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G.P.DNSSeptembre 2009
DNS SujetCalculs de base en ondes électromagnétiques......................................................................................1
A.Une onde.................................................................................................................................1
B.Réflexion sur un conducteur parfait........................................................................................1
1)Métal parfait en z=0.......................................................................................................1
2)Métal parfait en z=L.......................................................................................................2
C.Réflexion et transmission........................................................................................................2
Calculs de base en ondes
électromagnétiques
Toutes les ondes envisagées sont polarisées selonux.A.Une onde
Une onde électromagnétique sinusoïdale transversale se propage, dans le vide, dans le sens croissant de l'axe desz,Ez,t=E0expjt-k0zavecE0=E0exp-j0ux. On
suppose connus: E0,0,,c.1.Quelle est la phase retardMde l'onde en un point
Mde cotez?
2.Retrouver l'expression de
k00en fonction de.3.Retrouver l'expression deBz,t.
B.Réflexion sur un conducteur parfait
A une cotez, perpendiculairement à l'axe
z, on a placé un plan infiniment conducteur. Onindique que le champ électrique dans le vide (continuité de la composante tangentielle du champ
électrique) doit s'annuler au niveau du plan infiniment conducteur. Il y a alors création d'une onde
réfléchie. L'onde incidente est E0expjt-k0z(voir ci-dessus).1)Métal parfait en z=0
On suppose que le plan se trouve enz=0. On cherche la solution en complexes sous la forme:Ez,t=E0expjt-k0zE'0expjtk0z( avec
z0).4.Déterminer
E'0en utilisant la condition aux limites.5.En déduire le déphasage retard
='M-Mde l'onde réfléchie par rapport à l'onde
incidente en un point Mde cotez. Commenter les deux termes du résultat.6.Quel est la valeur du coefficient de réflexion en amplitude
rEpour le champEdéfini comme 1/10G.P.DNSSeptembre 2009
rE=EréfléchiEincidentauniveauduplan
7.Donner l'expression du champ magnétique de l'onde réfléchie. Déterminer la valeur du coefficient
de réflexionrBpour le champB.8.Donner l'expression simplifiée au maximum deEz,tet celle deBz,t. Ces expressions
doivent faire intervenir cosk0zousink0z. Donner aussi les expressions réelles des deux champs. Quel est le déphasage deBz,tpar rapport àEz,t.9.Donner le position des plans nodaux de
E(plans pour lesquelsE=0).2)Métal parfait en z=L
On reprend la même étude mais en supposant cette fois que le plan se trouve non pas enz=0 mais en z=L. On cherche toujours la solution en complexes sous la forme:Ez,t=E0expjt-k0zE'0expjtk0z( aveczL).
10.DéterminerE'0.
11.En déduire le déphasage retard
12.Déterminer
rEetrB.13.Donner les expressions simplifiées au maximum de
Ez,tetBz,t.Ces expressions doivent faire intervenir14.Déterminer en partant deEz,tla position des plans nodaux deE.
C.Réflexion et transmission
On envisage cette fois le cas de l'onde
E0expjt-k0zarrivant sur un diélectrique (exemple: verre) occupant l'espacez0d'indice nconnu. Dans ce cas, il apparaît une onde réfléchie dansle videE'0expjtk0zet une onde transmise dans le diélectriqueE''0expjt-nk0z.
15.En utilisant l'équation de Maxwell-Faraday, écrire le champ magnétique
B''dans le diélectrique connaissant le champ électriqueE''.Le champs électrique tangentiel et le champ magnétique doivent être continus à l'interface en
z=0.On suppose connus:E0,,c,n.16.En écrivant ces relations de continuité, on obtient deux relations entrerEettE(coefficients
de réflexion et de transmission en amplitude pour E). DéterminerrEettE. Déterminer aussi rBettB.17.En se rappelant que l'amplitude d'un nombre complexezs'obtient plus simplement en faisant
∣z∣=zz∗oùz∗désigne le complexe conjugué, déterminer l'amplitudeA(réel positif)
du champ Edans le vide en fonction dez.