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En déduire l'image filtrée avant échantillonnage fh(x, y) Exercice 5 (3) On cherche `a calculer `a la main un histogramme sur trois niveaux de l'image gmn = m

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Travaux dirig

´es de traitement d"images num´eriques

´eances 1, 2, 3, 4

Institut Galil

´ee

2014-2015

G. Dauphin et A. Beghdadi

Une version

´electronique de ce polycopi´e est disponible dans

Un suppl

´ement est aussi disponible dans

Quand on fait copier/coller, il faut veiller

`a modifier le caract`ere tilde qui ne passe pas bien. S

´eance 1

Exercice 1(17)

Cet exercice illustre la commandeind2rgbexpos´ee dans le cours 6 (p. 17). On consid`ere une image couleur

´efinie par une table de chiffres et une table de couleurs ; en fait chaque chiffre de la premi`ere table correspond`a

une couleur d

´efinie par la deuxi`eme table.

[gmn] =2 6

66666666641 1 2 2 4 5 6 7

1 1 1 2 4 5 6 7

1 1 2 2 4 5 6 7

2 2 2 2 5 5 6 7

2 2 2 2 4 8 7 8

4 4 4 4 3 3 7 8

5 5 5 2 5 5 8 8

6 6 5 2 6 6 6 73

7777777775(1)

la table de couleur est d

´efinie par :

t=2 6

66666666640 0 0

0:5 0:5 0:5

1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1

1 1 03

7777777775(2)

La premi

`ere colonne est associ´ee`a la couleur rouge, la deuxi`eme colonne est associ´ee`a la couleur verte, la

troisi `eme colonne est associ´ee`a la couleur bleue.

1. Ecrivez les trois matrices R, G, B correspondant

`a cette image couleur.

2. Donnez un nom

`a chacune des couleurs pr´esentes dans cette image.

La couleur(0;1;1)correspond au cyan

La couleur(1;0;1)correspond au magenta

La couleur(1;1;0)correspond au jaune

3. On forme un image en niveau de gris contenant la composante rouge. Ecrivez cette matrice.

4. Formez les trois matrices R,G,B en supprimant la composante rouge.

Exercice 2(2) On cherche`a d´efinir deux images d´ecrites par deux suitesgam;netgbmnrepr´esentant l"une un carr´e

centr ´e de taille3030, l"autre un disque centr´e de diam`etre30pixels au sein d"une image256256.

1. On se place tout d"abord dans un plan

`a deux dimensions. On note un point M de coordonn´ees(x;y). D´efinir un ensemble de conditions sur les coordonn ´ees pour que M soit dans un carr´e de taille3030, centr´e enO0 de coordonn

´ees(128;128).

2. En d

´eduire une formule pour la suitegam;nqui vaut0:4en dehors du carr´e et1dans le carr´e au moyen de la

fonction caract ´eristique not´ee1(1A(m;n) = 1quand(m;n)2Aet1A(m;n) = 0sinon. Pour un signal`a

temps discret,gn= 0:4 + 0:61f121::136g[n]est une suite qui vaut0:4partout sauf pour les indices entre121

et136o`u elle vaut1.

3. De nouveau on se place dans un plan

`a deux dimensions. On note un point M de coordonn´ees(x;y)etO0 le centre de l"image de coordonn ´ees(128;128). D´efinir une condition surMpuis sur les coordonn´ees pour queMsoit dans le disque de diam`etre30.

4. En d

´eduire une formule pour la suitegbm;nqui vaut0:4en dehors du disque et1dans le disque au moyen de

la fonction1. Exercice 3(22) On consid`ere une imagegmnde tailleMN, en niveaux de gris`a valeurs sur[0;1]. Comment cette image est-elle modifi ´ee par les transformations suivantes sur les niveaux de gris :

1.fmn= 1gmn

2.fmn= 0sigmn<0:5etfmn= 1sigmn0:5.

3.fmn=gMm;n.Figure 1:image de l"exercice 4

Exercice 4(5) On analyse les probl`emes de sous-´echantillonnage, repliement de spectre et pr´efiltrage`a partir du

signalf(x;y) = 0:5 + 0:5cos(2(3x+ 4y))´echantillonn´eex= y= 0:2. La figure 1 montre cette image

non-

´echantillonn´ee.

1. Que vaut le signal

´echantillonn´eegmnlorsqu"on se restreint`a256256points ?

