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FORMULAIREFORMULAIRE

TRACÉ DE VOIE, DIVERSTRACÉ DE VOIE, DIVERS

Didacticiel Didacticiel

Édition du 05/08/01

Version 02 Révision 00 du 28/08/2007

Auteur :

Yves NOBLET CVDH honoraire

FORMULAIRE TRACÉ DE VOIE, DIVERS

2Version 02 Révision 00 du 28/08/2007 - Yves Noblet

FORMULAIRE TRACÉ DE VOIE, DIVERS

ue j'aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages1 !

Immortel Archimède, artiste ingénieur,

Toi de qui Syracuse aime encore la gloire,

Soit ton nom conservé par de savants grimoires !

Jadis, mystérieux, un problème bloquait

Tout l'admirable procédé, l'oeuvre grandiose

Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.

0 quadrature ! Vieux tourment du philosophe

Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez

Défié Pythagore et ses imitateurs.

Comment intégrer l'espace plan circulaire ?

Former un triangle auquel il équivaudra ?

Nouvelle invention : Archimède inscrira

Dedans un hexagone ; appréciera son aire

Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :

Dédoublera chaque élément2 antérieur ;

Toujours de l'orbe calculée approchera ;

Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur

De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle

Professeur, enseignez son problème avec zèleQ ,1415926535 8979

32384626

43383279

50288

4197169

399375

105820

974944

59230

7816 40

628620

8998

628034

825342117

06729

821480

8651328

2306647

0938443

1La longueur de chaque mot donne une décimale (un mot de 10 lettres code zéro). La ponctuation ne code rien.

2Les 627 premières décimales de pi affichées dans la salle (circulaire) de mathématiques du Palais de la Découverte.

Version 02 Révision 00 du 28/08/2007 - Yves Noblet3π

FORMULAIRE TRACÉ DE VOIE, DIVERS

4Version 02 Révision 00 du 28/08/2007 - Yves Noblet

FORMULAIRE TRACÉ DE VOIE, DIVERS

Sommaire

1 PRÉAMBULE.................................................................................................................................8

2 OBJET.............................................................................................................................................8

3 DOMAINE D'APPLICATION.....................................................................................................8

4 ÉQUIPEMENTS, DOCUMENTS ASSOCIÉS............................................................................8

5 RÉFÉRENCES NORMATIVES...................................................................................................8

6 DÉFINITIONS, TERMINOLOGIE.............................................................................................9

7 FORMULES UTILES..................................................................................................................11

7.1 Développements limités.....................................................................................................................11

7.2 Approximations usuelles...................................................................................................................11

7.3 Changements de repère.....................................................................................................................12

7.3.1 Transposition des coordonnées (vP, uP) du repère orthonormé VWU en (xp, yp) dans le repère orthonor-

mé XOY.............................................................................................................................................................12

7.3.2 Transposition des coordonnées (xP, yP) du repère orthonormé XOY en (vp, up) dans le repère orthonor-

mé VWU............................................................................................................................................................12

8 FORMULES LIÉES AU RAYON..............................................................................................13

8.1 Calcul du rayon..................................................................................................................................13

8.1.1 Connaissant la flèche.........................................................................................................................................13

8.1.2 Connaissant l'angle d'intersection de deux directions......................................................................................15

8.1.3 Connaissant l'angle au centre de la courbe.......................................................................................................16

8.1.4 En fonction de la vitesse, du dévers, et de l'insuffisance..................................................................................17

8.1.5 De la branche déviée d'un appareil cintré.........................................................................................................18

8.1.6 Raccordement cylindrique.................................................................................................................................20

8.2 Tracés sinueux, alignement nécessaire.............................................................................................21

8.2.1 Formules UIC, R1 et R2 ≥ 150 m.....................................................................................................................21

8.3 Dévers pratiques ou prescrits...........................................................................................................22

8.3.1 Coefficient C.....................................................................................................................................................22

8.3.2 Rappel historique...............................................................................................................................................22

8.3.3 C est les variations d'insuffisance et de dévers.................................................................................................23

9 GARAGE FRANC........................................................................................................................25

10 ENTRE AXES.............................................................................................................................26

11 FORMULES LIÉES AUX RACCORDEMENTS PROGRESSIFS......................................27

11.1 Généralités........................................................................................................................................27

11.1.1 Équation de la courbure..................................................................................................................................27

11.2 Conditions à remplir par une courbe de raccordement...............................................................28

