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Corrigé Séance 5 Séance 5 : Exercices récapitulatifs sur l'estimation ponctuelle Exercice 1 l'estimateur du maximum de vraisemblance ˆθ est donc exhaustif

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Corrigé séance 4 Séance 4 : Estimateurs maximum de vraisemblance et méthode des moments Exercices Exercice 1 Soient X1, ,Xn i i d de loi de Poisson 

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déf : estimation du maximum de vraisemblance Calculer la log-vraisemblance et en déduire l'estimateur du maximum de vraisemblance Corrigé Exercice 1

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D'après l'exercice 1 du TD 3, cette fonction est maximale pour θ = ¯Xn On peut également remarquer que l'estimateur du maximum de vraisemblance de θ

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7 déc 2010 · Exercice 1 : Estimation k] = 8σ4 Estimateur du Maximum de Vraisemblance L'estimateur ̂θMV est donc un estimateur non biaisé de θ

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ECOLENATIONALE

DESPONTSETCHAUSSEES

Anneeuniversitaire2004{2005

EXERCICES

ducoursdestatistiqueetanalysededonnees

25novembre2005

2 universitaire2004-2005: nique.

Tabledesmatieres

IModelesparametriques5

IIModelelineairegaussien25

IIIModelesdiscrets39

IVTestsnonparametriques47

VAnalysedesdonnees57

3

4TABLEDESMATIERES

ChapitreI

Modelesparametriques

I.1

Enonces

ExerciceI.1.

pourladeuxiemeligne. decesestimateursetdonnezcesproprietes.

3.Notons

Xa=1nP

50
i=1Xiet

Xb=1nP

100
(enremplacantlesvariancesde derejette-t-onl'hypothese?

Faitesuncommentairecritiquedecepassage.

4 5

6CHAPITREI.MODELESPARAMETRIQUES

ExerciceI.2.

parametre2]0;+1[. i=1Xiestunestatis- tiqueexhaustive.Rappelezquelleestsaloi. X=1nP n i=1Xi;calculezsonrisque quadratique.

E(Yr)estdenipoura+r>0etvaut(a+r)

r(a);enparticulier,sia>1,pourr=1,on obtientE(1

Y)=a1.

proprietessuivantes:

2Zp2k1suitapproxi-

mativementlaloinormalecentreereduite. n=15(puisn=30). loiGammadeparametre(a;),avecaconnu? 4

ExerciceI.3.

riance.

I.1.ENONCES7

2.Onveutestimer.

estimateursetcomparezles. X=1nP n

Precisezleurmiseenuvrepour=0;05etn=15.

=0;05etn=15. 4

ExerciceI.4.

estsaloi?

Calculezsonrisquequadratique.

cation7!F(x)eststrictementdecroissante. 4

ExerciceI.5.

8CHAPITREI.MODELESPARAMETRIQUES

donneeparsadensite,deniesurR +(=]0;1[)par: f ;(x)=(1)1 x1[;1[(x); etantinconnus.

1.a.Donnezuneapplicationde(R

+)ndans(R +)2quisoitunresumeexhaustifdesob- servations. connu,puisl'estimationm.v.desiestconnu. parametre1. b.RappelezquelleestlaloidePn deloiexponentielledeparametre1. 4

ExerciceI.6.

Analysedesdonneesdel'ENPC)

fonctionindicatricedel'intervalle[;+1[). resultatsdeb.

I.1.ENONCES9

4

ExerciceI.7.

kdegresdeliberte. precedente. nulle0contrel'hypothesealternative>0. 4

10CHAPITREI.MODELESPARAMETRIQUES

I.2Corrections

ExerciceI.1.

p a.Donclav.a.moyenneempiriqueXa=1 50P
50
i=1Xiestl'estimateurparmaximum independantes,lav.a.Xaapourvariance1

502P50

i=1pa(1pa)=1

50pa(1pa),dont

l'estimateurdumaximumdevraisemblanceest1

50Xa(1Xa).D'oul'estimationde

l'ecart-typedeXa:[1 sansbiaisdelavariance,ninonplus1

50Xa(1Xa)1=2unestimateursansbiaisde

Numeriquement,onaici:[1

typedeXbest[1

50xb(1xb)]1=2=0:063.0,06.

