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Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise

Comparaison des prélèvements PEAR et PESRSondage aléatoire simple à probabilités égales

Myriam Maumy-Bertrand

1 1

IRMA, Université de Strasbourg

Strasbourg, France

Master 1ère Année 26-09-2013

Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise

Comparaison des prélèvements PEAR et PESRCe chapitre s"appuie essentiellement sur trois livres :

" éléments de statistiques », de Jean-Jacques Droesbeke, Université de Bruxelles, 2001." Les techniques de sondage » de Pascal Ardilly, éditions Technip, 2006." Exercices corrigés de méthodes de sondage » de Pascal Ardilly et de Yves Tillé,

éditions Ellipses, 2003.

Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRSommaire

1Introduction

2Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise

3Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise

4Comparaison des prélèvements PEAR et PESR

Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRDéfinition Un sondage aléatoire est simple (SAS) si tous les échantillons de taille n fixée a priori, prélevés au sein d"une population U d"effectif N, sont réalisables avec la même probabilité.Remarque Dans ce cas, les individus de la populationUont tous la même probabilité d"être choisis pour faire partie de l"échantillonS:

leurprobabilité d"inclusionest une constante.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRRemarque Rappelez ce qu"est uneprobabilité d"inclusion!Réponse Vous pouvez trouver une définition p:51 dans le livre de Ardilly ou alors en allant regarder sur le lien internet suivant : " images.math.cnrs.fr/pdf2006/Lejeune.pdf » ou encore en consultant le cours intitulé " Notations ».Remarque Si nous reprenons le choix d"une seule observation, chaque individu de la populationUa une probabilité égale à 1=Nd"être

prélevé dans la populationUafin de constituer l"échantillonS.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise

Comparaison des prélèvements PEAR et PESRIl y a deux méthodes pour sélectionner des individus pour

constituer un échantillonS.La première méthode Elle consiste à replacer chaque valeur observée dans la populationUavant le tirage suivant et celanfois de suite. )Prélèvementavec remise. Ce type de sondage est dit sondage à probabilités égales avec remise (PEAR).La deuxième méthode Elle consiste à ne pas remettre l"individu dans la populationUà chaque tirage. )Prélèvementsans remise. Ce type de sondage est dit sondage à probabilités égales sans remise (PESR). Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarques

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la variance

RemarqueSommaire

1Introduction

2Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise

3Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise

4Comparaison des prélèvements PEAR et PESR

Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarques

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la variance

RemarquePropriété

Dans ce cas, il y a N

néchantillonsSpossibles.Remarques Un même individu peut-être sélectionné plusieurs fois!

À chaque tirage, la populationUest toujoursla même.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarques

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la variance

RemarqueChaque valeur observée est priseindépendammentdes autres.Propriété L"échantillonSest alors considéré comme une suite de variables aléatoiresindépendantes et équidistribuées fY1;:::;Yng, où Yiest la valeur observée pour le i-ème individu sélectionné, telles que

8i=1;:::;nE[Yi] =Y=YetVar[Yi] =2Y;

oùYest la moyenne de la population U et2Yla variance de la population U. Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarques

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la variance

RemarqueDéfinition

Un estimateur classique de la moyenned"une population U se définit par : bn=1n X i2SY i:Propriété

Un calcul direct montre que :

E(bn) =YetVar(bn) =2Yn

Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarques

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la variance

RemarqueRemarques

L"avant dernière égalité de la dernière propriété implique quebnest un estimateur sans biais de la moyenneYde la populationU.Dans l"expression de la variance debn, nous remarquons que le terme de la variance2Yde la populationU intervient. Or, dans la plupart des cas, nous ne connaissons pas la variance2Yde la populationU. Nous serons donc amené à construire un estimateur de la variance debn.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarques

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la variance

RemarqueDéfinition

Un estimateur de la variance debnse définit par :

Var[bn] =S2n;cn

où S

2n;cdésigne la variance corrigée de l"échantillonS.Propriété

Un calcul direct montre que :

E h\Var[bn]i =2Yn Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarques

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la variance

RemarqueRemarques

Rappelons que la variance corrigéeS2n;cde l"échantillonS se définit par : S

2n;c=1n1X

i2S(Yibn)2

et queS2n;cest un estimateur sans biais de la variance2Yde la populationU.De cette dernière propriété, nous en déduisons queS2n;c=n

est un estimateur sans biais de la variance debn.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarques

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la variance

RemarqueDéfinition

Un estimateur classique du total T

Yd"une population U se

définit par : b

Tn=Nbn=Nn

X i2SY i:Propriété

Un calcul direct montre que

E bTn =TYetVarbTn =N22Yn Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarques

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la variance

RemarqueRemarques

L"avant dernière égalité de la dernière propriété implique quebTnest un estimateur sans biais du totalTYde la populationU.Dans l"expression de la variance de bTn, nous remarquons que le terme de la variance2Yde la populationU intervient. Or, dans la plupart des cas, nous ne connaissons pas la variance2Yde la populationU. Nous serons donc amené à construire un estimateur de la variance debTn.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarques

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la variance

RemarqueDéfinition

Un estimateur de la variance de

bTnse définit par :

VarbTn

=N2S2n;cn où S

2n;cdésigne la variance corrigée de l"échantillonS.Propriété

Un calcul direct montre que :

E \VarbTn =N22Yn Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarques

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la variance

RemarqueRemarque

De cette dernière propriété, nous en déduisons queN2S2n;cn est un estimateur sans biais de la variance de bTn.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarques

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la variance

RemarqueDéfinition

Un estimateur classique de la variance2Yd"une population U se définit par : S

2n;c=1n1X

i2S(Yibn)2.Propriété

Des calculs montrent que :

E S2n;c =2Y et Var S2n;c =1n(n1) (n1)Y;4(n3)4Y Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarques

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la variance

RemarqueRemarques

L"avant dernière égalité de la dernière propriété implique queS2n;cest un estimateur sans biais de la variance2Yde la populationU.Dans l"expression de la variance deS2n;c, nous remarquons que le terme4, qui est le carré de la variance de la populationU, intervient ainsi que le moment d"ordre 4, Y;4. Or, dans la plupart des cas, nous ne connaissons ni

4Y, niY;4. Nous serons donc amené à construire un

estimateur de la variance deS2n;c, si besoin est.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarques

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la variance

RemarqueLeprélèvement avec remiseest susceptible de fournir plusieurs fois un individu de la population. Deux situations se

présentent.Lesntirages fournissentnindividus distincts.Dans ce cas,Scorrespond à un sous-ensemble deUde taille

n. Les définitions debn,bTnetS2csont équivalentes si nous renumérotons les individus de la populationUde telle sorte que S=f1;:::;ng:Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRQuelques propriétés et remarques

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la variance

RemarqueLesntirages fournissentmindividus, oùm Le premier consiste à prendre en compte les observations

autant de fois qu"elles ont été recueillies.Le second consiste de prendre la moyenne desmvaleurs

distinctes observées dont l"ensemble est désigné parSm: bm=X k2SmY k: Il est clair que dans ce cas, la taille dende l"échantillon n"est plus une constante mais devient elle-même une v.a., fonction du processus de prélèvement.

Nous montrons que, en moyenne,bmest encore égal àY.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRDéfinition

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la varianceSommaire

1Introduction

2Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise

3Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise

4Comparaison des prélèvements PEAR et PESR

Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRDéfinition

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la varianceDéfinition

Un sondage aléatoire simple estsans remisesi l"observation prélevée au i-ème tirage n"est pas replacée dans la population avant les prélèvements suivants. Ce type de sondage est appelé un sondage à probabilités égales sans remise (PESR)Remarque Un individu est choisi au plus une fois, chaque tirage fait décroître la populationUd"une unité. )Les observations ne sont plus des variables aléatoires indépendantes les unes des autres. Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRDéfinition

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la varianceDéfinition

Un estimateur classique de la moyenned"une population U se définit par : bn=1n n X i=1Y i:Propriété

Des calculs (Ardilly, p :259-261) montrent que :

E(bn) =Y;

et

Var(bn) =NnN1

2Yn = (1f)NN1 2Yn = (1f)2Y;cn Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRDéfinition

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la varianceRemarques

L"avant dernière égalité de la dernière propriété implique quebnest un estimateur sans biais de la moyenneYde la population.Si la tailleNde la populationUest grande, la variance de bnvaut :

Var(bn)(1f)2Yn

Dans l"expression de la variance debn, nous remarquons que le terme de la variance corrigée2Y;cde la population

Uintervient. Or, dans la plupart des cas, nous ne

connaissons pas la variance corrigéeS2n;cde la population U. Nous serons donc amené à construire un estimateur de la variance debn.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRDéfinition

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la varianceRemarques

Rappelons que la variance corrigéeS2n;cde l"échantillonS se définit par : S

2n;c=1n1n

X i=1(Yibn)2 et queS2n;cest un estimateur sans biais de la variance corrigée2Y;cde la populationU.De cette dernière propriété, nous en déduisons que (1f)S2n;cn est un estimateur sans biais de la variance de bn.Myriam Maumy-BertrandSondage aléatoire simple à probabilités égales

Introduction

Sondage aléatoire simple à probabilités égales avec remise Sondage aléatoire simple à probabilités égales sans remise Comparaison des prélèvements PEAR et PESRDéfinition

Estimateur de la moyenne

Estimateur du total

Estimateur de la varianceDéfinition

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