[PDF] [PDF] Systèmes logiques 1 - Institut Supérieur des Etudes Technologiques

(6)10= (110)2( 12)10= (1100)2BasedécimaleBasebinaireBaseoctaleBasehexadécimale11112102231133410044510155611066711177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117FExercice :(125)10= (? )3Solution:(125)10= (22102)3Soient BIet BIIdeux bases :Pour convertir un nombre de la base BIvers la base BIIon peut procéder comme suit :Convertir le nombre deBIvers B10(base décimale)Méthode : formule généraleConvertir le résultat obtenu de la base décimale B10vers BIIMéthode : division successive parBII

Chapitre 1: Les systèmes de numération

Soit (N) = (rprp-1...... r1r0)2tel que 0rjlObjectif :Trouver011........qqtel que 0αi7 pour 0iqEt (rprp-1...... r1r0)2= (011........qq)8Méthode :8 = 23=> Regrouper par groupe de3 lesrià commencer à partir de r0Convertir le groupement (rj+2rj+1rj)->La base 8Le premier groupement sera α0Exemple:(101011)2=(5 3)8(regroupement de 3 bits)(011)2= (3)10= (3)8(101)2= (5)8Soit (rprp-1...... r1ro)8tel que 0rj7 pour 0jpObjectif :Trouver011........qqtel que 0αj7 pour 0iqEt (rprp-1...... r1ro)8= (011........qq)2Méthode :C'est l'inverse de la précédente :Pour chaque j, 0jq; Convertir rjversLa base 2 sur 3bitsExemple :(010001)2=(21)8Soit N =(rprp-1...... r1r0)2tel que 0rj1 pour 0jpObjectif :Trouver011........pptel que 0αiF pour 0ipEt (rprp-1...... r1r0)2= (011........pp)16Méthode :16 = 24=>Regrouper les rien groupe de 4 à commencer par ro

Chapitre 1: Les systèmes de numération

Exemple :(00111101)2 = (3D)16(regroupement de 4 bits)(0000010011100101)2= (04E5)16(regroupement de 4 bits)Soit (rprp-1...... r1r0)16Objectif :Trouver011........qqtel que 0αiF pour 0iqEt (rprp-1...... r1r0)16= (011........qq)2Méthode ;C'est l'inverse de la précédente :Convertir chaque 0rjF pour 0jpversLa base 2 sur4 bits(rprp-i...... rir0)16Convertir vers B2sur 4 bitsExemple :ConvertirversB2(FA)16= (11111010)2Méthode :Soit NB16(N)16-> (N')2(conversion de chaque chiffre sur 4 bits )(N')2-> (N")8(Regroupement par 3 bitsExemple :(FA)16= (11111010)2= (372)8Les opérations arithmétiques s"effectuent en basequelconque b avec les mêmes méthodesqu"en base 10. Une retenue ou un report apparait lorsque l"on atteint ou dépasse la valeur bde la base.Exemple1:additionner les nombres(110010111)2et(1010011)2

Chapitre 1: Les systèmes de numération

Exemple 2:Soustraireles nombres(524)8,(263)8

Exemple 3:Multiplier les nombres(2A)16, (1E)16

Exemple 4:Diviser les nombres(1111010)2,(1011)16

Un entier naturel est un entier positif ou nul, coder cet entier revient à le convertir enbinaire etd'utiliser un nombre des bits suffisant pour le représenter. D'une manièregénérale un codagesurnbits permet de représenter2nnombres naturels dont la valeur estcomprise entre0et2n-1.Exemple: Pour coder des nombres naturels compris entre 0 et 7, il faut utiliser 3 bits car (23=8positions).

Chapitre 1: Les systèmes de numération

Un entier signé est un nombre qui peutêtre positif ou négatif. Il faut le coder de telle façonque l'onpuisse savoir s'il s'agit d'un nombre positif ou négatif, et de plus il faut conserverles règles d'addition(le nombre + son négatif = 0).Pour coder cet entier, on réserve le bit de poidsle plus fort (le bit le plus à gauche) pour lesigne, il prend la valeur0pour le signe positif et1pour le signe négatif. Ce qui impliqueque la plus grandevaleur codée avec n bit est2n-1-1,par contre la plus petite valeur est-2n-1.Le nombre des entierssignés codés sur n bit est égal à2nExemple:si n=4 le nombre le plus grand sera 0111 (7 en base décimale).Le complément vrai ou complément à deux est utilisé pour coder les entierssignés, il suffitdonc de :Coderle nombre en binaire (base 2) comme un entier naturel sur n-1 bits,Complémenter à unchaque bit en l"inversant, c'est-à-dire que l'on remplace les zérospar des 1 et vice-versa)ajouter1 à ce complémentPour vérifier le codage, il suffit d"additionner le nombre et son complément à deux, il fautdonc que le résultat d"addition soitégalà 0.ExempleOn désire coder la valeur-5 sur 8 bits par le complément à deux. Il suffit :D"écrire 5 en binaire sur 8 bits : 00000101De complémenter à 1 : 11111010D"ajouter 1: 11111011La représentation binaire de-5 sur 8 bits est donc 11111011.Le bit de poids fort est 1, on a donc bien un nombre négatifSi on ajoute 5 et-5 (00000101 et 11111011) on obtient 0 (avec une retenue de 1)

