? n-1?u1 u 0? On est donc ramen´e `a un calcul de puissance de matrice.

Soit (a0,a1,...,ak-1)kr´eels donn´es non tous nuls. Une suite r´ecurrente lin´eaire d"ordrek

v´erifie la relation u n+k=k-1? i=0a iun+i,{u0,...,uk-1}donn´es.

On ´ecrit cette ´egalit´e sous forme matricielle et on est encore ramen´e `a un calcul de puissance

de matrice d"ordrek.

4.3. Syst`emes de suites r´ecurrentes

Illustrons cela par un exemple :

d´eterminer les trois suites (un),(vn) et (wn) d´efinies paru0= 1, v0=w0= 0 et ?u n+1= 2un+ 4wn v n+1= 3un-4vn+ 12wn w n+1=un-2vn+ 5wn - 4 -

R´EDUCTION D"ENDOMORPHISMES

PosonsXn=t(un,vn,wn), alorsX0=t(1,0,0). On pose

A=(( 2 0 4

3-4 12

1-2 5))

Le syst`eme s"´ecrit alorsXn+1=AXn, d"o`u, par r´ecurrence,Xn=AnX0. On est ainsi ramen´e au calcul deAn.

4.4. Syst`emes diff´erentiels `a coefficients constants

On veut r´esoudre le syst`eme diff´erentiel

?dx 1 dt=a11x1+···+a1nxn dx n dt=an1x1+···+annxn alors le syst`eme s"´ecrit sous forme matricielle dX dt=AX. SupposonsAdiagonalisable. Il existe alors une matriceDdiagonale et une matriceP inversible telle queA=PDP-1. Si on poseX?=P-1X, le syst`eme devientdX? dt=DX, syst`eme qui s"int´egre facilement carDest diagonale.

5. Trigonalisation

D´efinition 15 -Une matriceAdeMn(K) est dite triangulaire sup´erieure (respectivement inf´erieure) si elle est de la forme

A=(((((a

11a12···a1n

0a22...............

0···0ann)))))

(resp.A=(((((a

110···0

21a22...............0

a n1···ann-1ann))))) Remarque -Toute matrice triangulaire sup´erieure est semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure. En effet, soitAune matrice triangulaire sup´erieure etfl"endomorphisme de K nrepr´esent´e parAdans la base canonique (e1,...,en) deKn.fest repr´esent´e par une matrice triangulaire inf´erieure dans la base (en,...,e1). Th´eor`eme 16 -Un endomorphisme est triangularisable dansKsi et seulement si son polynˆome caract´eristique est scind´e dansK. D´emonstration : si l"endomorphismefest triangularisable, alors il existe une base telle que la matrice defdans cette base soit triangulaire sup´erieure. On a alors P f(λ) =D´et(((((a

11-λ a1n

0...a2n

0···ann-λ)))))

=n? i=1(aii-λ) - 5 - Pr´eparation`a l"agr´egation interneAnn´ee 2005-2006 doncPf(X)est scind´e. De plus, les ´el´ements diagonaux de la matricetriangulaire sont les valeurs propres def. R´eciproquement, supposons que le polynˆome caract´eristique defsoit scind´e et montrons par r´ecurrence quefest triangularisable. Pourn= 1, il n"y a rien `a montrer. Supposons le r´esultat vrai `a l"ordren-1. PuisquePf(λ)est scind´e, il admet au moins une racineλ?K. Soitu1un vecteur propre associ´e. On compl`ete{u1}en une base{u1,...,un}deE. On a alors

M(f)ui=((((((((a

b2···bn 0 .B 0

On aPf(λ) = (a-λ)D´et(B-λIn-1) = (a-λ)Pg(λ)o`ugest l"endomorphisme repr´esent´e

par la matriceBdans la base(u2...,un). CommePf(λ)est scind´e,Pg(λ)l"est aussi et, d"apr`es l"hypoth`ese de r´ecurrence, la matriceBest triangularisable. Il existe donc une base (v2,...,vn)deVect{u2,...,un)telle que la matrice degdans cette base soit triangulaire sup´erieure. Ainsi, dans la base{u1,v2,...,vn}, la matrice defest triangulaire sup´erieure. Corollaire 17 -Toute matrice deMn(C) est semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure deMn(C). D´emonstration : un polynˆome deCn[X]est scind´e dansC. Remarque -Si la matriceAest triangularisable, les ´el´ements diagonaux de la matrice triangulaire semblable `aAsont les valeurs propres deA.

