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Exercice II. Ondes acoustiques

A. Propagation

On considère une perturbation acoustique se propageant dans un fluide élastique selon l"axedesxetdanslesensdesxcroissants.Onnote (x;t)ledéplacementd"unpointdufluide à un instanttpar rapport à sa positionxau repos,v(x;t)=@ =@tla vitesse vibrationnelle, P(x;t) la pression,p(x;t) la surpression par rapport à la pression au reposP0et0la masse volumique au repos. Les quantitésP0et0sont des constantes. On se placera dans le

référentiel du fluide au repos, supposé galiléen, et on négligera le poids du fluide et les

frottements.

1. En considérant les forces appliquées à un petit élément de volume se situant au repos

entre les plans d"abscissexetx+dxet de surfaceSsur ces plans, montrer que, au premier ordre,

0@v@t=@p@x:(1)

On admettra que dv=dt@v=@t.

2. On a

p(x;t)=1 @ @x;(2) oùest une constante strictement positive appelée "coecient de compressibilité». Déduire des équations (1) et (2) l"équation d"onde à laquelle (x;t),v(x;t) etp(x;t) obéissent. Déterminer la céléritécde l"onde.

3. Rappelerl"expressiondelasolutiongénéraledel"équationd"ondeobtenueàlaquestion

précédente pour (x;t). Préciser le sens de propagation de chacun des termes de cette solution générale.

4. On considère une onde ne se déplaçant que selon lesxcroissants.

(a) Montrer que p(x;t)=Zv(x;t);(3) oùZest une constante (appelée "impédance caractéristique» du milieu) dont on donnera l"expression en fonction de0etc. (b) L"ondetraverseenunpointd"abscissexunesurface infinitésimale dSdont le vecteur normal~nfait un angleavec la direction de propagation (schéma ci-contre). Calculer la puissance dw(x;t) reçue à un instanttpar le milieu en aval de dSen fonction de la pression totaleP(x;t), dev(x;t),et dS.dS x ?n θOn définit l"intensité acoustique enxparI(x)=hdw(x;t)i=dS, oùhXireprésente la moyenne temporelle d"une quantitéX. Montrer que

I(x)=h(p[x;t])2iZ

cos:(4)

B. Onde monochromatique

On considère désormais une onde acoustique se propageant dans un milieuE1d"impé- 3 en un pointMde coordonnées (x;y;z) dans un repère orthonormé direct (O;~ux;~uy;~uz) vaut p

1(M;t)=A1ei(!t~k1!OM);(5)

oùA1,!et~k1sont des constantes,A1est un nombre complexe et!et les composantes de~k1 sont des réels. Attention :A1est l"amplitude de lasurpression, pas du déplacement.

1. Quelle est la nature de l"onde décrite par l"équation (5)? Comment s"appellent les

quantités!et~k1? Quelle relation a-t-on entrec1,!et la normek1de~k1?

2. En utilisant l"équation (4), exprimer l"intensitéI1de l"onde traversant une surface dS

dont la normale fait un angle1avec la direction de propagation en fonction deA1,1 etZ1. C. Réflexion et transmission sous incidence oblique Le milieuE1est séparé du milieuE2par une interface de masse négligeable située en z=0 (voir schéma). En arrivant à cette interface, l"onde introduite au B (appelée "onde

incidente» ci-après) donne naissance à deux autres ondes : une onde réfléchie se propageant

dansE1et une onde transmise pénétrant dansE2.z=0 ?ux ?uzOndeincidente ?k1

θ1Onderéfléchie?k?1

θ?1

Onde transmise ?k2

θ2E

1 E

21. La réflexion et la transmission obéissent aux deux conditions suivantes à l"interface :

- continuité de la pression : en tout point au voisinage de l"interface;p(z=0+)=p(z=0);(6) où l"on a posép(z=0+)=limz!0;z>0p(x;y;z;t) etp(z=0)=limz!0;z<0p(x;y;z;t) pour alléger les notations; - continuité de la composante normale à l"interface de la vitesse des milieux : en tout point au voisinage de l"interface;vz(z=0+)=vz(z=0) (7) (même convention de notation).

Justifier brièvement ces conditions.

2. En représentation complexe, la surpression due à l"onde réfléchie vaut

p 0

1(M;t)=A0

1ei(!t~k0

1!OM)(8)

et celle due à l"onde transmise vaut p

2(M;t)=A2ei(!t~k2!OM);(9)

où les quantitésA0

1etA2sont des constantes complexes et les composantes de~k0

1et~k2

sont des réels constants. Les directions de propagation des ondes incidente, réfléchie et transmise sont dans le plan ( ~ux;~uz).

Quellerelationa-t-onentrek~k0

1ketk1?Écrirelesvecteurs~k1,~k0

1et~k2danslabase(~ux;~uy;~uz)

en fonction dek1, de la normek2de~k2et des angles (non orientés)1=(+~uz;~k1), 0

1=(+~uz;~k0

1) et2=(~uz;~k2).

3. En utilisant l"équation (6), établir des relations entre

-A1,A0

1etA2;

-1et0 1; -1,2,c1et la céléritéc2des ondes dansE2.

4. À quelle condition surc1etc2y a-t-il toujours une onde transmise, quelle que soit

la valeur de1? Si cette condition n"est pas remplie, donner en fonction dec1etc2

l"intervalle des valeurs de1à l"intérieur duquel il y a réflexion totale (c"est-à-dire pas

d"onde transmise). Application numérique. Le milieuE1est l"air et le milieuE2l"eau. On ac1=340ms1et c

2=1500ms1. Calculer numériquement les bornes de l"intervalle défini ci-dessus.

5. Soientv1,v0

1etv2les vitesses vibrationnelles des milieux (comptées positivement dans

le sens de propagation de l"onde correspondante, par définition) dues aux ondes inci- dente, réfléchie et transmise. Exprimer les composantes (v1)z, (v0

1)zet (v2)zselonzde ces

vitesses en fonction dev1,v0

1,v2,1et2.

En appliquant la relation (3) à chacune des ondes incidente, réfléchie et transmise et en utilisant l"équation (7), déterminer les coecients de réflexion et de transmission en amplitude de la surpression,r=A0

1=A1et=A2=A1, en fonction de1,2et des

impédances caractéristiquesZ1etZ2des milieuxE1etE2. Montrer en particulier que r=Z2cos1Z1cos2Z

1cos2+Z2cos1:

6. En utilisant le résultat de la question B.2, calculer l"intensitéI1de l"onde incidente

frappant l"interface. Calculer de même les intensitésI0

1etI2de l"onde réfléchie par

l"interface et de l"onde transmise à travers celle-ci. On exprimera ces intensités en fonction deA1,A0

1,A2,1,2,Z1etZ2.

En déduire les coecients de réflexion et de transmission en intensité,R=I0

1=I1et

T=I2=I1, en fonction der,,1,2,Z1etZ2. L"énergie est-elle conservée?

7. Montrer que l"onde réfléchie disparaît pour un angle d"incidenceBque l"on précisera

en fonction de2=1etc1=c2. Application numérique. Les milieux sont les mêmes qu"à la question C.4. On a1=

1;25kgm3et2=1000kgm3. CalculerB. Qu"en concluez-vous?

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