2. Quelles est le spectre def(i.e. avant´echantillonnage) ? Montrez que le spectre n"est pasF(u;v) =

0:5(u;v) + 0:25(u3) + 0:25(u+ 3) + 0:25(v4) + 0:25(v+ 4)en calculant la transform´ee de

Fourier inverse. Commefest p´eriodique, le spectre defest constitu´e de pics. Proposer une solution et

´erifier cette solution en utilisant la transform´ee de Fourier inverse. Repr´esentez o`u se trouvent ces pics`a

partir de leur coordonn

´ees en(u;v)2[5;5].

3. Le crit

`ere de Nyquist est donn´e ici parjuj 12xetjvj 12y. Tracer le domaine correspondant`a ce crit`ere de Nyquist. Est-ce que ce crit `ere est v´erifi´e ? 2

4. Donnez l"expression du spectre de l"image

´echantillonn´eeFe(u;v)et repr´esentez le r´esultat. Pour cela il suf- fit de tracer les sym

´etries centrales en les quatre extr´emit´es du crit`ere de Nyquist. Justifiez cette construction

´eom´etrique.

5. Pour retrouver l"image continue

`a partir de l"image´echantillonn´ee, il suffit normalement de filtrer l"image avant

´echantillonnage par un filtre dont la r´eponse en fr´equence estH(u;v) =1[2:5;2:5](u)1[2:5;2:5](v).

Expliquez d"o

`u vient le nombre2:5? Quels sont les pics du spectre inital qui sont conserv´es ?

6. Calculez l"expression du spectre de l"image filtr

´ee avant´echantillonnageFh(u;v).

7. En d

´eduire l"image filtr´ee avant´echantillonnagefh(x;y). Exercice 5(3) On cherche`a calculer`a la main un histogramme sur trois niveaux de l"imagegmn=m10

10::9[m]+

(2m10 )110::19[m]L"histogramme peut se voir aussi comme une quantification des niveaux de gris de l"image et ensuite on compte le nombre de pixel associ ´e`a chaque niveau de quantification et on les repr´esente sur un graphique. Pour simplifier le calcul l"image ´etudi´ee est invariante par translation suivant la premi`ere coordonn´ee. Ainsi l"histogramme de l"image est en fait identique (presque) `a l"histogramme d"un profil horizontal.

1. Repr

´esentez le signalg(x) = 2x1[0;1=2[(x) + (22x)1[1=2;1[(x)sur[0;1].

2. Repr

´esentez sur la mˆeme figure la quantification sur trois niveaux r´eguli`erement r´epartis du signalgq(x) =

Q(g(x)). Pour quantifier un signal sur trois niveaux, on d´efinit une partition de l"intervalle[0;1]sur l"axe

des ordonn ´ees en trois intervallesIkde mˆeme taille, on affecte`a chaque niveau de grisgle milieumkde l"intevalleIkauquelgappartient :Q(g) =mksig2Ik.

3. L"image est en fait de taille2020, repr´esentez sur la mˆeme figure le profil de l"image et de l"image

quantifi ´ee. Cela revient`a´echantillonnerg(x)etgq(x)avec une p´eriode d"´echantillonnage de120

4. Tracez l"histogramme de l"image sur3niveaux. Pour cela on comptabilise le nombre de pixels sur chaque

niveaux de quantification. L"histogramme est le nombre de pixel en fonction du niveau de quantification.

3 S

´eance 2

Cours 1(6)

La transform

´ee de Fourier adapt´ee aux images est la transform´ee de Fourier discr`ete bidimensionnelle :

G k;l=1MN M1X m=0N1X n=0g m;nej2(kmM +lnN o

`ugm;nest l"intensit´e (valeur entre0et1) du pixel`a la position(m;n)etGk;lest le coefficient associ´e`a la

´equence dont la composante horizontaleuestkN

feet la composante verticalevestlN fe,fe´etant la fr´equence d"

´echantillonnage qui s"exprime dans une unit´e. Les variables associ´ees aux fr´equences spatiales sont not´eesuet

v. La taille de l"image estNN. Le choix du coefficient1MN est dans une certaine mesure arbitraire, il garantit ici que la composante constanteG0;0est la moyenne du signal image.

Exercice 6(6)

On consid

`ere une image de taille44d´efinie par g m;n=2 6

640 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 03

7 75(3)

1. Montrez que les coefficients de la transform

´ee de Fourier discr`ete bidimensionnelle sont la somme de deux termes, chacun correspondant `a une exponentielle complexe.

