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Exercice 4
Corrigé
17MASOMLR1
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2017
ÉPREUVE DU MERCREDI 21 JUIN 2017
MATHÉMATIQUES
-Série S -Enseignement Obligatoire Coefficient : 7
Durée de l'épreuve : 4 heures
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.Le candidat doit traiter tous les exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse, qu'il aura développée.Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 8 pages numérotées de 1 à 8. La page 8 est une annexe à rendre avec la copie. Page 1 sur 8Sujets Mathématiques Bac 2017
freemaths.frFrance Métropolitaine
freemaths.frfreemaths.fr17MASOMLR1
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Exercice 4 (5 points) : pour les candidats n'ayant pas suivi l' enseignement de spécialité On étudie un modèle de propagation d'un virus dans une populati on, semaine après semaine. Chaque individu de la population peut être, à l'exclusion de to ute autre possibilité : soit susceptible d'être atteint par le virus, on dira qu'il est " de type S » ; soit malade (atteint par le virus) ; soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus).Un individu est immunisé lorsqu'il a été vacciné, ou lorsqu'il a guéri après avoir été atteint par le
virus.Pour tout entier naturel
le modèle de propagation du virus est défini par les règles su ivantes : Parmi les individus de type S en semaine í µ, on observe qu'en semaine í µ + 1:85 % restent de type S, 5 % deviennent malades
et10 % deviennent immunisés ;
Parmi les individus malades en semaine í µ, on observe qu'en semaine í µ + 1:65 % restent malades, et 35 % sont guéris et deviennent immunisés.
Tout individu immunisé en semaine í µ reste immunisé en semaine í µ + 1. On choisit au hasard un individu dans la population. On considère lesévénements suivants :
: " l'individu est de type S en semaine " l'individu est malade en semaine í µ » ; : " l'individu est immunisé en semaine En semaine 0, tous les individus sont considérés " de type S » , on a donc les probabilités suivantes : n = 1 n = 0 et n = 0Partie A
On étudie l'évolution de l'épidémie au cours des semai nes 1 et 2. 1. Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilités do nné ci-dessous : 2.Montrer que í µí µ
= 0, 20253.
Sachant qu'un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au
millième, qu'il ait été malade en semaine 1 ?