11.3.1 Raccordement alignement courbe...................................................................................................................29

11.3.2 Raccordement entre 2 courbes de rayon R' et R (R'>R)..................................................................................31

11.4 Clothoïde..........................................................................................................................................33

11.4.1 Raccordement alignement courbe...................................................................................................................33

11.4.2 Raccordement entre deux courbes de rayon R' et R (R'>R)............................................................................35

12 CALCUL DES APPAREILS CINTRÉS..................................................................................37

Version 02 Révision 00 du 28/08/2007 - Yves Noblet5

FORMULAIRE TRACÉ DE VOIE, DIVERS

12.1 Branchements simples latéraux......................................................................................................37

12.1.1 Tracé sécant.....................................................................................................................................................37

12.1.2 Tracé tangent...................................................................................................................................................37

12.2 Branchements symétriques.............................................................................................................38

12.3 Profil en long....................................................................................................................................39

12.3.1 Inclinaison des traverses due au dévers...........................................................................................................39

12.3.2 Calcul de la pente relative P' au talon dévié théorique (modèle éclissé)........................................................40

12.3.3 Influence de la déclivité de plateforme sur la déclivité en sortie déviée.........................................................41

12.3.4 Influence de la déclivité de plateforme sur le dévers en sortie de la déviée...................................................41

13 CALCUL D'UN APPAREIL DE PÉNÉTRATION................................................................42

14 FREINAGE, DISTANCES D'ARRÊT.....................................................................................43

14.1 Formule de Pédelucq.......................................................................................................................43

14.2 Formule de Bricka...........................................................................................................................44

14.3 Formules liées à la décélération......................................................................................................45

14.3.1 Formule actuelle..............................................................................................................................................45

14.3.2 Formule simplifiée donnant la distance d'arrêt...............................................................................................46

15 RÉGRESSION LINÉAIRE.......................................................................................................47

16 CLASSIFICATION DEMAUX.................................................................................................48

17 CLASSIFICATION UIC...........................................................................................................50

18 PRODUIT VT (TRAVERSÉE DES VOYAGEURS)..............................................................52

18.1 Le produit VT..................................................................................................................................52

18.1.1 Les éléments à saisir pour le calcul comprennent...........................................................................................53

18.2 Le calcul............................................................................................................................................54

18.2.1 Les seuils voyageurs, "l'effet de foule» :.........................................................................................................54

18.2.2 La visibilité :....................................................................................................................................................54

18.2.3 Le cas des personnes handicapées :.................................................................................................................54

18.2.4 Les autres cas particuliers...............................................................................................................................55

18.3 Équipements " standard » pour la traversée des voies.................................................................55

18.3.1 Le Pictogramme "piéton» :..............................................................................................................................55

18.3.2 L'ouvrage dénivelé :........................................................................................................................................55

Table des annexesANNEXE 1 : ÉCART ENTRE LA FLÈCHE EST SA VALEUR PAR LA FORMULE APPROCHÉE..........................57

ANNEXE 2 : APPROXIMATIONS X, SIN(X), TG(X), TG(X/2), (TGX)/2...................................................................58

ANNEXE 3 : VARIATION e DE LA LONGUEUR DE LA CORDE EN FONCTION DU RAYON POUR UNE

ÉQUIDISTANCE DE PIQUET DE 10M..........................................................................................................................59

ANNEXE 4 : ALIGNEMENTS NÉCESSAIRES ENTRE 2 COURBES DE SENS CONTRAIRE.................................60

ANNEXE 5 : APPROXIMATION DE j...........................................................................................................................63

ANNEXE 6 : FORMULE DE PÉDELUCQ, l = 1,25.......................................................................................................65

ANNEXE 7 : FORMULE DE PÉDELUCQ, l = 0,47.......................................................................................................66

ANNEXE 8 : FREINAGE, FORMULE SIMPLIFIÉE......................................................................................................67

ANNEXE 9 : FORMULE DE BRICKA............................................................................................................................68

ANNEXE 10 : SAPIN, PROGRAMME EN LISP POUR AUTOCAD â .......................................................................69

ANNEXE 11 : SAPIN, ABAQUES...................................................................................................................................75

ANNEXE 12 : RÉSERVÉ..................................................................................................................................................77

6Version 02 Révision 00 du 28/08/2007 - Yves Noblet

1PréambuleFORMULAIRE TRACÉ DE VOIE, DIVERS

1Préambule

De nombreuses formules sont utilisées en tracé de voie calculé. Elles sont réparties dans différents

documents et ne font l'objet d'aucune démonstration. Il était intéressant de les regrouper dans un recueil

unique pour la formation des jeunes projeteurs d'autant que l'avènement du dessin assisté par ordinateur a

fait quasiment disparaitre le tracé graphique et masque totalement les calculs.

