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Ministère de

l'enseignement supérieur et de la recherche

Secrétariat Général

Direction générale des ressources humaines

CAPES

MATHÉMATIQUES

Concours interne et CAERPC

Rapport du jury

Présidente : Michèle Chevalier-Coyot

Inspectrice générale de l'Éducation Nationale 2007

CENTRE NATIONAL DE DOCUMENTATION PÉDAGOGIQUE

2

COMMENTAIRES GÉNÉRAUX SUR LA SESSION 2007

1. L'ÉVOLUTION DES EFFECTIFS

1.1. Le CAPES interne

L'effectif des candidats inscrits au CAPES interne a légèrement diminué en 2007 (- 4,3%

par rapport à la précédente session), ce qui représente 76 candidats de moins qu'en 2006 ;

Toutefois le nombre d'inscrits est encore largement supérieur à ce qu'il était pour la session

2005 (+8,4%) et pour les sept précédentes.

Évolution des inscrits au CAPES interne

Année 1998 1999

(1)

2000 2001

(2)

2002 2003 2004 2005 2006 2007

Effectif 608 608 566 660 629 877 1156 1572 1780 1704

Variation

/ année précédente -19,8% +6,3% -12,4% +16,0% -4,7% +39,4% +31,8% +36% +13,2% - 4,3% (1) Suppression du CAPES spécifique (2) Création de l'examen professionnel dans le cadre de la résorption de l'emploi précaire

Répartition des candidats du CAPES interne de mathématiques (session 2007) selon les métiers

Profession Inscrits Présents Déclarés

admissibles Admis Personnel administratif et technique MEN 10 6 0 0

Enseignant supérieur 12 7 4 2

Militaire 8 3 1 0

Pers enseignant titulaire fonction publique 7 5 0 0 Enseignant non tit établissement scolaire étranger 11 8 3 3

Pers fonction publique 63 33 17 4

Pers fonction territoriale 6 5 2 1

PEPS 1 1 0 0

Certifié, agrégé 51 32 3 2

CPE 1 1 0 0

Adjoint d'enseignement 6 5 2 1

Stagiaire en situation 2nd degré 3 2 1 0

PLP 100 74 32 14

Instituteur 4 3 0 0

Professeurs des écoles 165 112 24 11

Stagiaire en situation PE 1 1 0 0

Vacataire 2

nd degré 161 124 40 14 Autre vacataire (CFA, formation continue) 7 5 2 2

Vacataire enseignement supérieur 9 6 2 0

Maître auxiliaire 75 55 12 1

Professeur associé 2nd degré 1 0 0 0

Contractuel 2

nd degré 689 549 173 88 Autres contractuels (MGI, CFA, form continue, ..) 30 21 6 3

Maître d'internat 27 20 9 2

Assistant d'éducation 156 114 40 10

Surveillant d'externat 67 52 17 4

Contractuel enseignement supérieur 33 23 9 2

TOTAL 1704 1267 399 164

3La catégorie de candidats la plus importante est toujours celle des enseignants contractuels du

second degré, mais dont la proportion continue néanmoins à diminuer : 40,4 % des inscrits en

2007 contre 41,2% en 2006, 45,7% en 2005 et 46,9% en 2004.

Les enseignants titulaires des premier et second degrés (certifiés, agrégés, PLP, adjoints

d'enseignement, stagiaires en situation, professeurs des écoles et instituteurs) constituent la

deuxième force en terme d'effectif de candidats, soit 330 : ils représentent 19,4% des inscrits,

ce qui est légèrement supérieur au pourcentage enregistré en 2006 (19,1% en 2006). Comme

en 2006, aucun PEGC ne s'est présenté cette année, quant aux PLP, ils représentent 5,9% des

inscrits, contre 6,2% en 2006 et 4,9% en 2005. Notons que l'attrait du concours chez les professeurs des écoles, amorcé depuis quelques années, semble se confirmer, leur proportion parmi les inscrits a un peu augmenté par rapport à 2006 : 9,7% cette année contre 9,2% en

2006, 8,8% en 2005, 11,9% en 2004 et 12,5% en 2003.

Les vacataires continuent à constituer un contingent important de candidats : on en compte

187 (10,9% des inscrits) toute catégorie confondue, ils représentait 12,3% des inscrits en

2006 et 9,4% en 2005. Le pourcentage de maîtres auxiliaires se stabilise ces dernières années

aux environs de 4% : 4,4% en 2007, un peu moins de 4% en 2006 et 4,3% en 2005. Les maîtres d'internat et surveillants d'externat (MI-SE) représentent 5,5% des candidats soit

94 personnes, leur proportion parmi les inscrits est en baisse régulière ces dernières années :

9,3% en 2006 et 10,6% en 2005. A contrario, le contingent des assistants d'éducation est

sensiblement plus important cette année : 9,1% des inscrits en 2007 contre 3,9% en 2006 et

2,7% en 2005, les deux phénomènes ne sont sans doute pas indépendants l'un de l'autre.

Le pourcentage de présents par rapport au nombre d'inscrits est de 74,4%, il est inférieur à

celui de 2006 (76,9%) mais supérieur à celui de 2005 (71,8%). En 2004 il s'élevait à 82,79%.

