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Licence Sciences et TechniquesL1 SVM11

Mathématiques

Recueil d"exercices.

La correction est disponible sur ma page web:

http://faccanoni.univ-tln.fr/polys.htmlGloria Faccanoni ihttp://faccanoni.univ-tln.fr/enseignements.htmlAnnée 2017 - 2018 Dernière mise-à-jour : Mercredi 6 septembre 2017

Table des matières

Notations2

1 Formulaires de géométrie4

2 Méthodologie disciplinaire7

3 Éléments de logique et notions fondamentales de la théorie des ensembles30

4 Fonctions d"une variable réelle34

5 Suites numériques et limites42

6 Limites et continuité48

7 Dérivabilité52

8 Plan d"étude d"une fonction numérique61

9 Primitives et Intégrales64

10 Équations différentielles ordinaires (EDO)69

Notations

Ensembles usuels en mathématiques

On désigne généralement les ensemble les plus usuels par une lettre à double barre :

Nl"ensemble des entiers naturels

N Zl"ensemble des entiers relatifs (positifs, négatifs ou nuls) Z

Ql"ensemble des nombres rationnels³pq

Rl"ensemble des réels

Cl"ensemble des nombres complexes

Intervalles

Inégalité(s) Ensemble Représentations graphique a·x·b[a,b]abab aÇxÇb]a,b[abab a·xÇb[a,b[abab aÇx·b]a,b]abab x¸a[a,Å1[aa xÈa]a,Å1[aa x·b]¡1,b]bb xÇb]¡1,b[bb jxj·aaveca¸0 [¡a,a]¡aa¡aa jxjÇaaveca¸0 ]¡a,a[¡aa¡aa jxj¸aaveca¸0 ]¡1,¡a][[a,Å1[¡aa¡aa jxjÈaaveca¸0 ]¡1,¡a[[]a,Å1[¡aa¡aa

Symboles utilisés dans le document

définition, théorème, corollaire, proposition, propriété(s) astuce attention remarque méthode, algorithme, cas particulier exercice de base exercice exemple curiosité 2

Notations

Èstrictement supérieur

Çstrictement inférieur

¸supérieur ou égal

·inférieur ou égal

6AEdifférent

´équivaut (équivalence logique)

ensemble A\BensembleAprivé de l"ensembleB,i.e.CA(B) le complémentaire deBdansA ;ensemble vide jtel que

2appartient

62n"appartient pas

8pour tout (quantificateur universel)

9il existe (quantificateur universel)

69il n"existe pas

9!il exi steu net un seul

½est sous-ensemble (est contenu)

[union d"ensembles \intersection d"ensembles _ou ^et :non

AE)si ... alors; implique

()si et seulement si ssisi et seulement si ln l ogarithmede base e log alogarithme de basea

1infiniRsymbole d"intégralePn

iAE0aisomme par rapport à l"indicei, équivaut àa0Åa1Å¢¢¢ÅanQn iAE0aiproduit par rapport à l"indicei, équivaut àa0£a1£¢¢¢£an n!nfactoriel, équivaut à 1£2£¢¢¢£n g±fcomposé defparg(on dit "grondf» ou encore "fpuisg») f

0,d fdx

symboles de dérivée (H)=utilisation de la règle de l"Hôpital (P.P.)=intégration par parties

©G.Faccanoni- 2017-20183

Formulaires de géométrie

1.1 Formulaire de géométrie plane``PérimètrepAE4`

AireAAE`2bhPérimètrepAE2(bÅh)

AireAAEbhrPérimètrepAE2¼r

AireAAE¼r2h

bi¼

2PérimètrepAEbÅhÅi

AireAAEbh2

a bch¼

2PérimètrepAEaÅbÅc

AireAAEbh2

AE14 pp(p¡2a)(p¡2b)(p¡2c)a Bcb hPérimètrepAEaÅBÅcÅb

AireAAE(BÅb)h2

ABHC ab nmh

Théorème de Pitagore2

6 64c

2AEa2Åb2,

2AEh2Ån2,

2AEh2Åm2

Premier théorème d"Euclide

"b2AEcn a 2AEcm

Deuxième théorème d"Euclideh2AEnm

1 Formulaires de géométrie

1.2 Formulaire de géométrie solide

`Surface latéraleSlatAE4`2

Surface totaleStotAE6`2

VolumeVAE`3ac

bSurface latéraleSlatAE2c(aÅb)