Chapitre 1: Les systèmes de numération

Pour pouvoir traiter l'information dans l'ordinateur, il faut que cette dernièresoit codée enbinaire. Pour cela, on trouve plusieurs systèmes de codage en plusdu système binairenaturel déjà vu au début de ce chapitre.Ce code conserve les avantages du système Décimal et du code binaire. Il est utilisépar les machines à calculer.On fait correspondre à chaque caractère du système décimal un mot du code binaire de 4bits, on a alors:Code décimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Code BCD 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001Exemple : conversion décimale BCD(19)10= (00011001)BCDCe système de codage est très important pour la simplification des fonctions logique qu'onverra dans les prochains chapitres. Il se présente comme suit :DécimalCode Gray sur 3 bits000010012011

30104110

511161017100InversionSymétrie

Chapitre 1: Les systèmes de numération

Propriétés de la table de conversion2 codes Gray successifs se diffèrent par l'état d'un seul bit.2 codes Gray symétriques par rapport à un axe de symétrie se diffèrent parl'état d'unseul bitExemple :Deux codes voisines : (3)10= (010)Gray(4)10= (110)GrayDeux codes symétriques : (7)10= (100)Gray(4)10= (110)GrayAutre représentation du code Gray : le tableau de KarnaughLe tableau de karnaugh est un tableau dont les lignes et les colonnes sont codésen code Gray, le numéro décimal de la case d'un tableau a comme équivalenten code Gray celui formé par le code Gray de la ligne suivit du code Gray de lacolonne.Exemple :CDAB00011110000123017654118910111015141312Le code Gray de lacase numéro 6 est 0101d'où (6)10= (0101)GrayLe cade Gray de la case numéro 13 est 1011d'où (13) 10= (1011)GrayRemarque:On retrouve bien les propriétés du code Gray :

Chapitre 1: Les systèmes de numération

Les codes Gray de deux cases symétriques par rapport à un axe desymétrie se diffèrent par l'état d'un seul bit.Exemple : les cases de 7 et 4(7)10= (100)Gray(4)10= (110)GrayDe même les codes Gray de deux cases successives (voisine en lignes) sediffèrent par l'état d'un seul bit.Exemple : les cases 1 et 2(1)10= (001)Gray(2)10= (011)GrayEn plus deux cases voisines en colonnes se diffèrent en code Gray parl'état d'un seul bit.Exemple : les cases 0 et 7(0)10= (000)Gray(7)10= (100)Gray

Chapitre:

-Être capabledecalculer etde simuler des fonctions logiques.-Savoir exprimer une fonction logique d'un système à logique binaire.-Savoir les trois opérations de base de l'algèbre de Boole et leurs différentespropriétés.-Comprendre et appliquer l'ensemble de théorèmes de l'algèbre de Boole.I.DéfinitionII.Fonctions logiquesIII.Les opérations de l"algèbre de BouleIV.Les portes logiques4 heures et demi

Chapitre 2:Algèbre de Boole

" L'algèbre de Boole est un ensemble de variables à deux états de vérités : 1 (vrai) et 0(faux), manipuler par un nombre limité d'opérateurs : et, ou, non. ». Il contient un ensemblede théorèmes mathématiques quiprécisent les fondements théoriques de la logique binaireou booléenne.C'est une expression logique (de valeur 0 ou1)qui combine un ensemble de variablesbooléennes à l'aide des opérateurs logiques ou, et, non.Une fonction logique peut être présentée par :2.2.1Une table de vérité :C"estune table qui décrit toutes les combinaisons des entréeset la valeur de la fonction(sortie) pour chaque entrée.Exemple :xyzF000000100100011110011011110111112.2.2Le tableau de KarnaughII s'agit de dresser un tableau de Karnaugh où les entrées de la fonction sontreprésentées par les numéros des cases et ses sorties par leur contenu.