S'agissant des admis, le taux global de réussite est de prés de 13% des présents contre 10,7%

en 2006 et 14,6% en 2005. On retrouve en 2007 un nombre de postes très voisin de celui de

2005, pour un nombre de présents supérieur (1267 en 2007 contre 11 30 en 2005), les chiffres

ne sont donc pas surprenants. Parmi les populations les plus importantes de candidats : contractuels du second degré, enseignants titulaires des premier et second degrés, assistants

d'éducation, vacataires du second degré, la réussite est la meilleure pour les contractuels, elle

est de 16,03% des présents (contre 10,4% en 2006 et 19,1% en 2005). S'agissant des vacataires, dont la réussite était la meilleure en 2006, elle atteint seulement 11,29% cette

année, ce qui représente une baisse sensible par rapport à 2006 et 2005 (19,2% des présents

en 2006 et 18,1% en 2005). Le taux de réussite est de 12,28% pour les enseignants titulaires des second et premier degrés, il est en augmentation sensible par rapport aux deux années précédentes (4,9% en 2006 et 7,7% en 2005). En revanche, les assistants d'éducation, beaucoup plus nombreux à se présenter au concours cette année, obtiennent un pourcentage de réussite de 8,77%, inférieur au pourcentage de réussite de l'ensemble des candidats

présents, ce qui n'était pas le cas à la session 2006 (13% d'admis parmi les présents en 2006).

Le CAPES interne confirme bien sa vocation de voie de titularisation pour les personnels contractuels ou vacataires du second degré (49,9% des candidats), avec, comme en 2006, une réussite supérieure au pourcentage global : 15,16%. Il apparaît également comme une

voie d'évolution de carrière pour certains enseignants titulaires, en particulier, les professeurs

des écoles, les instituteurs et les PLP qui représentent en tout plus de 15% des inscrits. Ils obtiennent cette année un taux de réussite qui est même un peu supérieur à celui de l'ensemble des candidats (13,23%).

41.2. Le CAERPC

Evolution des inscrits au CAERPC

Année 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Effectif 624 617 519 578 551 525 495 520 568 615

Variation

/ année précédente + 0,5% +17,7% -15,9% +11,4% -4,8% -4,7% -5,7% + 5,1% + 9,2% + 8,3% Pour ce concours, l'effectif des inscrits est encore en augmentation cette année (+ 8,3% par rapport à la session 2006), ce qui correspond à 47 candidats de plus ; on retrouve un chiffre peu éloigné de celui de 1999.

Origine des candidats au CAERPC (session 2007)

Catégorie Inscrits Présents Déclarés

admissibles Admis Contractuel et agréé titulaire 58 41 13 3 Contractuel et agrée auxiliaire 296 246 114 83

Maître délégué 261 227 104 78

Total 615 514 231 164

La proportion d'auxiliaires parmi les inscrits progresse régulièrement, elle atteint cette année

48,1%, elle était de 46,5% en 2006, 43,8% en 2005, 43,2% en 2004 et 38,5% en 2003. Celle

des maîtres délégués est relativement stable : 42,4% en 2007 contre 43,1% en 2006 et 2005 et

40,2% en 2004). Corrélativement, la proportion de titulaires a encore baissé : 9,4% en 2007

contre 10,4% en 2006, 13,1% en 2005 et 16,6% en 2004. Comme en 2006, le pourcentage de présents par rapport au nombre d'inscrits est de 83,6%, il

était de 81% en 2005 et 88,7% en 2004. Cette année, comme les années précédentes, il est

supérieur à celui enregistré pour le CAPES.

Taux de réussite au CAERPC selon le statut (

candidats présents)

Catégorie 2003 2004 2005 2006 2007

Contractuel et agréé titulaire 21,3 % 23,8 % 26,66% 11,4% 7,32% Contractuel et agréé auxiliaire 44,7 % 42,6 % 54,26% 38,5% 33,74% Maître délégué 44,3 % 43,6 % 44,15% 41,3% 34,36%

Ensemble 41,4 % 40,3 % 46,79% 37,3% 31,91%

Le taux de réussite globale en 2007 est encore inférieur à celui enregistré en 2006, et c'est le

plus bas depuis cinq ans. A noter que le décalage persiste entre les résultats obtenus par les

titulaires et ceux obtenus par les auxiliaires, au bénéfice de ces derniers.

52. LES MODALITÉS DU CONCOURS

Pour le CAPES interne comme pour le CAERPC de mathématiques, elles consistent en une

épreuve écrite d'admissibilité d'une durée de cinq heures (coefficient 1) et, pour les candidats

admissibles, en une épreuve orale d'admission d'une durée maximale de soixante-quinze minutes (coefficient 2). L'épreuve orale est constituée d'un exposé de trente minutes maximum suivi d'un entretien de quarante-cinq minutes maximum. Les modalités du

concours sont définies par l'arrêté du 2 mars 2000, publié au BOEN n° 15 du 20 avril 2000.

