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Le Son et la Thermodynamique

Qu"est-ce-qu"une onde sonore?

Une onde sonore correspond `a une d´eformation du milieu mat´eriel, c"est une succession de zones de compression et de rar´efaction. On supposera par la suite que le milieu de propagation est un fluide parfait compressible.

Propagation d"une onde sonore

On utilise l"´equation de conservation de la masse ainsi que l"´equation d"Euler dans l"approximation de perturbations de faible amplitude (on n´eglige les termes non-lin´eaires) : ∂ρ∂t + divρv= 0,(1) ∂-→v∂t =--→?P .(2) On introduit une notation o`u les quantit´es sont not´ees sous la formeX=X0+X?, les

quantit´es prim´ees repr´esantant les variations par rapport aux valeurs de r´ef´erence index´ees

0. En introduisant cette notation dans l"´equation [2] et en n´egligeant tous les termes d"ordre

sup´erieur `a 2 on obtient :

0∂-→v?∂t

=--→?P?.(3)

On pose

-→v?=--→gradφque l"on injecte dans la relation pr´ec´edente et on int´egre par rapport `a la position pour arriver `a la relation : P ?=-ρ0∂φ∂t .(4) Dans l"hypoth`ese o`u la transformation est isentropique on a la relation suivante entre la variation de pression et la variation de densit´e : P ?=?∂P∂ρ 0? S

ρ?.(5)

En utilisant [4] et [5] dans l"´equation [1], on aboutit `a une relation de propagation d"onde sous la forme :∂2Φ∂x 2-1c

2∂2Φ∂t

2= 0,(6)

en posant pourcqui repr´esente la vitesse du son : c=?∂P S .(7) Cette ´equation admet comme solution des ondes dites longitudinales de la forme

φ?ei(ωt±kx), c"est-`a-dire pour lesquelles le vecteur d"onde et colin´eaire `a la vitesse des

particules. Cette solution satisfait `a la relation de dispersion suivante :ω2=c2k2. 1

Propagation dans un gaz parfait - Cas adiabatique

Dans le cas adiabatique, l"´equation d"´etat est donn´ee par :PVγ= cte, et en utilisant l"´equation des gaz parfaits cela implique que la vitesse du son prend la forme : c=?γ

RTμ

,(8) avecR,T,μrespectivement la constante des gaz parfaits, la temp´erature et le poids mol´eculaire moyen. Application num´erique :avecγ= 1,4;μ= 0,29 kg,T0= 300 K alorsc= 347 m/s . On peut remarquer que cette vitesse correspond `a la vitesse quadratique moyenne

donn´ee par la th´eorie cin´etique des gaz. Cela parait coh´erent puisque ce sont les particules

du milieu qui sont le vecteur de l"information sur la perturbation.

Propagation dans un gaz parfait - Cas isotherme

Dans le cas isotherme, l"´equation d"´etat est donn´ee par :PV= cte, de mˆeme en utilisant l"´equation des gaz parfaits, on obtient comme expression de la vitesse du son : c=?RT .(9) On remarquera que l"expression de la vitesse diff`ere du cas adiabatique par un facteur

Distinction des cas isotherme - adiabatique

Lorsque le gaz se comprime on intuite qu"il va s"´echauffer, alors que lorsqu"il se rar´efit

il va refroidir. L"hypoth`ese d"adiabadicit´e est justifi´ee si la transformation est assez ra-

pide pour qu"il n"y ait pas d"´echange de chaleur; au contraire si la transformation se fait sur des temps relativement longs, le syst`eme a le temps de se thermaliser et l"hypoth`ese isotherme est dans ce cas valid´ee. Pour discriminer ces deux cas on introduit la longueur

caract´eristique de la perturbationλ= 2πvs/ω, ainsi que la longueur caract´eristique sur

laquelle la chaleur p´en´etre pendant un tempsT:δ2?T?1/ω. Le graph ci-dessous repr´esente le logarithme de ces grandeurs en fonction du logarithme deω. Lorsqueλ < δ, le syst`eme a le temps de se thermaliser donc on se trouve dans le cas isotherme, dans le cas contraire le syst`eme est consid´er´e comme adiabatique.2quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21