Chapitre 2:Algèbre de Boole

Exemple l:le tableau de Karnaugh de la fonction précédente est :yzx000111100001011111Exemple2:Table de vérité

Remarque importante :Dans la majorité des cas la sortie d'une fonction est soit 0 ou 1. Mais dans certains cas,pour certaines fonctions, la sortie peut êtreindifférente (elle peut être considérée comme un1 ou un 0)pour une ou plusieurs combinaison d'entrées. On la notedans ce cas par "X".2.2.3Formes Canoniques :C'est une équation qui permet de localiser directement chaque case du tableau de Karnaughcomportant un"1»logique ou un"0»logique. On distingue principalementdeuxformescanoniquesquisont :

Chapitre 2:Algèbre de Boole

Première forme canonique : Somme de Produit:Considérant la table de vérité ou le tableau de Karnaugh de la fonctionlogique. A chaque 1logique de lavariable de sortie,on fait correspondrele produit des nvariables d'entrées.Dans ce produit,chaque variablesera sousforme normalesi elle està 1 et sous formecomplémentéesi elle est à 0. L'expression de la fonction sera la sommedes produitsélémentaires ainsi formés.Remarque:on peut dans la définition d'une fonction logique, donner seulement lescombinaisons des entrées pour lesquelles la fonction sera à 1 logique.Exemple :F= 1 si (a, b,c)= (0,1,1) ou (1,1,1) ou (1,0,0) ou (1,0,1)Si on note n = (abc)10alors F vaut 1 si et seulement si n = 3 ou 7 ou 4 ou 5.On écrit alors f(a,b,c)= (3,4,5,7)Application :Exemple N° 1 :Etablir l'équation logique du systèmeS(a,b,c) = (0,1,2,6,7).Table de vérité :abcS00010011010101101000101011011111L'équation de la fonctionsous la 1èreforme canoniquecbacbacbacbacbaS...........Exemple N° 2 :• Soit la forme canonique d'une fonction logique définie comme suit :f(a,b,c) = 1 si et seulement si (a,b,c){(1,0,1); (0,0,1) ;( 1,1,1) }

Chapitre 2:Algèbre de Boole

Ecrire f sous formealgébriquecbacbacbaf........Deuxième forme canonique: Produit de Somme:Considérant la table de vérité ou le tableau de Karnaugh de la fonctionlogique. A chaque0logique de lavariable desortie,on fait correspondrela somme des nvariablesd'entrées.Dans cette somme,chaque variablesera sousforme normalesi elle est à"0»etsousformecomplimentéesielle est à"1».L'expression de la fonction sera leproduit des sommesélémentaires ainsi formés.Remarque:on peut dans la définition d'une fonction logique, donner seulement lescombinaisons des entrées pour lesquelles la fonction sera à 0 logique.Exemple:pour la même fonction de l'exemple 1, établir l'équation logique du système f(a,b,c) = (0,1,2,6,7).Table de vérité :abcF00010011010101101000101011011111L'équation de cette fonction peut être aussi:. .F a b c a b c a b c Exemple :F(a, b, c) =0SSI(a, b, c) = {6, 3, 5}. .F a b c a b c a b c

Chapitre 2:Algèbre de Boole

Exercice :Transformersous la première forme canonique la fonction suivante:Soit f = a b c + a b + a c + bF = 1 si et seulement si f(a, b, c) = { (1, 0, 1); (1, 1, x); (1, x, l); (x, l, x) }F(a, b,c) = {(1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1); (0, 1, 0); (0; 1; 1)}On peut alors déduire l'équation de f sous forme canonique.3.1.1Définition :L'addition logique applique de fonctionnement de l'opérateur "ou" comme suit :0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1+ 0 = 1; 1 + 1 = 13.1.2Propriétés:Les propriétés de cette opération sont :Commutativité :Soient x et y deux variables booléennes :On a x + y = y + xDémonstration de la commutativité :xyx +yy+ x0000011110111111x + y = y + xAssociativité :Soient x, y et z trois variables booléennes :On a :x + (y + z) = (x + y) + zDémonstration de l'associativité :xyz(z+y)x+(y+z)(x+y)(x+y)+z000000000111010101111

Chapitre 2:Algèbre de Boole

01111111000111101111111011111111111x + (y + z) = (x + y) + zL'invariance :Soit x une variable booléenne :x + x =xDémonstration de l'invariance :xxx+x0001113.2.1Spécification :Elle applique la logique de l'opérateur " ET » avec vrai =1 et faux =03.2.2PropriétésCommutativité:Soient x ,y deux variables Booléennes x.y = yxDémonstration :xyx.yy .x0000010010001111x.y=y.xL'associativité:Soient x, y et z trois variables Booléennesx.(y . z) = (x . y). z

Chapitre 2:Algèbre de Boole

Démonstration :xyzx.y(x.y).zy.z(y.z).x00000000010000010000001100101000000101000011010001111111(x . y)z = x .(y . z)L'invariance:Soitx une variable booléenne :x . x=xDémonstration:xxx . x0001113.3.1La distributivité de "." sur "+"Soient x, y et z trois variablesbooléennesx.(y +z)=x.y+x.zDémonstration :xyzy + zx.( y + z)x.yx .zx.y+x .z0000000000110000010100000111000010000000101110111101110111111111x.(y +z) = x.y + x.z