2.1 [xa1 2r xa(1xa) 50]:
P pa(pa2[Xa1 2r

Xa(1Xa)

50])'1:

qpa(1pa)

50aeteremplaceeparla

loilimitenormalecentreereduite. [xb1 2r xb(1xb) 50]:

Niveaudeconance1

2I.C.pourpaI.C.pourpb

0,950;051;96[0;06;0;26][0;16;0;40]

0,900;101;65[0;07;0;25][0;18;0;38]

I.2.CORRECTIONS11

puisqu'icixa50 xb(1xb) 50
c'est-a-dire: 1

2 xa(1xa) 50+q
xb(1xb) 50;
soitici 1

2<1:04

ouencore,commepardenition1

2=1(12)(ou1estlafonctionreciproque

1

2=0:85

c'est-a-direenn

1<0:70:

etN(pb;2b),ou2a=1

50pa(1pa)et2b=150pb(1pb);commeXaetXbsont

aaussi2a=2b=1 50P
50
x=1 100P
100
i=1xi=1 choisi.

Sousl'hypothesenulle,laloideXaXb

p2S(ouS2=150X(1X))estapproximativement

N(0;1)etdonconapproximec

p2spar12,quantiled'ordre12deN(0;1)

Ici,numeriquement,xaxb=0:12etp

2s=0;08;donc:

{si=0:05,1 pasderejetdel'hypothesenulle;

12CHAPITREI.MODELESPARAMETRIQUES

{si=0:10,1 iln'yapasderejetdel'hypothesenulle. donneesobserveesxaxb=0:12etp

2s=0:08,si

1

2=1(12)0:120:08=1:5

autrementdit 1

2(1:25)=0:93

desI.C.)rejetteH0sijxaxbj>1

2(sa+sb)etlaseconde(test)sijxaxbj>

10

2p2sou,rappelonsle,

s 2 a=1

50xa(1xa);s2

b=150xb(1xb)ets2=150x(1x): 10

0:0458,d'ou

jxaxbj=0:0008,x=0:0454,s2=4:33:106,p

2s=2:94:103

etenn jxaxbj p2s=0:27. delaloidejXaXbj

I.2.CORRECTIONS13

para^tsansfondement. designicationusuelde0:05.Ilfaudraitque: jxaxbj q

2x(1x)

n1:96 c'est-a-dire n(1;96)22x(1x) (xaxb)2 soitici n(1:96)220:04540:9546 (0:0008)2'520300: N

ExerciceI.2.

1.Lemodele;unestatistiqueexhaustive

LebesguesurR,l'applicationp(x;)deniepar:

p(x;)=exp(x)1[0;+1[(x); p n(x1;:::;xn;)=nexp nX i=1x i! 1 [0;+1[n(x1;:::;xn):

Cettedensitesefactorisesouslaforme:

p n(x1;:::;xn;)= nX i=1x i;! l(x1;:::;xn)

14CHAPITREI.MODELESPARAMETRIQUES

avec (y;)=nexp(y)etl(x1;:::;xn)=1[0;+1[(min(x1;:::;xn)). i=1Xiestex- haustivedanscemodele. net,dedensite y7!nyn1 (n1)!exp(y)1[0;+1[(y)

Pourtouti,onaE(Xi)=1

d'ou:8>0E(1nP n i=1Xi)=1

Onnote

Xn=1nP

n i=1Xi.

Cetestimateur

(x1;:::;xn)2]0;+1[n,par: n(x;)=lnpn(x1;:::;xn;)=nlnnX i=1x i

L'application`n(x;:),deR

+dansRestderivable;saderiveeest7!n Pn i=1xi,qui s'annullepour=nPn

Xn.Onendeduitquel'estimateurdu

maximumdevraisemblancede1 estXn. variance: Var 1 nn X i=1X i! 1n2n X i=1Var(Xi)=1n2n2=1n2; quitendvers0quandntendversl'inni.

I.2.CORRECTIONS15

3.Estimationduparametre

Xn=nPn

i=1Xi.

Defaitici(voir1)Pn

1est n1.DoncE(1Xn)=nE(1Pn quecetestimateursoitsansbiais).

Lebiaisde1

onditque1 Pn i=1Xi.

4.Tests

a.Hypothesenulle[=1]. =1],contrel'hypothesealter- native[1 nquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27