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La description d'une loi continue diffère de celles des lois discrètes puisque pour une variable aléatoire continue X, la probabilité que X prenne une valeur bien 

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conçoit une loi statistique continue, appelée loi normale ou loi de Laplace- Gauss, dont la répartition est représentée par la fameuse courbe en cloche

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exponentielles Introduction de la loi normale centrée réduite Les lois de probabilité discrètes donnant lieu à des calculs fastidieux dans certaines situations ( 

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Définition Soient m et σ deux réels avec σ>0 On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi normale ou loi Gaussienne, de paramètres m et σ2, notée X ~ m, 

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d'une valeur donnée sous la densité de la loi normale de moyenne 0 et de variance 1, aussi appelée la loi normale standard ou la loi normale centrée et réduite 

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Loi Normale centrée réduite Probabilité de trouver une valeur inférieure à x x f(x ) 0 ∞− ∞+ ( ) ∫∞− − = x u du e xF 2 2 2 1 π X 0,00 0,01 0,02 0,03

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Une variable aléatoire X suit la loi J (µ, σ2) si et seulement si la variable aléatoire X − µ σ suit la loi normale centrée réduite J (0, 1) µ est l'espérance de J (µ, σ2),  

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Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Chapitre 3

La loi normale

Universite de Paris Ouest2012{2013

Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Sommaire

1

Le mo deled ela lo in ormale

Un exemple

Proprietes de la loi normale

2

C alculsp ratiques

Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Un exemple pour commencer : Test de memoire

Etude de lacapacite de memoired'adultes atteints d'une maladie neurologique. Chaque individu lit 30 mots et doit ensuite en reciter le plus possible. I

PopulationP=fpatients atteints de la maladieg

I

VariablequantitativeX= "nombre de mots retenus"

I

2 parametres;.Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

La courbe "en cloche"

En sciences humaines on observe souvent des distributions I plut^otsymetriquesautour de I avec une forme declochePourpouvoir faire des calculs, on va parfois supposer queXsuit une distribution "modele", appeleeLoi normale.Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

La courbe "en cloche"

En sciences humaines on observe souvent des distributions I plut^otsymetriquesautour de I avec une forme declochePourpouvoir faire des calculs, on va parfois supposer queXsuit une distribution "modele", appeleeLoi normale.Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Premieres proprietes de la loi normale

SiXsuit cette distribution "modele", on lui associe une courbe : I courbesymetriquepar rapport a I forme declocheI l'aire grisee represente la proportion cumuleeChapitre 32012{2013

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Premieres proprietes de la loi normale

I courbesymetriquepar rapport a I forme declocheI l'aire grisee represente la proportion cumuleeChapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Parametres de la loi normale

Pour chaque;, il existe uneloi normale de moyenneet d'ecart-type.

On la noteN(;).Cas particulier

= 0 et= 1 : loi normale centree/reduite.Lorsque l'on suppose qu'une variableXsuit le modele de la loi normale

N(;), on ecrit

X N(;):Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Parametres de la loi normale

Pour chaque;, il existe uneloi normale de moyenneet d'ecart-type.

On la noteN(;).Cas particulier

= 0 et= 1 : loi normale centree/reduite.Lorsque l'on suppose qu'une variableXsuit le modele de la loi normale

N(;), on ecrit

X N(;):Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Parametres de la loi normale

Exemples de lois normales avecmoyennes dierentes, m^eme ecart-type :3-1N(3,1)N(-1,1)Exemples de lois normales avec m^eme moyenne,ecart-types dierents:3N(3,1)N(3,2)Chapitre 32012{2013

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Parametres de la loi normale

Exemples de lois normales avecmoyennes dierentes, m^eme ecart-type :3-1N(3,1)N(-1,1)Exemples de lois normales avec m^eme moyenne,ecart-types dierents:3N(3,1)N(3,2)Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Pour les plus matheux : l'equation de la courbe

Pour la tracer a la calculatrice/ordinateur,

y=1 p2exp (x)222

Cette formule n'est pas utile pour ce cours!

Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Exemple : QI

Etude sur leQIde 515 enfants du m^eme ^age,= 100;1,= 5;7.En rose, courbe de la loi normaleN(= 100;1;= 5;7).Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Exemple : QI

Etude sur leQIde 515 enfants du m^eme ^age,= 100;1,= 5;7.En rose, courbe de la loi normaleN(= 100;1;= 5;7).Chapitre 32012{2013

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Loi normaleN(;) : a retenir

I distribution "modele"pour desvariables quantitatives continues I moyenne, ecart-type I allure de la courbe : I aires = proportions cumuleesChapitre 32012{2013

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Sommaire

1

Le mo deled ela lo in ormale

2

C alculsp ratiques

Loi normale centree/reduite

Loi normale quelconque

Quantiles

Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion

d'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).0airegris ee=F(1,56)1,56Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion

d'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).0airegris ee=F(1,56)1,56Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).

On cherche

1,5 6 d ansla table::::0;06:::. ..1;5:::0:9406::: ...DoncP(X1;56) = 0;9406. Pour 94;06 % des individus, la variableXest inferieure a 1;56.Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).

On cherche

1,5 6 d ansla table::::0;06:::. ..1;5:::0:9406::: ...DoncP(X1;56) = 0;9406. Pour 94;06 % des individus, la variableXest inferieure a 1;56.Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion

P(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:

Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion

P(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:

Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion

P(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:

Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013

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Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion

P(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:

Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negatives

A retenir :

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Calculs avec laN(0;1), tous les cas

Pour n'importe quela>0,

IP(Xa)0a

)tableIIP(Xa)0a = 10a )cas IIIIP(X a)0-a=0a )cas IIIVP(X a)0-a=0a )cas IChapitre 32012{2013

Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques

Loi normale quelconqueN(;)

I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loi

N(0;1).Theoreme

SiX N(;) alorsX

N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013

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Loi normale quelconqueN(;)

I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loi

N(0;1).Theoreme

SiX N(;) alorsX

N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013

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Loi normale quelconqueN(;)

I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loi

N(0;1).Theoreme

SiX N(;) alorsX

N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013

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Un exemple avec uneN(11;2)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).I

Oncentre et on reduitX:X112

N(0;1).I

P(X14) =PX112

14112
=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013

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Un exemple avec uneN(11;2)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).I

Oncentre et on reduitX:X112

N(0;1).I

P(X14) =PX112

14112
=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013

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Un exemple avec uneN(11;2)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).I

Oncentre et on reduitX:X112

N(0;1).I

P(X14) =PX112

14112
=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013

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Un exemple avec uneN(11;2)Exemple

On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).I

Oncentre et on reduitX:X112

N(0;1).I

P(X14) =PX112

14112
=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013

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Quantile>50% d'uneN(0;1)Exemple

On cherche le quantile a 97;5% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;975.On lit la tablea l'envers::::0;06:::.

..1;9:::0:9750::: ...DoncP(X1;96) = 0;9750.

Le quantile recherche est donc 1;96.Notation

Le quantile d'ordrepour la loi normale centree/reduite est notez.

Par exemple,z0;975= 1;96.Chapitre 32012{2013

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Quantile>50% d'uneN(0;1)Exemple

On cherche le quantile a 97;5% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;975.On lit la tablea l'envers::::0;06:::.

..1;9:::0:9750::: ...DoncP(X1;96) = 0;9750.

Le quantile recherche est donc 1;96.Notation

Le quantile d'ordrepour la loi normale centree/reduite est notez.

Par exemple,z0;975= 1;96.Chapitre 32012{2013

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Quantile>50% d'uneN(0;1)Exemple

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