Chapitre 2:Algèbre de Boole

3.3.2Les identitésremarquablesQuel quesoitx variable Booléenne, on a:•0.xx•1xx•x . 1 = x•x + l = l•x + 0 =x• x . 0 = 0•Absorption: x + x y = xQuel que soitx, y variables Booléennesx (l+y) = x.l = x d'où : x + x y = x•Allégement;yxyxx.Quel que soitx, y variables Booléennesx (1+ y) +xy = x + xy +xy = x + y(x +x) = x + y,d'où : x +xy = x + y•Théorème de Morgan :Quel que soitx, y variables ou expressions Booléennes :yxyx(Transformationd'une somme en produit)yxyx.(Transformationd'un produit en somme)Autrement dit :ygxfygxf.etygxfygxf.Exemple :S=zyyx..= xy .zy.= xy.(y+z) = xy+xyz=xy(l+z)=xyd'où S = x yLes portes logiques sont des circuits électroniques (électrique s ou pneumatique s) quiappliquent les fonctions des opérateurs logiques de base Et, Ou, Non. Ceci avecl'attribution au 0 logique, une tension au voisinage de 0 v et le 1 logique une tension auvoisinage de 5v.

Chapitre 2:Algèbre de Boole

Le tableau suivant présente les symboles des portes logiquesstandardsavec leur table devérité:

Chapitre 2:Algèbre de Boole

Exercice:Les portes logiques NAND et NOR sont appelées universelles, caravec elles seules onpeut réaliser toutes les autres portes logiques.1-A l"aide des portes NAND uniquement réaliser les trois portes logiques de bases:NON, OU, ET2-A l"aide des portes NOR uniquement réaliser les trois portes logiques de bases:NON, OU, ETSolution:1-Construction des portes NON, OU, ET à l"aide de portes NAND

2-Construction des portes NON, OU, ET à l"aide de portesNOR

Chapitre:

-Comprendre le pourquoi de la simplification logique-Savoir simplifier une fonction logique.-Simplifier une fonction à l"aide des propriétésde l"algèbre de Boole-Simplifier une fonction à l"aide du tableau de KarnaughI.ProblématiqueII. Simplification des fonctions logiquesIII. Application4heureset demie

Chapitre 3: Simplification des fonctions logiques

Soit l'équation d'un circuit logiqueS =zyyx..(1)A l'aide des théorèmes de l'algèbre de boule, on peut écrireS =xy.(y +z)S= xy+xyz(2)S = x y(3)

Figure1:Schéma générale d"un système logiqueConclusionLe même système quifournitune sortie S en fonction des valeurs desentrées x, y, zpeutêtre réalisé de trois manières différentes :(1)->a pour coût :• deux portes Et à deux entrées• troisinverseurs• une porte ou(2)->a pour coût :• trois portes ET à deux entrées• une porte ou à deux entrées• un inverseur(3)->a pour coût :• une porte ET à deux entréesD'où la nécessité de simplifier au maximum la fonction logique d'un circuitafin deminimiser son coût.

SyzSystèmeLogiquex

Chapitre 3: Simplification des fonctions logiques

32cbacababcbcaF1

On appelle forme minimale d'une expression logique l'expression sous forme réduite(somme deproduit)qui comporte :• Le nombre minimal de terme.• Le nombre minimal de variable dans chaque terme.On dispose de plusieurs outils de simplification de fonction logique dont on va citer lesplus importants.Dans cette première méthode, on se base essentiellement sur les théorèmes de l'algèbre deBoole pour simplifier les expressions logiques.Malheureusement, il n'est pas toujours facile de savoir quel théorème faut-il évoquer pourobtenir la simplification minimale.Exemples: simplifier les fonctions suivantescbacababcbcaF1babaabF2cabcbacababcF3Solution :=cbaccabbcaF1=abccba=abba=aab=bbabaabF2F2=baaabF2=abbF2=b + a(d"aprèsthéorèmed"allégement)cabcbacababcF3F3=aacbccabF3=cbab

