Exercice 1 : ⋆ Décomposer sous forme de combinaison linéaire de carrés les formes quadratiques réelles suivantes ; en déduire leur signature et leur rang
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[PDF] Formes quadratiques
Corollaire 34 – Si E est de dimension n, la forme bilinéaire symeétrique associée `a une forme quadratique q est un produit scalaire si et seulement si la signature
[PDF] Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques
positifs (négatifs) Proposition 2 25 Soit q une forme quadratique de signature (s, t) sur un R- espace vectoriel Ede dimension n Alors il
[PDF] FORMES QUADRATIQUES - Licence de mathématiques Lyon 1
Soit q une fq réelle de dimension n on suppose que q est représenté par une matrice ( ) où et Alors la signature de q est et
[PDF] CAPES Exercices Corrigés Formes quadratiques
Calculer la matrice de q dans la base Bn = (1,X, ,Xn) 4 Pour n = 2, déterminer la signature de q La forme q est-elle positive ? négative ? 5
[PDF] Formes quadratiques réelles Exemples et applications
2 nov 2014 · On appelle forme quadratique sur E toute application q de la forme q : E −→ qui prouve que q2 est définie positive donc de signature (n2,0)
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L'algorithme de Gauss doit être énoncé et pouvoir être pratiqué sur une forme quadratique de R3 Le lien avec la signature doit être clairement énoncé Cadre :
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Exercice 1 : ⋆ Décomposer sous forme de combinaison linéaire de carrés les formes quadratiques réelles suivantes ; en déduire leur signature et leur rang
[PDF] 148 - Formes quadratiques réelles Exemples et applications
Une forme quadratique est définie positive si sa signature est (n, 0) Proposition 5 (Critère de Sylvester) Soit q une forme quadratique de matrice M q est définie
[PDF] Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques
Soit q une forme quadratique sur E de signature (n − 1, 1) Soit F un sous– espace vectoriel de E On pose dim(F) = p On suppose qu'il existe un vecteur v ∈ F,
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8 oct 2015 · matrice d'une forme quadratique, changement de base, signature d'une forme qua- dratique sur R ou d'une forme hermitienne Référence
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Ecole Normale Superieure 1ere annee
Ann ee 2015-2016 Algebre 1TD7 : formes quadratiques
Exercices?: a preparer a la maison avant le TD, seront corriges en debut de TD. Exercices??: seront traites en classe en priorite.Exercices? ? ?: plus diciles.
Exercice 1 :?
Decomposer sous forme de combinaison lineaire de carres les formes quadratiques reelles suivantes; en
deduire leur signature et leur rang. a)f(x;y;z) =x22y2+xz+yz. b)f(x;y;z) = 2x22y26z2+ 3xy4xz+ 7yz. c)f(x;y;z) = 3x2+ 3y2+ 3z22xy2xz2yz. d)f(x;y;z;t) =xy+yz+zt+tx: e)f(x1;:::;xn) =P1i f)f(A) = tr(A2), pourA2Mn(R). g)f(A) = tr(tAA), pourA2Mn(R). h)f(A) = tr(A)2, pourA2Mn(R). Solution de l'exercice1. On applique l'algorithme de Gauss pour diagonaliser la plupart de ces formes
quadratiques. On obtient : a)f(x;y;z) =x+z2 22yz4
2z28 . Donc sign(f) = (1;2) et rang(f) = 3. b)f(x;y;z) = 2x+34 yz2258 y85 z2. Donc sign(f) = (1;1) et rang(f) = 2. c)f(x;y;z) = 3x+y3 z3 2+83 yz2 22z2. Donc sign(f) = (2;1) et rang(f) = 3.
d)f(x;y;z) =14 (x+z+y+t)214 (x+zyt)2. Donc sign(f) = (1;1) et rang(f) = 2. e) On peut par exemple remarquer que la matrice associee afdans la base canonique admet pour valeurs propres12 avec multipliciten1 (avec des vecteurs propres de la formeeie1, 2in, ou (ei) est la base canonique) etn12
avec mutiplicite 1 (utiliser la trace). Donc on en deduit que sign(f) = (1;n1) et rang(f) =n. f) La forme polaire defest la forme bilineaire symetrique (A;B)7!tr(AB). On remarque que la restriction defau sous-espaceSn(R) des matrices symetriques est denie positive, alors que la restriction defau sous-espaceAn(R) des matrices antisymetriques est denie negative. En outre, ces deux sous-espaces sont en somme directe et engendreMn(R), et ils sont orthogonaux pourq. Cela assure que sign(q) = (dim(Sn(R));dim(An(R))) =n(n+1)2 ;n(n1)2 et rang(f) = n 2. On peut aussi trouver directement la decomposition en carres en remarquant que siA=
(ai;j), on a f(A) =X i;ja i;jaj;i=X ia 2i;i+ 2X
i2i;i+12
X iSolution de l'exercice1. On applique l'algorithme de Gauss pour diagonaliser la plupart de ces formes
quadratiques. On obtient : a)f(x;y;z) =x+z2 22yz42z28 . Donc sign(f) = (1;2) et rang(f) = 3. b)f(x;y;z) = 2x+34 yz2258 y85 z2. Donc sign(f) = (1;1) et rang(f) = 2. c)f(x;y;z) = 3x+y3 z3 2+83 yz2
22z2. Donc sign(f) = (2;1) et rang(f) = 3.