2Objet

Ce didacticiel regroupe, pour le groupe Ingénierie Aménagements de la Direction Régionale de

l'Infrastructure de Dijon, les principales formules utilisée en tracé de voie. Celles-ci, classées par thèmes,

font l'objet de commentaire et de démonstration.

3Domaine d'application

Cette procédure, classée " CONFIDENTIELLE SNCF » s'adresse uniquement aux projeteurs SNCF susceptibles de pratiquer le tracé de voie calculé.

4Équipements, documents associés

Informatique :

Autocad V14 et EPURE (Ensemble de programmes à l'usage des réseaux d'études) et la norme DAO associée.

Matériel :

Équerre, kutch, rapporteur Calculatrices, tables trigonométriques Théodolite, chaine (50m)

5Références normatives

EF 2B 34 N° 4

EF 2C 32 N° 1

EF 1C 3 N° 1

EF 1C 3 N° 2

CG TR1 C2 N° 1

Version 02 Révision 00 du 28/08/2007 - Yves Noblet7 FORMULAIRE TRACÉ DE VOIE, DIVERS 6Définitions, terminologie

6Définitions, terminologie

alongueur curviligne

CCoefficient de dévers.

DDévers d'équilibre aussi dévers théorique (dth) dpDévers pratique (en voie)

EExcès de dévers.

eDistance entre les cercles de roulement d'un même essieu. ecécartement des rails (bords intérieurs) eVentre voie, distance entre bords extérieurs des rails. fFlèches correspondant à une courbure. gAccélération due à la pesanteur, 9,81 m/s².

IInsuffisance de dévers.

KutchRègle graduée souvent à échelles multiples (nom de fabriquant)

INGAGroupe Ingénierie Aménagements.

RRayon de courbe en plan.

RcylRayon de raccordement dans le plan vertical.

RPRaccordement progressif.

V Vitesse en km/h

8Version 02 Révision 00 du 28/08/2007 - Yves Noblet

7Formules utilesFORMULAIRE TRACÉ DE VOIE, DIVERS

7Formules utiles

7.1Développements limités()()()()2

3 5 2 1

2 4 2

3 5 7 9

2 2

1 1 ... 11 1 ... ...2! !

sin ... ( 1) ...3! 5! (2 1)! cos 1 ... ( 1) ...2! 4! (2 )!

2 17 62tg ...3 3 5 3 5 7 3 5 7 9

mn n n n n m m m m m nx mx x xn x x xx xn x x xxn x x x xx x = + + + + +´ ´ ´ ´ ´ ´7.2Approximations usuelles En radians, pour des angles très petits, on peut assimiler : x à sin x x à tan x sin x à tan x tanx

2à tanx

2Voir les premiers termes des développements limités ci-dessus

et l'ANNEXE 2 p 56 pour apprécier l'erreur ainsi commise.

Version 02 Révision 00 du 28/08/2007

- Yves Noblet9 FORMULAIRE TRACÉ DE VOIE, DIVERS 7Formules utiles

7.3Changements de repère

7.3.1Transposition des coordonnées (vP, uP) du repère orthonormé VWU en (xp, yp) dans le

repère orthonormé XOYXp=XwWkkPWk=uPsin kP=vPcos

YP=Ywkm-mn

km=uPcos mn=vPsin

XP=XWvpcosuPsin

YP=YWuPcos-vPsin

7.3.2Transposition des coordonnées (xP, yP) du repère orthonormé XOY en (vp, up) dans le

repère orthonormé VWU xP=mk-kn mk=xP-xWcos kn=yP-yWsin up=WmnP

uP=xP-xWsinyP-yWcos10Version 02 Révision 00 du 28/08/2007

- Yves NobletY X U

VθyW

xWPyP xP uP vPk m WOn Y X U

VθyW

xWPyP xP uP vPk m WOn

8Formules liées au rayonFORMULAIRE TRACÉ DE VOIE, DIVERS

8Formules liées au rayon

8.1Calcul du rayon

8.1.1Connaissant la flèche.)mm(

)m(f

50000R=

Cette formule est en fait une formule dérivée de la formule de calcul approchée de la flèche en fonction du rayon et de la corde c : R8cf 2 =. Elle n'est valable que pour une flèche mesurée au centre d'une corde de 20 m. soit

R500001000R8400

=´ le coefficient 1000 (m.mm) servant à adapter les mètres et les millimètres pour un résultat en mètre pour le rayon et en millimètre pour la flèche.