Chapitre 3: Simplification des fonctions logiques

2.3.1Rappel: Caractéristiques du tableau de karnaughLa caractéristique principale du tableau de karnaugh est que ses cases adjacenteshorizontalement ou verticalement correspondent à des combinaisons de variables d'entréesqui se diffèrent par l'état d'une seule variable(code GRAY). De même pour des casessymétriques par rapport à un axe de symétrie vertical ou horizontal du tableau.2.3.2Notion de regroupement dans un tableau de KarnaughOn peut simplifier une fonction logique représentée par un tableau de karnaugh eneffectuant des regroupements de 2, 4, 8, 16, ... cases adjacentes rempliestoutesavecdes 1logiques. Ceci va nous permettre de simplifier 1 ou 2 ou 4 ouplusieursvariables logiques.D"une manière générale, pour une fonction de n variables, un regroupement de 2kcasesnous donnera une équation de (n-k) variables.2.3.3Le processus de simplificationLes étapes de la démarche à suivre pour simplifier l'expression logique d'une fonctionreprésentée par un tableau de Karnaugh sont les suivantes:-Dresser letableaude Karnaugh de la fonction et repérer les 1 adjacents-Pointer sur une case contenant un 1 logique.-Chercher un groupement maximal recouvrant le 1 désigné.-L'expression du groupement est le produit des variables qui ne changent pas d'état dansleslignes formants le groupement, par les variables qui ne changentpas d'état dans lescolonnes formants le groupement-La même opération doit être faite avec toute case remplie de 1 logique non regroupé.-S"arrêter lorsque tous les points vrais appartiennentau moins à un groupement-Faire la somme des regroupements obtenus pour obtenir l'expression de la fonction.

Chapitre 3: Simplification des fonctions logiques

Exemples:• Regroupement de doubletsLe regroupement de deux cases adjacentes, verticalement ou horizontalement,ousymétriques remplies des1 logiques simplifieune variable dans l'expression de la fonction.ab010010011111001000L'expression canonique de cette fonction est :bcacbacbaFL'expression réduite (simplifiée de la fonction):bacaF• Regroupement de quartetsUn groupement de 4 cases adjacentes ou symétriques rempliesdes1 logiquesva simplifier2 variablesdans l'expression canonique de la fonction logique.Exemple 1:abc000111100000011111La forme canonique de F est :cbaabcbcacbaFL'expression de F simplifiée est:F= c.

Chapitre 3: Simplification des fonctions logiques

Exemple2:cdab0 00 11 11 00 000000 110011 110011 00000L"expressioncanonique de F est :dabcdbcadcabdcbaFL'expression de F simplifiée est :dbF• Regroupement d'octetsUn groupement de 8cases adjacentes ou symétriques rempliesdes1 logiquesva simplifier3 variables logiques dans l'expression canonique de la fonction logique.Exemple:abcd00011110001111010000110000101111L'expression canonique deFest :dcbaabcddbcadcbadcbadcabdcbadcbaFL'expression de f simplifiée est :dF

Chapitre 3: Simplification des fonctions logiques

Exercice:Donner l"expressionsimplifiée de la fonction F représentée par son tableau deKarnaughsuivant:cdab00011110000001010110110110100010L'équation simplifiée est :F bd acd abcd Trois interrupteurs I1, I2et I3commandent le démarrage de deux moteurs M1et M2selon lesconditionssuivantes(lorsqu"un interrupteur est fermé, Ii= 1):Le moteur M1ne doit démarrerque si au moins deux interrupteurssont fermésLe moteur M2démarredès qu"un ou plusieursinterrupteurs sont activés.1.Donner la table de vérité régissante le fonctionnement du système.2.Simplifier les expressions logiques des sorties en utilisant la méthode graphiquebasée sur la notion du tableau du Karnaugh.3.Réaliser le logigramme adéquat enutilisant quelques portes logiques-Table de vérité:I3I2I1M2M10000000110010100111110010101111101111111

Chapitre 3: Simplification des fonctions logiques

Figure2: logigramme des sorties des moteurs

Chapitre:

-Comprendre et maitriser les circuits combinatoires standards.-Connaitreles circuits de codages.-Connaitre les circuits d"aiguillages.I.IntroductionII.Les circuits de codageII.1 le décodeurII.2LecodeurII.3 Le transcodeurIII.Les circuits d"aiguillageIII.1.Le multiplexeurIII.2Le démultiplexeur4 heures et demi

Chapitre 4: Les circuits combinatoires standards

Figure3: Schéma générale d"un décodeurPour une combinaison binaire de n entrées => une seule ligne sera mise à 1Remarque :Certains décodeurs n'utilisent pas toute la gamme de 2ncodes d'entrée possible maisseulement un sous-ensemble deceux-ci.Ilssont alors souvent conçus de façon à ce que lescodes inutilisésn"activentaucune sortie lorsqu'ils se présententàl'entrée du décodeur(décodeur BCD-décimal possède 4 bits d"entréeset 10 sorties).2.1.2Exemplesd"application:a)Décodeur 1 parmi 8 :C'est un circuit combinatoire à trois entrées et 23= 8 sorties