Surface totaleStotAE2(abÅacÅbc)

VolumeVAEabc``haSurface latéraleSlatAE2`a

Surface totaleStotAE2`aÅ`2

VolumeVAE`2h3

rhSurface latéraleSlatAE2¼rh

Surface totaleSlatAE2¼rhÅ2¼r2

VolumeVAE¼r2hrSurface totaleStotAE4¼r2

VolumeVAE43

¼r3

- Exercices -Exercice 1.1

La scène d"une salle de concert a la forme d"un demi-cercle. Sa longueur est de 16m. Quelle est sa surface, en m

2?Exercice 1.2La piste de course d"un stade entoure le terrain qui a la forme d"un rectangle dont les deux côtés sont dotés de demi-cercles.

Si la longueur du rectangle est de 100m et sa largeur est de 30m, quelle est la longueur de la piste?Exercice 1.3

1. D ansu ntr iangleABC, rectangle enA, soitABAE8 etACAE6. Quel est son périmètre? Et son aire? 2. L "aired "uncarré égale a. Quelle est la longueur de sa diagonale? 3.

Une pyramide à base carrée a une hauteur de9cm. Si le volume de la pyramide égale768cm3, quelle est la longueur

du côté de sa base?

©G.Faccanoni- 2017-20185

1 Formulaires de géométrie

Exercice 1.4Considérons un rectangleABCDet les trois cercles ayant pour centreAet pour rayonsAB,ACetAD. Colorions en- suite la couronne de frontières les deux cercles de rayonAB etACet le disque de rayonAD. Laquelle des deux zones coloriées possède l"aire la plus grande?ABCD

Exercice 1.5

On veut faire un paquet cadeau (voir dessin). On donneLAE25cm,lAE15cm,hAE12cm. Calculer la longueur de la ficelle

nécessaire sans les noeuds.LAE25 cmlAE15 cmhAE12 cmExercice 1.6 Imaginons que l"on entoure la Terre, au niveau de l"équateur, avec une ficelle, puis que l"on allonge cette longueur de ficelle d"un mètre. Quel sera l"espace libre ainsi créé entre la Terre et la ficelle? Même question pour une balle de tennis.Rr

Exercice 1.7

Une machine lance des fléchettes au hasard sur une cible circulaire inscrite dans un carré d"1mde côté. Certaines fléchettes

tombent dans le cercle, d"autres à côté (donc entre le cercle et les angles du carré). Un compteur qu"on initialise à 0 affiche

en permanence le nombre de fléchettesfqui ont atteint la cible. Aprèsntirs, on calcule le rapportf/n. Que va devenir ce

rapport quandndevient très grand?

6©G.Faccanoni- 2017-2018

Méthodologie disciplinaire

2.1 Pourcentages

2.1Définition (Pourcentage)

Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est 100.EXEMPLE ?1%AE1/100AE0.01 ?20% de 3kg correspond à 0.2£3kgAE0.6kg

2.2Définition (Pente)Sur les panneaux de signalisation routière ou sur les pistes de skis, l"inclinaison des pentes est généralement exprimée sous

la forme d"un pourcentage plutôt que celle d"un angle. On aurait tort de croire que cette valeur correspond directement

à une valeur d"angle. En réalité, la pente est définie comme une distance verticale (un dénivelé) divisée par la distance

horizontale correspondante : Pente (en %)AEDistance parcourue verticalementDistance parcourue horizontalement

Dans le cas d"une pente à 100%, chaque mètre parcouru horizontalement correspond à une montée d"un mètre verticale-

ment. L"angle entre la route et l"horizontale est alors de 45°, et non davantage comme on le croit parfois.86

penteAE68 AE75%

On verra plus tard, lorsqu"on aura abordé les fonctions trigonométriques, que le passage entre un angle®et la pente

correspondantepse fait grâce à la fonction tangente :tan(®)AEp. Ainsi, si®Ç45°alorspÇ100% tandis que si®È45°

alorspÈ100%. Réciproquement, on peut obtenir la pente à partir de l"angle correspondant grâce à la fonction inverse,

l"arc-tangente : arctan(p)AE®. Il est clair alors que lim®!90°pAEÅ1.

