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MP - Physique-chimie. Travaux dirigés

Jean Le Hir, 9 décembre 2007 Page 1 sur 3

Onde électromagnétique dans le vide - corrigé On considère un champ électrique d"une onde électromagnétique de la forme suivante : 0 0 0 cos cos sin cosy

E E t kza

yE t kzap = w - p a w - +j

1- À partir de l"équation de Maxwell-Gauss et de l"équation de propagation du champ, déterminer

a, j et k en fonction de w, a et de la vitesse 0c de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide. Équation de Maxwell-Gauss : { }div 0, , , ,yxzEEEE x y z tx y z ( ) ( )0div sin cos sinyE E t kz k t kza ap p( )= - w - - a w - +j( )( )

En posant

u t kz= w -, la condition nécessaire div 0E=??? s"écrit donc ( )cos sinu k uap= a +j

Deux fonctions harmoniques de la même variable ne peuvent égale quel que soit u que si elles ont

même amplitude et même phase, soit : ka pa = et 2 pj =-. Le champ électrique s"écrit donc : 0 0 0 cos cos sin siny

E E t kza

y

E t kzka ap

= w - p p w -???

Remarque : Les valeurs ka

pa =- et 2 pj =+ correspondent à la même solution.

L"équation de propagation s"écrit : { }

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

0 1 , , ,0 10 x y y y y y z z z z zE

E E E E

x y z t Ex y z c t

E E E E

Ex y z c t?

Chacune des deux équations d"Alembertiennes donne la même condition :

2 2 2 222

2 2 2 2

0 0

0 , , ,y yE k E x y z t ka c c a

( )p w w p= - - + = "?= +( )( )?

2 2 2 222

2 2 2 2

0 0

0 , , ,z zE k E x y z t ka c c a

( )p w w p= - - + = "?= +( )( )? LYCÉE DE KERICHEN MP-Physique-chimie Travaux dirigés JLH 09/12/2007 Page 2 sur 3

Cette relation

2 22 2 2002

ck ca pw = + s"appelle " relation de dispersion ». Elle impose une condition absolue sur la pulsation w, il existe une pulsation de coupure cw. En posant c 0c aw = p , cette condition s"écrit : cw> w.

2- À partir de l"équation de Maxwell-Faraday, déterminer le champ magnétique B??? associé à ce champ

électrique dans cette onde électromagnétique et vérifier que ce champ satisfait bien aux autres

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