Chapitre 4: Les circuits combinatoires standards

Figure4: Décodeur 1 parmi 8La sortie activée est celle qui porte le rang de la valeur des entrées (A est la valeur deplusfort poids).Question :Etablir la table de véritéducircuit.Donner l'équation simplifiée de chaque sortie et établir le logigrammeducircuit.ABCS0S1S2S3S4S5S6S70001000000000101000000010001000000110001000010000001000101000001001100000001011100000001S0=CBA;S1=CBA;S2=CBA;S3=BCA;S4=CBA;S5=CBA;S6=CAB;S7=ABCLe logigramme des sorties du décodeur 1 parmi 8 :

Figure5: Logigramme d"un décodeur 1 parmi 8

ABCDécodeur1 parmi 8S0S1

S7S2S3S4S5S6

S7S5S6S4S3S2S1S0

Chapitre 4: Les circuits combinatoires standards

Figure6: Décodeur 1 parmi 10(Si) est activée si lavaleur i est présente en binaire en entrée et elle est valide.Si i est non valide=>aucune sortie n'est activée.Question :Dressez la table de vérité de ce circuit et déduire les équations logiques simplifiées desdifférentes sorties.Solution :ABCDS0S1S2S3S4S5S6S7S8S900001000000000000000000000001010000000000000000001000100000000000000110001000000000000100000010000000000101000001000000001100000001000000111000000010001000000000001010010000000001101000000000001011000000000011000000000000110100000000001110000000000011110000000000Les équations simplifiées des sorties de ce circuit sont :S0=DCBAS1=DCBAS2=DCBAS3=CDBAS4=DCBA

Chapitre 4: Les circuits combinatoires standards

S5=DCBAS6=DBCAS7=BCDAS8=DCBAS9=DCBAc)Réalisation de fonctions logiques:A l"aide d"un décodeur appropriéet des portes logiques, réaliserla fonction logiquesuivante:F ABC ABC ABC ABC Solution:D"après l"équation de la fonction F, nous aurons besoin d"un décodeur à trois entrées (A, Bet C); donc on utilisera un décodeur 1 parmi 8.Par identification avec les sorties d"un tel décodeur, on peut conclure que:F = S2+ S0+ S6+ S7Finalement, on obtient le logigramme de la fonction F suivant:

Figure7: logigramme de la fonction F2.2.1Description:C'est un dispositif qui effectue l'opération inverse du décodeur: Une seule entrée parmimest activée à la fois, ce qui correspond à un nombre binaire en sortie. On l'appelle aussiencodeur.2.2.2Exemples d"application:a)Codeur 4 vers 2:C"est un codeur quipossède 4 entrées et deux sorties. Pour chaque entrée activée, son codebinaire est affichée sur les sorties.Question:Dressez la table de vérité de ce circuit et déduire les équations logiques simplifiées desdifférentes sorties.

Chapitre 4: Les circuits combinatoires standards

Solution:-Table de vérité:A3A2A1A0S1S0000100001001010010100011-Equations de soties:S1= A3+ A2S0= A1+ A3-Logigramme:

Figure8: logigramme du codeur 4 vers 2b)Codeur depriorité:L"activation en simultané des entrées A1et A2du codeur de l"exercice précédent,ferapasser lessorties S1S0aunombre 11 qui ne correspond pas au code de l'une ou de l'autredes entrées activés. C'est plutôt le code qui représente l'activation deA3.Pour résoudre ce problème on utilise un codeur de priorité qui choisit le plus grand nombrelorsque plusieurs entrées sont activées à la fois. Exemplelorsque A1et A2sont activéessimultanément S1S0sera égale à 10cequi représentel'activation de A2

Chapitre 4: Les circuits combinatoires standards

Exemple:Codeur de priorité 8 vers 3Dresser la table de vérité du codeur:A7A6A5A4A3A2A1A0S2S1S0000000010000000001X001000001XX01000001XXX0110001XXXX100001XXXXX10101XXXXXX1101XXXXXXX1112.3.1Description:C"est un circuit combinatoire qui se diffère du décodeur par le fait que plusieurs de sessorties peuvent être actives simultanément. Alors que pour un décodeurune seule dessorties peut être activée à la fois.Le transcodeur est appelé aussi convertisseur de codes. En effet, il permet de passer d'uncode en entrée E de n bits à un code en sortie S de m bits.2.3.2Exemple d"application:Réaliser un transcodeurbinaire/Gray à trois bits:-Dresser sa table de vérité-Donner les équations de ses sortiesSolution:ABCXYZ000000001001010011011010100110101111110101111100X = A;Y A B ;Z B C

Chapitre 4: Les circuits combinatoires standards

3.1.1Description:Un multiplexeur est un circuit qui a pour rôle de faire circuler sur une seule voie lesinformations provenant de plusieurs sources.D"une façon générale, un multiplexeur possèdenentrées de commandes (d"adresses ou desélection) qui permettent de sélectionner l"une des 2nentrées de données possibles et del"envoyer vers l"unique sortie.

