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Exercice 2 Test de Student On consid`ere n variables aléatoires indépendantes de même loi N(µ, σ2) o`u µ ∈ R et σ > 0 sont tous les 2 inconnus On souhaite

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Corrigés des exercices

Note : Il s'agit d'une variante de la loi géométrique (section 4 1 4) Exercice 1 6 Pour T, v a de Student `a 29 degrés de liberté, P(T < 2, 99) = 0, 9972, valeur

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Corrigés des exercices centrale), Lois de probabilités fréquemment utilisées en statistique (Loi normale, du Khi-deux, de Student, de Fisher ) Nous avons

Feuille de TD 3 : Tests statistiques

Exercice 1.La taille moyenne des hommes aux Pays-Bas est de 1,76 metres.

Sur un echantillon , on trouve ^n=1n

P n i=1Xi= 1;78 metres. On veut savoir si sur cet echantillon la taille est "signicativement " plus grande que la moyenne. On fait l'hypothese que les variables aleatoiresX1;:::;Xnsont independantes de m^eme loiN(;2). Ici on suppose queest connu et que =18

1. Pour repondre a la question, quelles sont les hypotheses a tester.

2. On poseYn=pn

(^n0). Donner la loi deYnsousH0et sousH1.

3. Construire le test statistique permettant de repondre a la question

posee.

4. On suppose quen= 30, que peut-on conclure? M^eme question pour

n= 100 etn= 150. Rappel:On rappelle que siXetYsont independantes et de loi normale et si2R, alorsXetX+Ysont aussi de loi normale. On rappelle egalement que siZ N(0;1), alorsP(Z1;65)'0;05.

Exercice 2.Test de Student

On considerenvariables aleatoires independantes de m^eme loiN(;2) ou

2Ret >0 sont tous les 2 inconnus.

On souhaite tester l'hypothese nulle:

H 0:=0 contre les hypotheses alternatives: H 1:6=0 et H

01: > 0:

On pose

^=1n n X i=1X iet^2=1n1n X i=1(Xi^)2:

On admettra ici que

1 A=pn suit une loiN(0;1). B=1 2Pn i=1(Xi^)2suit une loi du chi-deux an1 degres de libertes. AetBsont independantes. La variable aleatoireZ=pn1AB a donc une loi bien denie que l'on appelle loi de Student de parametre (n1). Quandn!+1, la loi de Student (n1) converge en loi vers une gaussienneN(0;1).

1. Montrer que ^et^2sont des estimateurs sans biais deet2.

2. ExprimerZen fonction de ^et^2.

3. Donner le comportement deZquandn!+1sous les hypothesesH0

etH1.

4. Construire les tests statistiques demandes.

5.ApplicationPour etudier l'eet du Serum d'albumine soee a 2 pour

cent (S.A.) sur la respiration des cellules isolees de l'epithelium du rat, on a fait 11 experiences independantes. Cette respiration est mesuree en microlitre d'oxygene par milligramme de proteine. Pour lai-eme experience, on a un resultat de mesure sans S.A. (mesure temoin) note t iet un resultat de mesure avec S.A. notesi.t is ie

i=siti3:35:071:773:375:061:693:175:091:925:297:181:795:897:371:482:523:561:042:373:421:054:627:32:684:316:52:193:855:241:393:555:461:91Pour lesei, on trouve ^e11'1;72 et^2'0;23. On donne le quantile

d'ordre 0,95 pour la loi de Student (10): 1,812.

Peut-on conclure que leS:Aa une in

uence positive sur la respiration? 2quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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