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Chapitre3

Superpositiond'ondes,ondes

stationnaires �f(x,t)=0 �g(x,t)=0

αf(x,t)+βg(x,t)

=0,∀α,β∈R(3.0.1) mˆemepulsation 1 1 etf 2 comme(aveclaconventionk>0) f(x,t)= f 1 (x,t)+ f 2 (x,t)= A 1 A 2 e i(ωt-kx) (3.1.1) desinterf´erences.

Page31

d´ecomposition(2.5.17): A 1 A 2 =A 1 e iφ 1 +A 2 e iφ 2 (3.1.2) A 2 A 1 e iφ 1 +A 2 e iφ 2 A 1 e -iφ 1 +A 2 e -iφ 2 =A 2 1 +A 2 2 +2A 1 A 2 cos(φ 1 2 )(3.1.3) tanφ= Im( A) Re( A) A 1 sinφ 1 +A 2 sinφ 2 A 1 cosφ 1 +A 2 cosφ 2 (3.1.4) 1 =A 2 .Danscecaslecalcul A 2 =2A 2 1 [1+cos(φ 1 2 )]=4A 2 1 cos 2 1 2 2 (3.1.5) r´egressives,d´efinipar ∆Φ(x,t)=Φ 2 (x,t)-Φ 1 (x,t)=φ 2 1 .(3.1.6) A=2A 1 cos 2 (3.1.7)

3.2Ondesstationnaires

f(x,t)=Ae iφ 1 e i(ωt-kx) +Ae iφ 2 e i(ωt+kx) (3.2.1) f(x,t)=Ae i(ωt+ 1 2 2 e i(-kx+ 1 2 2 +e i(kx+ 2 1 2 =2Ae i(ωt+ 1 2 2 cos kx+ 2 1 2 (3.2.2)

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fonctiondexuniquement: f(x,t)=Re f(x,t) =⇒f(x,t)=2Acos

ωt+

1 2 2 cos kx+ 2 1 2 (3.2.3) spatialeettemporelle: ∃g,h∈C 2 propagepas. La forme pourunevaleurdexdonn´ee,est2A|cos(kx+ 2 1 2 )|,ind´ependammentdet.Ainsi sinuso¨ıdale.

Ventresetnoeudsd'uneondestationnaire

NoeudVentre

λ/2

consid´eronslecasparticulier 1 2 2 ≡0[2π].Ondistinguealors: ment.Ilssesituentauxpointsx n telsquekx n 2 +nπ,n∈Z. m tels quekx m

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par x n+1 -x n =x m+1 -x m k 2 (3.2.5) amplituder´eelle.

3.3Battements

mˆemefr´equencetemporelle. 2 1 et 2 tr`esvoisines,maisnonidentiques: 2 1 2 1 �1(3.3.1) celled'unsyst`emeder´ef´erence. 1 etφ 2 `al'instant r´eelleA.

˜y(t)=˜y

1 (t)+˜y 2 (t)=Ae i(ω 1 t+φ 1 +Ae i(ω 2 t+φ 2 (3.3.2) nousd´efinissonsmaintenant 2 1 1 2 2 (3.3.3a) 2 1 1 2 2 (3.3.3b)

˜y(t)=Ae

i(ωt+φ) equotesdbs_dbs12.pdfusesText_18