Figure9: Schéma générale d"un multiplexeurRemarque :Lesentrées de données peuvent avoir une taille m >= 1La sortieSdu multiplexeur doit avoir la même taille que les données.3.1.2Exemples d"applicationExemple 1:1°/ Dresser la table de vérité d'un multiplexeur à 3 entrées de sélections et des entréesde données sur 1bit.2°/ Etablir l'équation simplifiée de la sortie Z.3°/ Etablir le logigramme de la sortie avec des portes logiques de votre choix.

EntréesdedonnéesD0D1D2n-1Cn-1C1C0

S (Sortie)

Entrées de commandesOu de sélection

Chapitre 4: Les circuits combinatoires standards

Solution :Unmultiplexeur à trois entrées de commandes (I2, I1et I0) possède 8 entrées de données(D0...D7)-Table de véritésimplifiée :I2I1I0Z000D0001D1010D2011D3100D4101D5110D6111D7-Equation de la sortie:2 1 0 0 2 1 0 1 2 1 0 2 2 1 0 3 2 1 0 4 2 1 0 5 2 1 0 6 2 1 0 7Z I I I D I I I D I I I D I I I D I I I D I I I D I I I D I I I D -Logigrammede la sortie:

Chapitre 4: Les circuits combinatoires standards

Exemple 2:On donne la fonction suivanteF (a, b,c) =bca+ac+abc.Réaliser cette fonction à l'aide d'un seul multiplexeur à 3 entrées de sélection.Solution :F estla sortie du multiplexeureta, b etc sont les entrées de sélection.D'où la formegénérale de F:F =cbaD0+cbaD1+cbaD2+bcaD3+cbaD4+cbaD5+cabD6+abcD7(1)Pour avoirF (a, b,c) =abccabcaIl faut tout d"abord l"écrire sous sa forme canonique:F (a, b,c) = ()abc ac b b abc abc abc abc abc (2)Par identification entres leséquations (1) et (2) de F, on conclut que:D3, D4, D6, D7doivent êtreà1et D0, D1, D2, D5doivent êtreà 0.Finalement, on obtient la solution suivante:

Figure11: Réalisation de la fonction F3.2.1DescriptionLe démultiplexeur dispose de n entrées de sélection,d"une entrée de données et 2nsorties.La donnée sera aiguillée vers la sortie dont le rang est composé par les entrées desélections.

Chapitre 4: Les circuits combinatoires standards

Figure12: Schéma générale d"un démultiplexeurSi= D si et seulement si (In-i...Io) = i3.2.2Exemples d"application:Dresser la table de vérité d"un démultiplexeurà deux entrées de sélectionEtablir les équationsde sessortieset construire son logigrammeSolution:Un démultiplexeur à deux entrées de sélection possède quatre sorties-Table de vérité:I1I0S3S2S1S000000D0100D0100D0011D000-Equations des sorties :0 1 0S I I D1 1 0S I I D2 1 0S I I D3 1 0S I I D

Chapitre 4: Les circuits combinatoires standards

Figure13: Logigramme dudémultiplexeur

Chapitre:

-Assimiler et manipuler les circuits arithmétiques.-Construire des circuits d"addition de deux nombres binaires.-Construire des circuits de soustraction de deux nombres binaires.-Construire des circuits de comparaison de deux nombres binaires.I.Les additionneursII.Les soustracteursIII.Les comparateurs4heureset demie

Chapitre 5: Les circuits arithmétiques

Dans ce chapitre, nous allons réaliser des circuits combinatoires qui permettent d'établir lesopérations d'addition, de soustraction et de comparaison de deux nombres binaires.Unadditionneurest un circuit combinatoire qui présente la structure suivante :

Figure14:Schéma d"un additionneur completOù:Anet Bnsont les deux bitsdu rangnà additionnerRn-1est une retenuede l"étage précédentqui doit être priseen considération dansl'addition.Snest le résultat de l'opération d'additiondu rangnRnest la retenue provoquée par l'additionet renvoyée vers l"étage suivantLes opérations d'additions de base sont :0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 1 = 0 avec une retenue = 11 + 1 + 1 = 1 avec uneretenue = 1Application 1:Etablir la table de vérité et le tableau de karnaughd'un additionneur complet 1 bit (AC :élémentaire). Donner le logigramme de cet additionneur à l'aide des portes logiques devotre choix.