d)f(x;y;z) =14 (x+z+y+t)214 (x+zyt)2. Donc sign(f) = (1;1) et rang(f) = 2. e) On peut par exemple remarquer que la matrice associee afdans la base canonique admet pour valeurs propres12 avec multipliciten1 (avec des vecteurs propres de la formeeie1,2in, ou (ei) est la base canonique) etn12
avec mutiplicite 1 (utiliser la trace). Donc on en deduit que sign(f) = (1;n1) et rang(f) =n. f) La forme polaire defest la forme bilineaire symetrique (A;B)7!tr(AB). On remarque que la restriction defau sous-espaceSn(R) des matrices symetriques est denie positive, alors que la restriction defau sous-espaceAn(R) des matrices antisymetriques est denie negative. En outre, ces deux sous-espaces sont en somme directe et engendreMn(R), et ils sont orthogonaux pourq. Cela assure que sign(q) = (dim(Sn(R));dim(An(R))) =n(n+1)2 ;n(n1)2 et rang(f) = n2. On peut aussi trouver directement la decomposition en carres en remarquant que siA=
(ai;j), on a f(A) =X i;ja i;jaj;i=X ia2i;i+ 2X
iB(P;Q) =Z
1 0 tP(t)Q0(t)dtetf(P) =B(P;P): a) Montrer queBest une forme bilineaire. Est-elle symetrique? Antisymetrique? b) La formefa-t-elle des vecteurs isotropes non nuls? c) Calculer la matrice defdans la base (1;X;:::;Xn). d) Pourn= 2, determiner la signature def. La formefest-elle positive? Negative?Solution de l'exercice2.
a) La linearite de l'integrale assure queBest bilineaire. On aB(1;X) = 1=2 etB(X;1) = 0 et doncBn'est ni symetrique ni antisymetrique. b) On af(1) = 0 et donc 12Rn[X] est un vecteur isotrope. c) Notons que la forme polaire defn'est pasBmais sa symetrisee, a savoir B s(P;Q) :=12 (B(P;Q) +B(Q;P)): Un petit calcul assure que la matrice def(i.e. deBs) dans la base indiquee estMn=i+j22(i+j1)1i;jn.
d) La signature est (1;2).Exercice 3 :?
SoitKun corps de caracteristique dierente de 2. SoitPunK-espace vectoriel de dimension 2, muni d'une forme quadratiquef. Quelles sont valeurs possibles pour le nombre de droites isotropes def?Donner un exemple dans chaque cas.
Solution de l'exercice3.
| La formefn'a aucune droite isotrope si et seulement si elle est anisotrope (par denition). Or il existe une forme quadratique anisotrope surPsi et seulement si le corpsKn'est pas quadratiquement clos : il sut de considerer la formef(x;y) =x2y2surK2, ou2 K n(K)2. En particulier, ce cas n'arrive pas sur un corps algebriquement clos. | La formefa une unique droite isotrope si et seulement si rang(f) = 1. Ceci arrive sur tout corpsK, il sut de considerer par exemple la forme quadratiquef(x;y) =x2surK2(la seule droite isotrope est la droite d'equationx= 0). | La formefa exactement deux droites isotropes si et seulement si elle est hyperbolique, i.e. non degeneree et admettant un vecteur isotrope. Une telle forme existe sur tout corpsK, comme le montre l'exemplef(x;y) =x2y2surK2(droites isotropes d'equationsx+y= 0 etxy= 0). | Supposons que la formefait au moins 3 droites isotropes. Notons alorsv1;v2;v3trois vecteurs isotropes deux-a-deux non proportionnels. Puisque (v1;v2) est une base deP, il existe;2K tels quev3=v1+v2. On applique la formef, et si on notebla forme polaire def, on obtient0 =f(v3) =f(v1+v2) =2f(v1) +2f(v2) + 2b(v1;v2) = 2b(v1;v2):
Doncb(v1;v2)6= 0, donc la matrice defdans la base (v1;v2) est la matrice nulle (c'est une base orthogonale formee de vecteurs isotropes), doncf= 0. Finalement, une forme quadratique sur un plan vectoriel admet soit aucune droite isotrope, soit unedroite isotrope, soit deux droites isotropes, soit toutes les droites dePsont isotropes. Tous ces cas
arrivent sur tout corpsK, sauf le premier (aucune droite isotrope) qui existe si et seulement siKn'est
pas quadratiquement clos.Exercice 4 :??
SoitKun corps de caracteristique dierente de 2 et soitEunK-espace vectoriel de dimension nie. Soientfetf0des formes quadratiques surEveriantf1(0) = (f0)1(0). 2 a) SupposonsKalgebriquement clos. Montrer qu'il existea2Ktel que l'on aitf0=af. b) Donner un contre-exemple pourK=RetE=R2.Solution de l'exercice4.
a) Soientbetb0les formes bilineaires respectives defetf0. Sifest totalement isotrope, le resultat est clair. Supposons que ce ne soit pas le cas : il existex2Eavecf(x)6= 0. Posons a=f0(x)f(x)12K. Soity2E. Les polyn^omesaf(y+x) etf0(y+x) deK[] sont de degre 2, ont m^emes racines par hypothese, et ils ont m^eme coecient dominantf0(x) : ils sont donc egaux puisqueKest algebriquement clos. En particulier, on af0(y) =af(y). Donc f 0=af. b) Il sut de considerer les formes quadratiquesx2+y2etx2+ 2y2.Cet exercice est un cas tres particulier du theoreme des zeros de Hilbert (le Nullstellensatz de Hilbert) :
soitKun corps algebriquement clos,IK[X1;:::;Xn] un ideal et notonsZ(I) l'ensemble des zeros communs a tous les polyn^omes deI. Sifest un polyn^ome qui s'annule surZ(I), alors il existen2N tel quefn2I.