2. Calculez le module et l"argument de chacun de ces coefficients.

3. Calculez les fr

´equences spatiales de chaque coefficient suivant les deux types d"´echelles fr´equentielles (celle

en fr

´equences r´eduites et provenant du traitement du signal et celle en cycles par image), on pourra pr´esenter

ces fr ´equences spatiales sous la forme de deux matrices[uk;l]et[vk;l].Figure 2:u7!sin(u)u , (exercice 7), (10)

Cours 2(10)

1. La transform

´ee sur des signaux`a temps continu est d´efinie par

TF[g(x)](u) =Z

+1 1 g(x)ej2uxdx(4) 4

2. La transform

´ee de Fourier d"une fonction constante sur un intervalle sym´etrique est donn´ee par :

TF[1[12

;12 ](x)](u) =sin(u)u (5)

Cette fonction est repr

´esent´ee sur la figure 2 (p. 4).

Le calcul se fait en restreignant les bornes de l"int ´egrale (4), en calculant une primitive dex7!ej2uxet enfin en reconnaissant dans la diff ´erence entre cette primitive appliqu´ee enx=12 et enx=12 , l"expression donn´ee par (5).

3. La transform

´ee de Fourier d"un dirac est une exponentielle complexe.

TF[(xx0;yy0)](u;v) =ej2(ux0+vy0)(6)

4. La transform

´ee de Fourier d"une fonction gaussienne est donn´ee par :

TF[ex2](u) =pe

2u2(7)

On commence d"abord par calculer le r

´esultat en la fr´equence nulle, pour cela on calculeR+1 1R +1

1ex2y2dxdy

que l"on peut approcher par en passant en coordonn

´ee polaireR+1

0R 2

0e2ddce qui vautet par suiteR+1

1ex2dx=p. Ensuite en regroupant les termes exponentiels qui apparaissent dansTF[ex2](u), on voit que

2+j2uxforme le d´ebut d"un terme carr´e(x+jux)2auquel il faut rajouter2u2, ce dernier terme ne d´epend

pas dexet peut donc sortir de l"int´egrale. On a ainsi montr´e queTF[ex2](u) =e2u2R+1

1e(x+jux)2dx. La

fonctionz7!ez2est holomorphe sur une partie du plan complexe, aussi l"int´egrale ne d´epend pas deuet vaut doncp.

5. La transform

´ee de Fourier v´erifie une propri´et´e utilis´ee pour la modulation :

TF[g(x)ej2u0x](u) =TF[g(x)](uu0)(8)

Elle se d

´emontre en explicitant le premier membre et en regroupant les exponentielles.

6. Un retard sur le signal se traduit du point de vue de la transform

´ee de Fourier par un d´ephasage.

TF[g(xx0)](u) =TF[g(x)](u)ej2ux0(9)

En effetg(xx0)s"exprime comme la transform´ee de Fourier inverse deTF[g(x)](u)appliqu´e enxx0, en scindant

l"exponentielle, on observe queg(xx0)est aussila transform´ee deFourier inverse deTF[g(x)](u)ej2ux0appliqu´e

enx.

7. Une rotation d"une fonction

`a deux variable se traduit du point de vue la transform´ee de Fourier par une rotation identique des fr ´equences spatiales. Ainsi si(X;Y)sont les coordonn´ees d"un nouveau point obtenu par rotation d"angle`a partir d"un point(x;y)alors la transform´ee de Fourier de~g(x;y) =g(X;Y) est donn ´ee parTF[~g(x;y)](u;v) =TF[g(X;Y)](U;V). Cette invariance par rotation de la tranform´ee de ils observent le m

ˆeme ph´enom`ene, mˆeme si ce ph´enom`ene est d´ecrit de mani`ere diff´erente en coordonn´ee

cart

´esienne. La rotation est d´efinie par

X Y =cos() sin() sin()cos() X Y (10) La d

´emonstration provient de ce que le produit scalaire entre le vecteur(x;y)et(u;v)qui intervient dans la d´efinition

de la transform

´ee de Fourier est´egale au produit scalaire entre(X;Y)et(U;V)du fait que la matrice de rotation est

dite orthogonale (DTD= 1). Ce r

´esultat n"est absolument pas valable pour des transformations qui ne conserveraient pas les distances par exemple

pour des compositions d"homoth

´eties et de rotations.

Exercice 7(10)

On cherche

`a calculer et`a visualiser des transform´ees de Fourier d"images d´efinies par des fonctions de deux

variables particuliquotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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