Retenu précédent

Chapitre 5: Les circuits arithmétiques

Solution :-La table de vérité :AnBnRn-1SnRn0000000110010100110110010101011100111111-Tableau de Karnaughde Sn:AnBnRn-10001111000101110101111nnnnnnnnnnnnnRBARBARBARBAS= (nAnB+BAn)1nR+ (nnBA+nnBA)1nR= (AnBn) Rn-1+ (AnBn) Rn-1Sn= (AnBn) Rn-l+ (AnBn) Rn-1Sn= (AnBn)Rn-l-Tableau de Karnaugh de Rn:AnBnRn-1000111100001010111

Chapitre 5: Les circuits arithmétiques

Rn= AnRn-l+ BnRn-1+ AnBnRn= Rn-1(An+ Bn) + AnBn-Logigramme:Pour minimiser le nombre de porteslogiques, nous allons écrire Rnsous la forme:1 ()n n n n n nR R A B A B

Figure15: logigramme additionneur complet 1 bitApplication 2:A l"aide de l"additionneur complet 1 bit de l"exercice précédent, réaliser unadditionneurcomplet 2 bits(permet de faire l"addition de deux nombres chacun composé de deux bits).Solution:Pour réaliser cet additionneur, on aura besoin de deux additionneurs 1 bit; l"un pourl"addition du rang 0 et l"autre pour l"addition du rang 1 et la retenue du rang 0

Figure16: additionneur 2 bits

S0R0S1

A1A0B1B00

R1S1S0

Chapitre 5: Les circuits arithmétiques

C"est un circuit combinatoire qui réalisela soustraction de deux nombres binaires. Ilprésente la structure suivante:

Figure17: Schéma de principe d'un soustracteur completOù:Anet Bnsont les deux bitsdu rangnàsoustraireRnest une retenueengendréede l"étage précédentqui doit être priseen considérationdansla soustraction.Dnest le résultat de l'opération de soustractiondu rangnRn+1est la retenuerenvoyée vers l"étage suivantRappel:Les opérations de soustraction de base sont :0-0 = 01-0 = 11-1 = 00-1 = 1 avec une retenue = 1Exercice:Etablir la table de vérité et le tableau de karnaughd"unsoustracteur1 bit.

Chapitre 5: Les circuits arithmétiques

Solution:-Table de vérité

Pour remplir la colonne de la sortie Dn, pour chaqueligne de la table de vérité il fautappliquer l"équation suivante:Dn=An-(Bn+ Rn)Si l"opération est impossible et qu"il faut emprunter 1 pour la réaliser (An< (Bn+ Rn)),alorsRn+1prend systématiquement 1.-Tableau de Karnaughde Dn:

Chapitre 5: Les circuits arithmétiques

RnAnBn0001111000101110101 1 1 1n n n n n n n n n n n n nD A B R A B R A B R A B R = (nAnB+BAn)1nR+ (nnBA+nnBA)1nR= (AnBn) Rn-1+ (AnBn ) Rn-1Dn= (AnBn) Rn-l+ (AnBn) Rn-1= (AnBn)Rn-l-Tableau de Karnaugh de Rn:RnAnBn000111100000111011nnnnnnnRBRABAR1nnnnnnBABARR1-Logigramme:

Figure18: logigramme soustracteur 1 bit

Chapitre 5: Les circuits arithmétiques

Ce sont des circuits combinatoires standards qui servent pour la comparaison de deuxnombres binaires.Soit A = AnAn-lAn-2......A1A0B = BnBn-1Bn-2.....B1B0Deux nombres binaires à comparer. Le processus commence par la comparaisondes bits depoids fort:Si An> Bnalors A > BSi An< Bnalors A < BSi An = Bn alors il faut passer à la comparaison de An-1et Bn-1On a alors besoin d'un comparateur élémentaire 2 bits

Figure19: Schéma d"un comparateurSi Ei+1= 1 alors la comparaison deAiet Bise fait normalement.Si Ei+1=0 alors toutes les sorties seront à zéro, le résultat de la comparaison est déjàdonné par la comparaison des bits précédents.Si Ai> Bialors Ei= Ii= 0 et Si=1.Si Ai< Bialors Ei= Si= 0 et Ii=1.Si Ai= Bialors Ei= 1 et Ii= Si= 0.

Chapitre 5: Les circuits arithmétiques

Exercice :Etablir la table de vérité de ce comparateur et donner les équations de ses sorties avec leurscâblages.Solution :L"entrée Ei+1joue le rôle d"une entrée de validation pour le circuit. Si elle est égale à 0 lecircuit reste bloqué.

Chapitre 5: Les circuits arithmétiques

Figure20: Logigramme d'un comparateur élémentairePour comparerdeux nombres binaires sur plusieurs bits (supérieur ou égale à 2). On peututiliser des comparateurs élémentaires montés en cascade.Exercice :Elaborer le câblage d'un comparateur de nombre binaire sur deux bits à base descomparateurs élémentairesSolution:

Figure21: Comparateur encascade

S I

EE1E2B1B0A1A0

S1I1S0I0