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A. Tsybakov

statistiques dans les 3 modµeles concrets multi-dimensionnels, a savoir, celles de l'analyse en (classi¯cation). pas l'objet de question aux examens.

Table des matiµeres

1.6. Exercices 23

2.2. Conditionnement (cas discret) 26

2.5. Conditionnement (cas continu) 33

2.11. Exercices 43

3.7. Exercices 69

Partie 2. Notions fondamentales de la Statistique73

Chapitre 4.

4.1. 3

4 TABLE DES MATIµERES

4.4. Statistiques exhaustives

¹Xets287

4.8. Exercices 93

Chapitre 5. Estimation des paramµetres 97

5.1. Modµele statistique. Problµeme d'estimation des paramµetres 97

5.2. Comparaison d'estimateurs 100

5.5. Comportement asymptotique de la fonction de log-vraisemblance 112

5.6. Consistance de l'estimateur du maximum de vraisemblance 114

5.9. Comparaison asymptotique d'estimateurs 125

5.10. Exercices 126

6.1. Le problµeme de test d'hypothµese 129

6.2. Test d'hypothµese simple contre l'alternative simple 131

6.3. Tests des hypothµeses composites 136

6.4. Tests dans le modµele normal 139

6.5. Tests asymptotiques 145

6.6. Tests de comparaison de deux lois normales

6.10. Exercices 157

Chapitre 7. Analyse en composantes principales 165

7.4. ACP : cadre empirique 169

7.9. Limites d'utilisation de l'ACP 180

7.10. Exercices 181

TABLE DES MATIµERES 5

8.6. Application aux tests sur le paramµetreµ195

8.7. Exercices 199

Partie 1

1 souligner le fait qu'il s'agit d'une fonction de!2. C'est une fonction monotone croissante, continue µa droite et telle que lim x!¡1F(x) = 0 et lim variables continues.

Variable discrµete

P(X=k) =µk

k!e¡µ; k= 0;1;2;:::

Variable continue

rapport µa la mesure de Lebesgue surR, i.e.

F(x) =Z

x ¡1 f(t)dt; 9 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figure 1.1.La f.d.r. de la loi de Poisson

f(x) =F0(x) presque partout. On note quef(x)¸0 pour toutx2Ret Z 1 ¡1 f(x)dx= 1:

Exemple1.1.

f(x) =1 p

2¼¾e¡(x¡¹)2

2¾2; x2R;

oµu¹2Ret¾ >0. Si¹= 0; ¾2= 1, la loiN(0;1) est diteloi normale standard. Dans la f(x) = (b¡a)¡11l[a;b](x); x2R; oµu 1l 1l

A(x) =Ifx2Ag=½1 six2A;

0 sinon:

f(x) =µ¡1e¡x=µ1l[0;+1[(x);

F(x) = (1¡e¡x=µ)1l[0;+1[(x):

et les quantiles.

1.1.1. Moments.

¹=E(X) =Z

1 ¡1 xdF(x) =8 :P iiP(X=i) siXest une v.a. discrµete;Rxf(x)dxsiXest une v.a. continue: k=E(Xk) =Z 1 ¡1 xkdF(x);

0k=E((X¡¹)k) =Z

1 ¡1 (x¡¹)kdF(x):

2= Var(X) =E((X¡E(X))2) =E(X2)¡(E(X))2:

Var(X).

Le moment absolu¹¹kd'ordrekdeXest

¹¹k=E(jXjk)

¹¹0k=E(jX¡¹jk):

Exemple1.2.

f(x) =c

1 +jxjlog2jxj; x2R;

oµu la constantec >0 est telle queRf= 1. AlorsE(jXja) =1pour touta >0.

La proposition suivante s'obtient facilement.

Proposition 1.1.