La formule exacte de calcul de la flèche est :

4 cRRf 2

2--= (Théorème de Pythagore dans le triangle ogh Figure 1)

Pour faciliter les calculs, cette formule a été développée à l'aide du développement limité de

()()()()...x!n1nm...1mm...x!21mmmx1x1n2m++--++-++=+ où21m=. En mettant R en facteur, ae ae-+-=2 2 411R
cRf et en se limitant aux 3 premiers termes de la série, on obtient ae ae-÷ø ae- ae-+-= 2 2 2 2 2R4c !2121 21
R4c

2111Rf puis après réduction

3

42R128c

R8cf On observe que la formule approchée néglige le terme de quatrième ordre 3

4R128c. L'erreur commise sur le

développement limité est inférieure au terme négligé car la série est alternée (terme positif terme négatif)

Elle minore la valeur du rayon calculé ce qui va dans le sens de la sécurité. Pour une corde de 20m ce terme

est maximum pour un rayon de 150 m est vaut 0,370 mm ce qui est négligeable (voir ANNEXE 1 p 55)

Cette formule est surtout utilisée avec la méthode des flèches (épure Hallade). Elle permet de connaître

rapidement la valeur d'un rayon sur le terrain, avec un cordeau et un réglet, de même, sur un plan, avec

l'aide d'une seule règle graduée.

Une ambiguïté subsiste entre une longueur de corde de 20m effective et un espacement des piquets de

courbe de 10m (Figure 2 p 12)

Version 02 Révision 00 du 28/08/2007

- Yves Noblet11Figure 1 fcR c/2Ro gh FORMULAIRE TRACÉ DE VOIE, DIVERS 8Formules liées au rayon De fait, lors des relevés sur fer, c'est bien au milieu d'un cordeau de 20m que la flèche est mesurée. L'implantation des piquets peut se faire un sur deux à 20m (Figure 3) seul le deuxième piquet sera mal positionné (distance de 10m au lieu de 10 + ε) ce qui n'a pas d'importance car il est généralement dans un alignement (flèche 0). On peut appréhender la variation ε de la longueur de la corde C, en fonction du rayon, pour une distance de 10 m entre piquet.

410100RfRf2R440400R)fR(2)20(RRf2

222
2

222e-e+-=+-Þ÷÷

aee+e--=-Þe---=en négligeant le terme 4

2e, très petit (de l'ordre de 6 10-6) on peut écrire : 10100Rf2f2+-=e en usant d'une

deuxième approximation en remplaçant f par R8C

2, C=20m,

22
2 2

4R2501040400

R6401600001040C

R640C =eÞ+-=eÞ+-=e La variation de ε est représentée ANNEXE 3 page 57.
Pour une valeur de rayon de 150m, l'écart est maximum :

Soit un relevé sur fer (cordeau de 20m), f20m = 0,33370452m ce qui donne une distance entre piquet de

10,005566m. Pour une distance de 10m entre goupilles, avec f20m, la longueur de corde devient 19,988861m

et la valeur de flèche calculée 0,33333250m soit un écart de 0,000372m.on peut constater que cet écart est

très proche de la valeur du terme négligé 3

4R128csoit 0,000370 pour un rayon de 150m ce qui pourrait faire

penser que la formule R8C

2 est exacte pour une distance entre goupilles de 10m, ce n'est qu'une coïncidence

pour R 150 (voir ANNEXE 1 p 55)

12Version 02 Révision 00 du 28/08/2007

- Yves NobletFigure 3Figure 2

10m10m

20m - εP1P2

P3f

10 + ε m10 + ε m

20mP1P2

P3f

P1P2P3

P410 m20 m20 m

8Formules liées au rayonFORMULAIRE TRACÉ DE VOIE, DIVERS

8.1.2Connaissant l'angle d'intersection de deux directions.2tg

TRm ma=T est appelé " tangente » La valeur du rayon doit être calculée, en jouant sur la longueur de la tangente, pour donner une flèche arrondie au millimètre (à défaut au demi millimètre)

