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On a ici un exemple de sondage à 3 degrés, mais on peut généraliser à 2,3,4 degrés Pour chaque degré, les méthodes déjà présentées (probabilités égales

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Plans par grappes et à plusieurs degrés

Sommaire

1. Principe, justification et premiers exemples

a. Principe b. Justification c. Premiers exemples

2. Plans par grappes

a. Cas général : tirage des grappes à probabilités inégales b. Tirage des grappes proportionnellement à leur taille c. Tirage des grappes à probabilités égales d. Comparaison avec un SAS de même taille e. Considérations pratiques

3. Plans à plusieurs degrés

a. Principe général b. Tirage SAS à chaque degré c. Tirages autopondérés d. Considérations pratiques

4. Exemples des enquêtes ménages INSEE

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1. Principe, justification et premiers exemples

a. Principe On accède aux unités échantillonnées par l'intermédiaire de regroupements de ces unités. Exemple d'une enquête auprès des ménages : ¼=sélection d'un échantillon de communes,

¼=puis on retient :

o tous les ménages des communes retenues : plans par grappes o un échantillon de ménages dans les communes retenues : plans à 2 degrés où les communes s'appellent " unités primaires » et les ménages " unités secondaires » o un échantillon d'individus dans les ménages et communes retenus aux degrés précédents : plans à 3 degrés Plans par grappes et à plusieurs degrés - CNAM 3

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b. Justifications

Avantages :

¼=Absence de base de sondage ou mauvaise qualité : seule la connaissance exhaustive des unités primaires (par ex, des villes) est nécessaire.

¼=Economie

¼=Gain de temps

Inconvénients :

¼=Perte de précision par rapport à un sondage aléatoire simple sans remise de même taille Effets de grappes : les unités statistiques regroupées dans une même unité primaire ont souvent tendance à se ressembler. á Il faut donc soigner le premier degré de tirage Plans par grappes et à plusieurs degrés - CNAM 4

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c. Premiers exemples ¼=En industrie, contrôle par lots : produits de série conditionnés par caisses. ¼=Etudes médicales : on accède aux patients ou à des prescriptions en interrogeant des médecins ou des laboratoires d'analyses médicales ¼=Sondages électoraux " sortie des urnes » réalisés auprès d'électeurs à la sortie de certains bureaux de vote. ¼=Enquête Emploi et enquêtes ménages INSEE Plans par grappes et à plusieurs degrés - CNAM 5

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Les notations :

¼=Population :

˜šNkU,...,,...,1Z

¼=M unités primaires (UP) ou M grappes :

r M i i UU 1Z Z

Dont m sont échantillonnées dans

G S ou S UP

¼=N unités secondaires (US) :

Z Z M i i NN 1 où ii

UcardNZ

Choix de n

i unités parmi N i dans les m UP i tirées dans I S

¼=Total de la variable Y :

ZZ ZZ N k kM i YiY Ytt 11 Où Z i UkkYi Yt

¼=Moyenne de la variable Y :

NtNNYN

YM i YiiN k kY ZZZ ZZ 11

11ŠŠ

¼=Dispersion du total de la variable Y entre les grappes ou les UP Z

ĔĕēĄąăJJZ

M iY YiT MttM 12

11S²

Plans par grappes et à plusieurs degrés - CNAM 6

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2. Plans par grappes

Principe :

¼=Sélection d'un échantillon S

G de grappes

¼=Recensement dans chaque grappe retenue

¼=Probabilités d'inclusion des individus et des grappes:

ëëëZë?Z

jiijii kliik

UlUkUlkUk

etsisi

¼=Taille d'échantillon aléatoire :

ZZZ G

SiiSks

Nn1 U 1 U i U M Plans par grappes et à plusieurs degrés - CNAM 7

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a. Cas général : tirage de grappes à probabilités inégales

Estimateur de Horvitz-Thompson du total

Z G siii y y ttˆ

¼=Estimateur sans biais

¼=De variance :

EF jyj iyi jiUijy tttVar I aZ ou Sen-Yates-Grundy

¼=Estimateur sans biais de la variance si

0[ ij pour toutes les grappes i et j : EF jyj iyi jiSjiij y tttarV G aZ ou Sen-Yates-Grundy Plans par grappes et à plusieurs degrés - CNAM 8

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Estimation de la moyenne

Si N connu ,

Estimateur de Horvitz-Thompson

ZZ G siii yy y t

NNtu1

¼=Estimateur sans biais

¼=De variance :

EF y tVar N

ˆ²1

¼=estimée par :

EF y tarV N ²1

Si N inconnu ,

Estimateur de Hajek :

ZZ GG siiisiii y y

Hajeky

Nt N tu

¼=Estimateur biaisé

¼=Plus précis en présence d'un effet taille : EF EF EF ljYYjj iYYii jiMijHajeky NN

NuVar

JÑJa]

Z, ,...,12,

1ˆ EF ljHajekyYjj iHajekyYii jiSijij

Hajeky

uNuN NuVar G 2,

ˆˆ1ˆJÑJa]

Plans par grappes et à plusieurs degrés - CNAM 9

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b. Tirage des grappes proportionnellement à leur taille ikii Uk N

Nmë?ZZ,

En moyenne, la taille d'échantillon vaut :

EF ZZ II Uiii Uiis N N m N NmNnE 2

Estimateur de Horvitz-Thompson du total :

Z G siiy iy tmNNtˆ

Estimateur de Horvitz-Thompson de la moyenne :

Z G siiyy mŠŠ1ˆ Plans par grappes et à plusieurs degrés - CNAM 10

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c. Tirage des grappes à probabilités égales UkMi M m ki

ë?Z?ZZ,,...1,

En moyenne, la taille d'échantillon vaut :

EF M Nm M mNnE I Uiis ZZ Estimateurs de Horvitz-Thompson du total et de la moyenne Z G siiyy tmMtˆ Z G siyiiy

NNmMŠŠˆ

¼=Estimateurs sans biais

¼=De variance pour le total :

EF mS

MmMtVar

Ty2

1²ˆĔĕēĄąăJZ

Où Ă

Z

ĔĕēĄąăJJZ

M iY YiT MttM 12

11S²

¼=Estimée sans biais par :

EF ms

MmMtarV

Ty2

1²ˆˆĔĕēĄąăJZ

où Ă JJZ G siY iYquotesdbs_dbs30.pdfusesText_36