E((»¡c)2) = (E(»)¡c)2+E((»¡E(»))2) = (E(»)¡c)2+ Var(»): 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 s=1 s=3 m=1

Figure 1.2.La loi normaleN(¹;¾2)

(¾\grand" { beaucoup de dispersion,

¾\petit" { peu de dispersion)

Corollaire 1.1.

telle queE(»2)<1. Alors,¹=E(»)si et seulement si

E((»¡¹)2) = minc2RE((»¡c)2):

transformation a±ne, on obtient la variableX0= (X¡¹)=¾, telle queE(X0) = 0; E(X20) = 1 ). SiXest une v.a. f(x) =1 f0³x¡¹ f(x) =1

¼¾(1 + [(x¡¹)=¾]2);

Cauchy n'existent pas.

reconstitution est possible, notamment sous l'hypothµese trµes forte que lim sup k!1¹¹1=k k k <1

1.1.2. Quantiles.

F(qp) =p:

(1.1) On remarque que, pourFstrictement croissante et continue, la solution existe et elle est SoitFune f.d.r. Le quantileqpd'ordrepdeFest la valeur q p=1 2 (inffq:F(q)> pg+ supfq:F(q)< pg): Sipest tel que (1.1) n'a pas de solution (Fa un saut),qpest le point de saut. Si (1.1) admet un intervalle de solutions (pcorrespond µa un \plateau" du graphique deF), alorsqp est le milieu de cet intervalle.

M=q1=2:

Notons queP(X¸M)¸1=2 etP(X·M)¸1=2. SiFest continue,F(M) = 1=2. Le pourcentiledel%, 0< l <100, de la loiFest le quantileqpd'ordrep=l=100. toutes les loisF.

Proposition 1.2.

telle queE(j»j)<1. Alors,

E(j»¡aj) = minc2RE(j»¡cj)

E(j»¡Mj) = minc2RE(j»¡cj);

supposons quec > a. On a alors : j»¡cj ¸ j»¡aj+ (c¡a) si»·a; j»¡cj ¸ j»¡ajsia < »·(a+c)=2; j»¡cj ¸ j»¡aj ¡(c¡a) si» >(a+c)=2:

E(j»¡cj)¸E(j»¡aj) + (c¡a)h

P(»·a)¡P(» >(a+c)=2)i

Il reste µa remarquer queP(»·a)¸P(» >(a+c)=2) pour conclure. En e®et, siP(»·a)<

P(» >(a+c)=2), en utilisant le fait queP(»·a)¸1=2, on obtientP(»·a) +P(» > (a+c)=2)>1, ce qui est impossible.

1.1.3. Mode d'une loi.

SiFest une loi discrµete, on appellemodede la loiFune valeur k (oumultimodale) si elle a deux (respectivement, plusieurs) maxima locaux. Ce lexique n'est mode au sens propre), on appellefmultimodale µa condition qu'elle possµede d'autres maxima continu).

F(¹+x) = 1¡F(¹¡x)

pour toutx2R(f(¹+x) =f(¹¡x)dans le cas continu). Autrement dit, la f.d.rF(x+¹)

Exercice1.1.

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Mode

Mediane

Moyenne

Exercice1.2.

¹¹kexistent, alors¹0k= 0 pour toutkimpair (par exemple,¹03= 0).

®=¹03

Exercice1.3.

deXsatisfaitRxf0(x)dx= 0 etRx2f0(x)dx= 1 et®0=¹03;0=Rx3f0(x)dx. Pour¾ >0,

¹2R, la fonction

f(x) =1 f0³x¡¹

En calculant®=¹03

¯=¹04

4¡3:

Exercice1.4.

Montrer que, pour la loi normaleN(¹;¾2),¹04=¾4= 3 et¯= 0. aux transformations a±nes. de la loi deX. On utilise le vocabulaire suivant : on dit que la loiFa les \queues lourdes" si

Q(b) =P(jXj ¸b) (=Z

jxj¸bf(x)dxdans le cas continu) exponentielle). Pour la loi normaleN(0;1), on a :Q(b) =O(e¡b2=2), ce qui correspond µa ¯= 0. Trµes souvent, si¯ >0, les queues de la loi en question sont plus lourdes que celles de la loi normale et, si¯ <0 (on dit dans ce cas que la loi estleptokurtique), elles sont plus

1), on a :¯¸ ¡2 (voir le paragraphe suivant).

