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a est négatif se traduit par : a ≤ 0 b) L'opposé d'un nombre a se note (– a) c) * Si deux nombres sont opposés, alors leur somme est nulle Pour tout nombre a 

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On dit que deux nombres sont opposés si leur somme est égale à zéro 2 Exemples Pour obtenir l'opposé d'un nombre, il suffit de changer son signe

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Deux nombres relatifs sont opposés lorsqu'ils ont des signes contraires et une distance à zéro Le signe de la somme est le signe commun aux deux nombres

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Soient p et q deux entiers de signes opposés Leur somme est toujours représentable pour la taille de mot mémoire fixée car min(p,q) < p + q

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0 est le seul nombre à la fois positif et négatif Deux nombres relatifs qui ne diffèrent que par leur signe sont opposés Exemple : Quel est le signe du nombre – 3 

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Le cube de l'opposé de x 5 –(2x+3y) L'opposé de la somme du double de x et du triple de y 6 x (x+1)(x+2) Le produit de 3 nombres consécutifs 7 2x+(2x+2)

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Donc le conjugué de l'opposé est l'opposé du conjugué Pour ce qui est du conjugué de la différence, il vient alors : ( ) ( ) ( ) Conjugué d'une somme

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Chapitre 1 - Nombres Relatifs

1- Quelques rappels

a) a est positif se traduit par : a ≥ 0 . b) L'opposé d'un nombre a se note (- a). c) * Si deux nombres sont opposés, alors leur somme est nulle.

Pour tout nombre a : a + (- a) = 0 .

* Si la somme de deux nombres est nulle, alors ils sont opposés. Soit deux nombres a et b : si a + b = 0 alors b = - a . d) Soustraire un nombre revient à ajouter l'opposé de ce nombre.

Pour tous nombres a et b : a - b = a + (- b)

e) Suppression des parenthèses Soit A un nombre relatif et b la distance à 0 d'un nombre relatif. A + (+ b) = A + b A - (+ b) = A - b A + (- b) = A - b A - (- b) = A + b

2- Multiplication

a) Produit de deux nombres

Propriété (admise)

* Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif. Le produit de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif.

* La distance à 0 du produit de deux nombres est égale au produit des distances à 0 des deux facteurs.

Exemples

* Soit A = (- 4 ) ´ (- 5) A est le produit de deux nombres de même signe donc A est positif. Par ailleurs, la distance à 0 de A est égale à : 4 ´ 5 = 20

Par conséquent : A = + 20

* Soit B = (- 6 ) ´ (+ 3) B est le produit de deux nombres de signes contraires donc B est négatif. Par ailleurs, la distance à 0 de B est égale à : 6 ´ 3 = 18

Par conséquent : B = - 181

b) Produit de plusieurs nombres

Propriété (admise)

* Le produit d'un nombre pair de facteurs négatifs est positif. Le produit d'un nombre impair de facteurs négatifs est négatif. * La distance à 0 d'un produit est égale au produit des distances à 0 de ses facteurs.

Remarque

Le signe d'un produit ne dépend donc pas du nombre de facteurs positifs.

Exemples

* Soit C = (+ 5 ) ´ (- 4) ´ (- 2) ´ (- 1) ´ (+ 2 ) C est un produit qui contient exactement trois facteurs négatifs : il est donc négatif. Par ailleurs, sa distance à 0 est égale à : 5 ´ 4 ´ 2 ´ 1 ´ 2 = 80 .

Par conséquent : C = - 80

* Soit D = (- 2 ) ´ (- 1) ´ (- 3) ´ (- 1) ´ (+ 10 ) D est un produit qui contient exactement quatre facteurs négatifs : il est donc positif. Par ailleurs, sa distance à 0 est égale à : 2 ´ 1 ´ 3 ´ 1 ´ 10 = 60 .

Par conséquent : D = + 60

c) Carré d'un nombre

Propriété

Le carré d'un nombre relatif est toujours positif.

Démonstration

Soit a un nombre relatif.

Son carré est : a² = a ´ a , produit de deux nombres égaux donc de même signe. Or le produit de deux nombres de même signe est positif.

Donc a² est positif. CQFD !

3- Division

Propriété (admise)

* Le quotient de deux nombres de même signe est un nombre positif. Le quotient de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif.

* La distance à 0 du quotient de deux nombres est égale au quotient des distances à 0 de ces deux

nombres.

4 - Expressions Numériques

a) Priorités opératoires * Parenthèses. * Puissances. * Produits et quotients dans l'ordre du calcul. * Sommes et différences dans l'ordre du calcul. b) Propriétés * L'opposé d'une somme est égal à la somme des opposés.

Autrement dit

Pour tout nombre a et tout nombre b : - ( a + b ) = - a - b

Démonstration

Soit : A = a + b et B = - a - b .

On calcule : B + A = - a - b + a + b = 0 .

Comme la somme de A et de B est nulle, A et B sont opposés.

Par conséquent : B = - A.

Et donc : - a - b = - ( a + b ) CQFD !

* " Multiplier un nombre par ( - 1 ) » revient à " prendre son opposé ».

Autrement dit

Pour tout nombre a : ( - 1 ) ´ a = - a

Démonstration

Soit : A = ( - 1 ) ´ a .

On calcule : A + a = ( - 1 ) ´ a + a

Or : a = 1 ´ a

Donc : A + a = ( - 1 ) ´ a + 1 ´ a

En factorisant, on obtient : A + a = ( - 1 + 1 ) ´ a = 0 ´ a = 0 Comme la somme de A et de a est nulle, A et a sont opposés.

Par conséquent : A = - a .

Et donc : ( - 1 ) ´ a = - a CQFD !

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