Exercice 1: Automates de recherche de motifs Exercice 2: Parcours en profondeur de graphes Exercice 4: Variantes plus court chemin à origine unique
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Master BioInformatiqueAnnée :2011/2012Session de avril 2012
PARCOURS :Master 1
UE J1BS8203 :Méthodes et outils pour la biologie des systèmesÉpreuve :Examen
Date :Mardi 10 avril 2012
Heure :10 heures
Durée :2 heures
Documents : autorisés
Épreuve de M. AlainGriffaultSUJET + CORRIGE
Avertissement
La plupart des questions son tindé-
pendantes.L"espace laissé p ourles rép onsesest
suffisant (sauf si vous utilisez ces feuilles comme brouillon, ce qui est fortement déconseillé).QuestionPointsScoreAutomates de recherche de motifs4
Parcours en profondeur de graphes4
Graphes pondérés4
Variantes plus court chemin à origine unique8
Total:20
Exercice 1: Automates de recherche de motifs (4 points) (a) (2 p oints)P ourles mots sur l"alphab et =fa;bg, dessinez l"automate de recherche du motifaabab.Solution:012345ab
a bba abb ab aFigure1 - Recherche deaabab(b)(2 p oints)On dit d"un motif Pqu"il estnon recouvrablesi(PkwPq))(k= 0^k=q), c"est à dire
que si leskpremières lettres du motif forment un suffixe desqpremières lettres de ce même motif,
alors soitk= 0, soitk=q. Donnez la particularité de l"automate d"un motif non recouvrable.Solution:Toutes les arcsretourreviennent à l"état initial.Exercice 2: Parcours en profondeur de graphes (4 points)
Donnez un graphe orienté G tel qu"il existe deux sommetsuetvvérifiant : -u;v -u:debut < v:debut -vn"est pas un descendant deudans la foret en profondeur obtenue lors du parcours en profondeur.Solution:suv
Figure2 - Parcours en profondeur dans l"ordre(s;u;v) UE J1BS8203 : Méthodes et outils pour la biologie des systèmes Session 1, Année 2011/2012Exercice 3: Graphes pondérés (4 points)
Vous admettrez la propriété suivante :
Propriété 1SoitG(S;A;w)un graphe non orienté pondéré avecw:A!N. SoientTAetT0Adeuxarbres couvrants de poids minimal. SoientLT= (a0;:::;an)etLT0= (a00;:::;a0n)les listes triées par poids
croissant des arêtes deTetT0. Alors :8i2[0::n];w(ai) =w(a0i). Informellement, la liste ordonnée des poids
des arêtes constituant un arbre couvrant est unique.SoitG(S;A;w)un graphe non orienté pondéré. Montrer que pour chaque arbre couvrant de poids minimal
TdeG, il existe un moyen pour que l"algorithme de Kruskal retourne comme résultatT. Solution:SoitG(S;A;w)un graphe non orienté pondéré avecw:A!N. SoitTAun arbrecouvrant de poids minimal. SoitLT= (a0;:::;an)la liste triée par poids croissant des arêtes deT.
SoitLATla liste triée par poids croissant des arêtes deAT. SoitLla liste triée par poids croissant des arêtes deTobtenue par fusion des listesLTetLAT, en donnant priorité aux éléments deLTen cas d"égalité.Il suffit d"appliquer l"algorithme de Kruskal en utilisant la liste triéeL.Exercice 4: Variantes plus court chemin à origine unique (8 points)
L"algorithme de Dijkstra
I n i t i a l i s a t i o n (G, s ){ // G(S,A,w) oriente pour u dans S faire { u . dI n i t i a l i s a t i o n (G, s );
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UE J1BS8203 : Méthodes et outils pour la biologie des systèmes Session 1, Année 2011/2012SoitG(S;A;w)un graphe orienté pondéréacyclique. Il est alors possible d"améliorer l"algorithme de Dijkstra
pour calculer une arborescence des plus courts chemins. Dijkstraacyclique (G){ // G(S,A,w) oriente acyclique LRelacher (u , v ,w);
(a) (2 p oints)Donnez le résultat ( u.detu.perepour chaque sommet) de l"algorithmeDijkstra-acyclique sur le graphe suivant.0123455 3267 4 212
2 Figure3 - Un graphe orienté pondéré acycliquesommet012345 u.d0531075 u.perenil00222 (b) (2 p oints)Donnez la complexité de l"algorithme Dijkstra-acyclique.
Solution:
La complexité du tri top ologiqueest (jSj+jAj)(vu en cours). La complexité de l"initialisation est (jSj)(une boucle pour).Le nom brede passage dans le tant queestjSj.
Le nom brede passage dans la b ouclein ternepourestjAj.La complexité totale est donc :(jSj+jAj).Une variante de cet algorithme est utilisable pour calculer les chemins critiques dans un grapheG(S;A;w)
lorsque : Les arcs représen tentles tâc hesà faire. Les p ondérationsrep résententle temps nécessaire p oureffectuer la tâc he.les arcs a1= (u;v)eta2= (v;w)représentent deux tâches qui doivent être effectuées dans l"ordrea1;a2.
Unchemin critiqueest unplus longchemin dans le graphe, qui correspond au temps maximum requis poureffectuer une séquence ordonnée de tâches. Le poids d"un chemin critique est une borne inférieure du temps
total nécessaire à l"exécution de toutes les tâches. (c)(2 p oints)A daptezles algorithmes préc édentsp ourcalculer les c heminscritiques d"un graphe orien té
pondéré acyclique.Solution:Deux solutions :
1.Les distance sson tinitialisée sà 1,
InitialisationCheminCritique (G, s ){ // G(S,A,w) oriente pour u dans S faire { u . d < MAXINT; //i n f i n i u . pere7 4 212
2 Figure4 - Un graphe orienté pondéré acycliquesommet012345 u.d057141517 u.perenil01234