Exemple1.3.

C'est une loi leptokurtique.

qui implique¯= +1(queues trµes lourdes). Pour la loi de Cauchy,¾2= +1et¹04= +1,

Proposition 1.3.

Xune v.a. telle queE(h(X))<1. Alors pour touta2Rtel queh(a)>0,

P(X¸a)·E(h(X))

h(a): (1.2)

Preuve.Commeh(¢) est une fonction croissante,

P(X¸a)·P¡h(X)¸h(a)¢=Z

1l fh(x)¸h(a)gdF(x) =E(1lfh(X)¸h(a)g)·Eµh(X)

·E(h(X))

h(a):

Corollaire 1.2.

Alors, pour touta >0,

P(jXj ¸a)·E(X2)

2; P(jX¡E(X)j ¸a)·Var(X)

a 2: jX¡E(X)jrespectivement.

Proposition 1.4.

(1=r)loga+ (1=s)logb·log(a=r+b=s); a

1=rb1=s·a=r+b=s:

Posons icia=j»jr=E(j»jr),b=j´js=E(j´js) (on suppose pour l'instant queE(j»jr)6= 0,

E(j´js)6= 0), ce qui donne

j»´j ·[E(j»jr)]1=r[E(j´js)]1=s(j»jr=rE(j»jr) +j´js=sE(j´js)):

Corollaire 1.3.

telle queE(jXjt)<1. AlorsE(jXjv)<1et [E(jXjv)]1=v·[E(jXjt)]1=t: (1.3)

Proposition 1.5.

g(E(X))·E(g(X)): g(x)¸g(x0) + (x¡x0)g1(x0) pour toutx; x02R. On posex0=E(X). Alors g(X)¸g(E(X)) + (X¡E(X))g1(E(X)): jE(X)j ·E(jXj): (1.4)

Proposition 1.6.

telles queE(»2)<1etE(´2)<1. AlorsEj»´j<1, (1.5) oua26= 0et, presque s^urement, a

1»+a2´= 0:

(1.6) (E(»´))2¡E(»2)E(´2) = 0: (1.7) ce qui implique»=a´presque s^urement. Le cas oµuE(´2) = 0 est trivial. lim n!1P(j»n¡»j ¸²) = 0 pour tout² >0. On dit que la suite(»n)n¸1convergeen moyenne quadratiquevers» quandn! 1siE(»2)<1et lim n!1E(j»n¡»j2) = 0:

P(!:»n(!)/!»(!)) = 0:

Remarque.

lim n!1P(sup k¸nj»k¡»j ¸²) = 0 On dit que la suite(»n)n¸1convergeen loi(ouen distribution) vers»

P(»n·t)!P(»·t)quandn! 1;

Remarque.

E(f(»n))!E(f(»)) quandn! 1

1986, Corollaire 3.2.1 et Proposition 3.1.3, p. 178).

convergence en moyenne quadratique convergence p.s. convergence en loi

Exercice1.5.

1 n´nD!a´: 2 o. Sia2Rest une constante, alors nD!a()»nP!a: 3 n+´nD!a+´; n´nD!a´: contre-exemples).

P(X2A; Y2B) =P(X2A)P(Y2B)

pour tousA2 BetB2 B.

E(XY) =E(X)E(Y):(1.8)

etY. P(X12A1;:::;Xn2An) =P(X12A1)¢¢¢P(Xn2An):(1.9)

Remarques.

E(XiXj) =E(Xi)E(Xj); i6=j:

Pn i=1Xi;oµu E nX i=1X i! =nX (1.10) et

VarÃ

nX i=1X i! =nX i=1Var(Xi): (1.11)

Proposition 1.7.

SoientX1;:::;Xndes v.a. i.i.d. telles queE(X1) =¹etVar(X1) =¾2< X=1 n n X i=1X i

E(¹X) =¹etVar(¹X) =1

Var(X1) =¾2

Preuve.On utilise (1.10) et (1.11).

