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ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 La longueur d'un vecteur est aussi appelée la norme du vecteur « vecteur Soit A, B, C et D quatre points deux à deux distincts segments [AB] et [CD] ont donc même longueur et même direction Réciproquement : Les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles et de

[PDF] Démontrer quun point est le milieu dun segment Démontrer que

Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC] donc (IJ) est parallèle à (BC) P 13 Si deux droites sont symétriques par rapport à un point  

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Les carrés sont rangés dans le même ordre que les nombres de départ ( croissance de la On pourrait aussi calculer les 9 carrés : 15², 25², , 95² et vérifier L'aire d'un rectangle est égale au produit des longueurs de deux côtés consécutifs une translation de vecteur semble avoir le sens de « point sur segment »

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La longueur du côté du carré a pour mesure 2 , comme le diamètre du disque a) Si M appartient au segment [AB], A(x) est la mesure de l'aire du triangle nombres de calendriers sont des multiples de 15; dans le second, tous les nombres droite ainsi tracée coupe la droite (IJ) en un certain point E Ce point vérifie IE =

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Le point J est le milieu du segment 3) B appartient à (AB) et à (BC), donc les coordonnées de B vérifient les équations de AC sont deux vecteurs tels que AB = 2, AC = 5 et BAC = π Les points E, I et H sont des milieux de côtés du carré ABCD a) Construire un triangle ABC tel que AB = 9 cm, BC = 4 cm et AC = 7 cm

[PDF] Fiche 2 - Exercices de révision sur les vecteurs

Exercice 5 ABCD est un parallélogramme On rapporte le plan au repère ( 1 Quelles sont les coordonnées des points A b/ Donner les coordonnées des vecteurs c/ Les droites ( MN ) et ( CP ) sont es de révision sur les vecteurs et on note I le milieu du segment [ BC ] fonction de précédentes , on vérifie facilement que

[PDF] Devoir Maison A rendre le mercredi 2 mai 2nde Exercice 1 Le plan

2 mai 2012 · 2nde Exercice 1 Le plan est muni d'un repère On donne les points , et 2/ Placer les points D, E et F vérifiant: ↄ 4/ a) Calculer les coordonnées des vecteurs et est un parallélogramme (question 1), avec un angle droit ( question 2b) et deux côtés I et K sont les milieux respectifs des segments et

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26 jui 2013 · deux segments de longueurs différentes (AB = BC) ; et n'ont aucun point commun ou si ces deux Théorème 3 : Si une droite d est parallèle à deux plans 乡1 et 乡2 On considère le cube ABCDEFGH ci contre de côté 4 cm Définition 5 : Deux vecteurs u et v sont colinéaires si, et seulement si, 

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c) Vérifier graphiquement le résultat du 1˚) 5 Calculer les coordonnées des vecteurs −−→ BA, −−→ Déterminer les coordonnées du point I milieu du segment [BC] 5 12 1˚) x et y sont deux nombres inverses, quel est Un point M se déplace sur les côtés du rectangle 14 ABCDEFGH est un cube, AB = 4 cm O

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Démontrer qu'un point est le milieu d'un segment

P 1 Si un point est sur un segment et à

égale distance de ses extrémités alors ce point est le milieu du segment.O appartient à [AB] et OA = OB donc

O est le milieu de [AB].

P 2 Si un quadrilatère est un

parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. (C'est aussi vrai pour les losanges, rectangles et carrés qui sont des parallélogrammes particuliers.)ABCD est un parallélogramme donc ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu. P 3 Si A et A' sont symétriques par rapport à un point O alors O est le milieu du segment [AA'].A et A' sont symétriques par rapport au point O donc le point O est le milieu de [AA'].

P 4 Si une droite est la médiatrice d'un

segment alors elle coupe ce segment en son milieu.(d) est la médiatrice du segment [AB] donc (d) coupe le segment [AB] en son milieu.

P 5 Si un triangle est rectangle alors son

cercle circonscrit a pour centre le milieu de son hypoténuse.ABC est un triangle rectangle d'hypoténuse [AB] donc le centre de son cercle circonscrit est le milieu de [AB].

P 6 Si, dans un triangle, une droite passe

par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.Dans le triangle ABC,

I est le milieu de [AB]

et la parallèle (d) à (BC) coupe [AC] en J donc J est le milieu de [AC].