6. Le th´eor`eme de Cayley-Hamilton

SoitEun espace vectoriel surKetP?K[X] :

P(X) =amXm+am-1Xm-1+···+a1X+a0.

Sif?L(E), on noteP(f) l"endomorphisme deEd´efini par :

P(f) =amfm+am-1fm-1+···+a1f+a0Id

o`ufk=f◦ ··· ◦f? kfois. D´efinition 18 -Soitf?L(E). Un polynˆomeP(x) deK[X] est dit annulateur defsi

P(f) = 0.

Proposition 19 -SoitP(X) un polynˆome annulateur def. Alors les valeurs propres def sont des racines deP. D´emonstration : siλest valeur propre def, il existe un vecteurunon nul tel quef(u) =λu. On a alorsfk(u) =λkupour tout entierk. On en d´eduit que?P(f)?u= 0 =P(λ)udonc

P(λ) = 0caru?= 0.

quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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Agr´egation interneUFR MATH´EMATIQUES

R´eduction d"endomorphismes

1. Qu"est-ce que r´eduire un endomorphisme ?

Eensemble d"arriv´ee).

D´efinition 1 -

M(f)ei=(((((a

110···0

0a22...............0

0···0ann)))))

M(f)ei=(((((a

11a12···a1n

0a22...a2n............

0···0ann)))))

110···0

21a22...............0

2. Vecteurs propres - Valeurs propres

2.1. Vecteurs propres

1)uest non nul

2) il existeλ?K, f(u) =λu

M(f)ei=(((((a

110···0

0a22...............0

0···0ann)))))

2.2. Polynˆome caract´eristique

D´et(A-λIn) = (-1)nλn+n-1?

3. Caract´erisation des endomorphismes diagonalisables

λest un sous-espace vectoriel deE, appel´e

L"espaceEλest stable parf.

Remarque -

R´EDUCTION D"ENDOMORPHISMES

0 = (λ1-λp+1)x1+···+ (λp-λp+1)xp.

M(f)B=((((((((((λ0

0B))))))))))

1)Pf(X) est scind´e dansK, ce qui veut dire que

2) Pour chaque valeur propreλde multiplicit´eα, on a dimEλ=α.

4. Applications de la diagonalisation

4.1. Calcul de la puissance d"une matrice

A=PDP-1et

4.2. Suites r´ecurrentes lin´eaires

2 v´erifie la relation

Matriciellement, ceci peut s"´ecrire :

4.3. Syst`emes de suites r´ecurrentes

Illustrons cela par un exemple :

R´EDUCTION D"ENDOMORPHISMES

PosonsXn=t(un,vn,wn), alorsX0=t(1,0,0). On pose

3-4 12

1-2 5))

4.4. Syst`emes diff´erentiels `a coefficients constants

On veut r´esoudre le syst`eme diff´erentiel

5. Trigonalisation

A=(((((a

11a12···a1n

0a22...............

0···0ann)))))

110···0

21a22...............0

11-λ a1n

0...a2n

0···ann-λ)))))

M(f)ui=((((((((a

6. Le th´eor`eme de Cayley-Hamilton

SoitEun espace vectoriel surKetP?K[X] :

P(X) =amXm+am-1Xm-1+···+a1X+a0.

P(f) =amfm+am-1fm-1+···+a1f+a0Id

P(f) = 0.

P(λ) = 0caru?= 0.