Proposition 1.8.

(Loi forte des grands nombres de Kolmogorov.)SoientX1;X2;:::; des v.a. i.i.d. telles queE(jX1j)<1et¹=E(X1). Alors,

X!¹(p:s:)quandn! 1:

Exemple1.4.

f(x) =1

¼(1 +x2); x2R:

pas convergente.

Proposition 1.9.

E(X21)<1et¾2= Var(X1)>0. Alors,

p n

µ¹X¡¹

D!´quandn! 1;

oµu¹=E(X1)et´» N(0;1).

1.4.2. Approximation de la loi de

¹Xpar la loi limite normale.

Pµp

µ¹X¡¹

!P(´·t) quandn! 1; pour toutt2R, oµu´» N(0;1). Notons

©(t) =P(´·t)

la f.d.r. normale standard. Alors

P(¹X·x) =Pµp

µ¹X¡¹

·p n

µx¡¹

¼©µp

µx¡¹

normale :

P(¹X·x)¼©µp

µx¡¹

pournassez grand.

Proposition 1.10.

(i)»n!»(p:s:))g(»n)!g(») (p:s:); (ii)»nP!»)g(»n)P!g(»); (iii)»nD!»)g(»n)D!g(») quandn! 1. j»n¡aj< ±) jg(»n)¡g(a)j< ²: En particulier,P(j»n¡aj< ±)·P(jg(»n)¡g(a)j< ²). Comme»nP!a, on a lim n!1P(j»n¡aj< ±) = 1 pour tout± >0; ce qui implique limn!1P(jg(»n)¡g(a)j< ²) = 1 pour tout² >0:

E(f(»n))!E(f(»)) quandn! 1;

Proposition 1.11.

E(X21)<1avec la variance¾2= Var(X1)>0. Alors

p n

µg(¹X)¡g(¹)

D!´g0(¹)quandn! 1;

oµu

¹X=1

n P n i=1Xi,¹=E(X1)et´» N(0;1). Preuve.Sous les hypothµeses de la proposition, la fonction h(x) =( g(x)¡g(¹) x¡¹;six6=¹; g

0(¹);six=¹;

1.6. EXERCICES 23

est continue. Comme ¹XP!¹(vu la Proposition 1.8) ethest continue, on obtient, d'aprµes le h(¹X)P!h(¹) =g0(¹) quandn! 1: (1.12) Or, p n g(¹X)¡g(¹) =p n h(¹X)(¹X¡¹) =h(¹X)´n; oµu´n=p n (¹X¡¹). La Proposition 1.9 implique que´nD!´» N(0;1) quandn! 1. On ode l'Exercice 1.5.

1.6. Exercices

Exercice1.6.

min= min(»1;:::;»n); »max= max(»1;:::;»n):

1) Montrer que

P(»min¸x) =nY

i=1P(»i¸x); P(»max< x) =nY i=1P(»i< x): CalculerE(»min),E(»max), Var(»min) et Var(»max).

Exercice1.7.

E(») =Z

1 0 (1¡F(x))dx=Z 1 0

P(» > x)dx:

Exercice1.8.

E(¸).

Exercice1.9.

6)¼

0:9928, ©(2p

2 par F

X;Y(x;y) =P(X·x;Y·y); x;y2R:

X(x) = limy!+1FX;Y(x;y) =P(X·x);

Y(y) = limx!+1FX;Y(x;y) =P(Y·y):

mesure de Lebesgue surR2, autrement dit

2FX;Y(x;y)

@x@y =fX;Y(x;y) (2.1) R f

X(x) =Z

1 ¡1 f

X;Y(x;y)dy; fY(y) =Z

1 ¡1 f

X;Y(x;y)dx:

P(X=k) =X

mP(X=k;Y=m);

P(Y=m) =X

kP(X=k;Y=m): Important :la connaissance des lois marginales deXet deYn'est pas su±sante pourquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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