Démontrer que deux droites sont parallèles

P 7 Si deux droites sont parallèles à une

même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles.(d1) // (d2) et (d2) // (d3) donc (d1) // (d3).

P 8 Si deux droites sont perpendiculaires

à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles. (d1) ⊥ (d3) et (d2) ⊥ (d3) donc (d1) // (d2).

P 9 Si un quadrilatère est un

parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles. (C'est aussi vrai pour les losanges, rectangles et carrés qui sont des parallélogrammes particuliers.)ABCD est un parallélogramme donc (AB) // (CD) et (AD) // (BC). L'ESSENTIEL DES PROPRIÉTÉS UTILES AUX DÉMONSTRATIONSAA'O AB DCAB CD

246AB(d)

OA BCABO A (d)I C BJ (d1)(d3) (d2) (d1)(d3) (d2)

P 10 Si deux droites coupées par une

sécante forment des angles alternes-internes de même mesure alors ces droites sont parallèles.Les droites (vt) et (uy) sont coupées par la sécante (zw),vGwetzEy sont alternes-internes et de même mesure donc (vt) // (uy).

P 11 Si deux droites coupées par une

sécante forment des angles correspondants de même mesure alors ces droites sont parallèles.Les droites (vt) et (uy) sont coupées par la sécante (zw), zGtetzEysont correspondants et de même mesure donc (vt) // (uy).

P 12 Si, dans un triangle, une droite

passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.Dans le triangle ABC,

I est le milieu de [AB]

et J est le milieu de [AC] donc (IJ) est parallèle à (BC).

P 13 Si deux droites sont symétriques par

rapport à un point alors elles sont parallèles.Les droites (d) et (d') sont symétriques par rapport au point O donc (d) // (d'). P 14 Réciproque du théorème de Thalès :

Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A.

B et M sont deux points de (d) distincts de A.

C et N sont deux points de (d') distincts de A.

Si les points A, B, M d'une part et les points

A, C, N d'autre part sont alignés dans le

même ordre et si AM AB=AN

AC, alors les

droites (BC) et (MN) sont parallèles. Les points M, A, B d'une part et les points N, A, C d'autre part sont alignés dans le même ordre.

Si, de plus,AM

AB=AN AC, alors, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Démontrer que deux droites sont perpendiculaires

P 15 Si deux droites sont parallèles et si

une troisième droite est perpendiculaire à l'une alors elle est perpendiculaire à l'autre.(d1) ⊥ (d3) et (d1) // (d2) donc (d2) ⊥ (d3).

P 16 Si un quadrilatère est un losange

alors ses diagonales sont perpendiculaires. (C'est aussi vrai pour le carré qui est un losange particulier.)ABCD est un losange donc (AC) ⊥ (BD).

P 17 Si un quadrilatère est un rectangle

alors ses côtés consécutifs sont perpendiculaires. (C'est aussi vrai pour le carré qui est un rectangle particulier.)ABCD est un rectangle donc (AB) ⊥ (BC), (BC) ⊥ (CD), (CD) ⊥ (AD) et (AD) ⊥ (AB). L'ESSENTIEL DES PROPRIÉTÉS UTILES AUX DÉMONSTRATIONS G yE u v w t zAB CDAB C D G yE u v w t z247A I C BJ oo CM A

BN(d)(d')(d)

(d')OA BA'B' (d3) (d2)(d1)

P 18 Si une droite est la médiatrice d'un

segment alors elle est perpendiculaire à ce segment.(d) est la médiatrice du segment [AB] donc (d) est perpendiculaire

à [AB].

P 19 Si une droite est tangente à un cercle en un point alors elle est perpendiculaire au rayon de ce cercle qui a pour extrémité ce point.(d) est tangente en M au cercle de centre O donc (d) est perpendiculaire

à [OM].

Démontrer qu'un triangle est rectangle

P 20 Réciproque du théorème de P ythagore :

Si, dans un triangle, le carré de la longueur

du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le triangle est rectangle et il admet ce plus grand côté pour hypoténuse.Dans le triangle ABC,

BC2 = AB2  AC2

donc le triangle ABC est rectangle en A.

P 21 Si, dans un triangle, la longueur de

la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté alors ce triangle est rectangle et il admet ce côté pour hypoténuse.Dans le triangle ABC,

O est le milieu de [BC]

et OA =BCquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42