Le programme est constitué des programmes des collèges et des lycées d'enseignement général et technologique en vigueur au 1 er janvier de l'année du concours. Les commentaires de ce programme stipulent que " les candidats doivent pouvoir situer les contenus des programmes de l'enseignement secondaire dans une perspective historique, à partir de l'apport de quelques grands mathématiciens », et qu'ils " doivent pouvoir décrire et argumenter sur la manière dont l'enseignement des mathématiques s'inscrit dans la globalité

des enseignements : articulation avec les autres disciplines, maîtrise de la langue, éducation à

la citoyenneté, etc ». Ils précisent également certains modules des sections de techniciens

supérieurs qui doivent être connus.

3. POSTES, ADMISSIBILITÉ, ADMISSION

CAPES interne CAERPC

Postes 164 190

Inscrits 1704 615

Présents à l'écrit 1267 514

Barre d'admissibilité 10,44 7,92

Admissibles 399 231

Présents à l'oral* 367 223

Barre d'admission 12,19 8,99

Admis 164 164

* Ne sont pas pris en compte dans cette rubrique les candidats ayant abandonné en cours d'oral. Pour le CAPES comme pour le CAER, la barre d'admissibilité de 2007 est inférieure à celle de 2006 (11,3 pour le CAPES et 7,95 pour le CAER en 2006), cela n'est sûrement pas

étranger au fait que plus de la moitié des candidats n'a pas abordé la géométrie. La barre

d'admission du CAPES est légèrement inférieure à celle de 2006 (12,3 en 2006) mais supérieure à celle de 2005 (11,86 en 2005) pour un nombre de poste très comparable. La barre d'admission du CAER reste quasiment identique à celle des deux dernières années (9 en 2006 et 2005).

4. L'ÉPREUVE ÉCRITE

Remarque générale :

De façon systématique, le sujet proposé est trop long pour être résolu et rédigé entièrement

dans le temps imparti, et le jury n'attend pas des candidats qu'ils le traitent en entier. En fait, il est conçu pour offrir un certain choix aux candidats et leur permettre de s'investir dans des domaines où ils se sentent plus compétents. Il faut souligner qu'une démarche clairement et

rigoureusement exposée par le candidat est un élément valorisé par les correcteurs, et que

l'épreuve doit également être pour lui l'occasion de montrer qu'il est à même de gérer son

temps de façon optimale.

64.1 . La composition écrite

____________ _____________________________

SESSION DE 2007

concours interne de recrutement de professeurs certifiés et concours d'accès à l'échelle de rémunération ________________________________________ section : mathématiques

Composition de mathématiques

Durée : 5 heures

Calculatrice électronique de poche - y compris calculatrice programmable, alphanumérique ou à écran

graphique - à fonctionnement autonome, non imprimante, autorisée conformément à la circulaire n° 99-186 du

16 novembre 1999.

L'usage de tout document et de tout autre matériel électronique est rigoureusement interdit.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements et des représentations graphiques

interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Les deux problèmes proposés sont indépendants ; ils peuvent être traités dans un ordre quelconque.

Dans le cas où un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale très lisiblement dans sa copie,

propose la correction et poursuit l'épreuve en conséquence.

N.B : Hormis l'en-tête détachable, la copie que vous rendrez ne devra, conformément au principe d'anonymat, comporter aucun signe

distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui est demandé comporte notamment la rédaction d'un projet ou d'une note,

vous devez impérativement vous abstenir de signer ou de l'identifier. 7

Problème 1

Le but de ce problème est l'étude de quelques spécificités des fonctions numériques c et s de

la variable réelle x définies sur IR respectivement par : c (x) = 2 xx ee et s (x) = 2 xx ee Les trois parties de ce problème peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

Partie I

Majorations, minorations, encadrements

1. Calculer c (0) et s (0) ; donner une valeur approchée de c (1) et de s (1) à 10

2 près.

2. Démontrer que la fonction c est paire et que la fonction s est impaire.

3.

3.1. Justifier que, pour tout réel x, on a :

[c (x)] 2 [s (x)] 2 = 1 ; c (x) > 1.

3.2. Vérifier que, pour tout réel x positif, on a :

0 < s (x) < c (x). 4.

4.1. Justifier que les fonctions c et s sont dérivables sur IR ; déterminer les fonctions

dérivées correspondantes.

4.2. Dresser le tableau de variation de chacune des fonctions c et s.

4.3. Tracer les courbes représentatives des fonctions c et s dans un même repère

orthonormal du plan d'unité graphique 1cm. 5.

5.1. Démontrer que, pour tout réel x positif, on a :

x < s (x).

5.2. En déduire les inégalités suivantes pour tout réel x positif :

1 + 2 2 x < c (x) ; x + 6 3 x < s (x). 86.

6.1. Démontrer que, pour tout réel x compris entre 0 et 1, on a :

s (x) < 2 x ; c (x) < 1 + x 2

6.2. En déduire les inégalités suivantes pour tout réel x compris entre 0 et 1 :

s (x) < x + 3 3 x ; c (x) < 1 + 2 2 x + 12 4 x.

6.3. Justifier que, pour tout réel x compris entre 0 et 1, on a :

0 < c (x) (1 + 2 2 x) < 121.

Qu'en est-il pour

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