RTRbis

22-+= Application du théorème de Pythagore dans le

triangle ogs (Figure 4) Les angles ê2 et ĝ2 sont égaux car ils ont leur sommet sur le cercle et interceptent le même arc donc le triangle egs est isocèle et es = gs. Les triangles oes et ogs ont leurs 3 cotés égaux : R, T, os commun. ils sont donc égaux et leurs angles respectifs également donc eôs = gôs = 2 a ŝ3 = Π - (ŝ1 + ŝ2) or comme démontré précédemment, ŝ1 = ŝ2 = 222 a-P=a-Pŝ3 =

()a=a-P-PC'est la formule de base du tracé de voie. Elle est aussi beaucoup utilisée en implantation pour la

vérification des valeurs des rayons implantés par mesure de l'angle α au théodolite et des tangentes T.

En tracé graphique, la mesure de l'angle α peut être réalisée soit au rapporteur soit par sa tangente au

kutch (Figure 5) Les angles mesurés étant généralement faibles, on assimile l'angle (en radian) à la

tangente ce qui est largement suffisant en précision graphique (l'erreur est divisée par 2 puisqu'on utilise le

demi angle) On aura intérêt à choisir L judicieusement pour se simplifier les calculs, ceux-ci se faisant

naturellement de tête...

Le cercle trigonométrique (Figure 6) permet de visualiser les approximations faites. Elles sont représentées

par la différence entre les segments de couleur verte pour le sinus de α, bleue pour α (en effet l'arc = R

´α avec R=1

voir p 14) et rouge pour la tangente. On voit que plus α est petit, plus les longueurs des ces différents segments tendent vers la même valeur

Version 02 Révision 00 du 28/08/2007

- Yves Noblet13Figure 5 LH

»a de même L2H

2tg»a (Voir ANNEXE 2 p 56)

Figure 6Figure 4

bisTR e αo ghα/2

TRα

s11 22
12 3 tgtg sin cosαrad 1+H Lα FORMULAIRE TRACÉ DE VOIE, DIVERS 8Formules liées au rayon

8.1.3Connaissant l'angle au centre de la courbe)gon(

)m( )m( a662,63Rq ´=a est la longueur curviligne de l'arc intercepté par l'angle au centre θ Cette formule est dérivée de la formule de la développée d'un arc q=Ra où θ est en radian. Le coefficient 63,662 permet de transformer les grades en radian. C'est le rapport inverse de200

P (l'angle étant au dénominateur)

Quand P=q2)radian(, on retrouve bien la formule du périmètre du cercle R2a P=cette formule est utilisée dans le calcul des appareils cintrés (voir chapitre 12 p 55)

Elle est plus connue sous la forme

)gon( )m( )m( a831,31Ra

C'est l'adaptation au demi angle

q=a2

Cette formule au demi angle est très utile :

■Quand on a des longueurs de développée imposées (tracer de la tangente en bout d'arc).

■Pour vérifier, en implantation, la valeur d'un rayon existant (voir Figure 8) ■Pour implanter la direction d'une tangente en un point d'une courbe (voir Figure 8) ■Pour implanter une courbe par la méthode des angles successifs (voir Figure 8)

α a son sommet sur le cercle et intercepte l'arc c ; le rayon passant par les points P1, P2, P3 à pour valeur :

)gon(a831,31Ra ´=. Connaissant R, il est facile de calculer ()Rcb831,31

2)gon(+´=Q ou en remplaçant R par sa

valeur ()ccb

2)gon(+´a=QPour l'implantation par angles successifs, après s'être aligné sur la tangente, on calcule l'alpha

correspondant à la longueur curviligne choisie entre la station et le point à implanter. Si les points suivants

sont espacés de la même longueur, il suffit d'additionner successivement alpha à l'angle affiché au vernier

de la lunette. C'est simple et rapide.

14Version 02 Révision 00 du 28/08/2007

- Yves NobletFigure 8 b, c = longueurs curvilignes mesurées

α = angle mesuré

Station du théodolite en P1

P1, P2, P3 doivent être dans une zone de rayon à peu près constantT R

RθΘ/2b

c P1P2

P3Figure 7

RΘa

8Formules liées au rayonFORMULAIRE TRACÉ DE VOIE, DIVERS

8.1.4En fonction de la vitesse, du dévers, et de l'insuffisanceId

V8,11 D

V8,11R

P 2 )mm( )h/km(2 )m(+ 2quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34