2.3Définition (Taux)

Le taux d"augmentation (ou de diminution) est le rapport de la partie augmentée (ou diminuée) à la valeur initiale. Il est

exprimé en pourcentage.EXEMPLE Lorsqu"on augmente une quantitéade 20% on obtient la quantitéaÅ0.2£aAE(1Å0.2)aAE1.2a. 7

2 Méthodologie disciplinaire

FIGURE2.1- C onfusionent reaugmen tationet réduction e npour centage.EXEMPLE

£100%AE0.6£100%AE

60% de mammifères dans le zoo.

2. AE100

reptiles. On peut également imaginer ce problème en tant que proportionnalité : si 2000 animaux correspondent à

100%, combien d"animaux correspondent à 5%? Ainsi on crée une proportion :2000100

AE5x d"oùxAE100. 3.

Toujours dans le même zoo, parmi les 2000 animaux, 25% sont des oiseaux et 3% des oiseaux sont des aigles. On

obtient alors 2000£25%£3%AE2000£25100

£3100

AE15 aigles dans le zoo.

Une année s"est écoulée dans le zoo, et le nombre d"animaux est devenu 2030 :2030¡20002000

£100%AE302000

£100%AE1.5%

est le taux de croissance du nombre d"animaux. 5.

Le nombre de reptiles dans le zoo, comme on l"a vu, est de 100. Après un an, leur nombre a augmenté de 15%, mais

l"année suivante il a diminué de 11%. On veut calculer le nombre de reptiles à la fin de la deuxième année. Le réflexe

presque naturel serait d"ajouter 15%, en déduire 11% et ainsi obtenir 104 reptiles, mais c"est faux. La solution correcte

se présente de cette façon : ?1ère année : 100£(1Å15%)AE100£115100

AE115,

?2ème année : 115£(1¡11%)AE115£89100

AE102.

La réponse est 102.EXEMPLE

Un prix subit trois augmentations annuelles successives :10%,50%et90%.

Pour calculer le pourcentage d"augmentation global durant ces trois ans, on multiplie le prix par 1.1£1.5£1.9AE3.135.

Cela correspond à une augmentation global de 213.5%.

1.464. Donc l"augmentation annuelle moyenne est environ 46.4%. On remarque que si on avait pris la moyenne

arithmétique de 10%, 50% et 90%, on aurait obtenu un résultat trop grand, à savoir 50%.EXEMPLE

Si on vous propose de diminuer votre salaire de 50% et ensuite de l"augmenter de 80%, le salaire est multiplié par (1¡0.5)£

(1Å0.8)AE0.9. Cela correspond à une diminution global de 10%.TVA

La taxe sur la valeur ajoutée (TVA) s"applique sur le coût "initial» d"un produit, dit "hors taxe» (HT). En France,

quand la TVA est applicable, son taux atteint le plus souvent soit 19.6%, soit 5.5%. Le montant de la TVA égale alors le prix

HT multiplié par le taux de TVA. Le prix "toutes taxes comprises» sous-entend le prix HT majoré du montant de la TVA.EXEMPLE

TTC, on peut multiplier le prix HT directement par 1.055 si le taux de TVA est 5.5% (i.e.1Å5.5%), ou par 1.196 si le

taux de TVA est 19.6% (i.e.1Å19.6%).

2 Méthodologie disciplinaire

Quel est son prix HT, si le taux de TVA applicable à ce type de produits est de 19.6%? Pour trouver le prix HT à partir

du prix TTC, il suffit de diviser soit par 1.055 si le taux de TVA est 5.5%, soit par 1.196 si le taux de TVA est 19.6%. Ainsi

?Pour appliquer un taux de pourcentagep% à un nombrexon le multiplie parp100 ?Le taux de pourcentage dexpar rapport àyest égale àxy

£100.

?Pour augmenter un nombrexdep%, on le multiplie par 1Åp100 ?Pour diminuer un nombrexdep%, on le multiplie par 1¡p100

?Pour une augmentation dep%, la valeur initiale est égale à la valeur finale divisée par 1Åp100

?Pour une diminution dep%, la valeur initiale est égale à la valeur finale divisée par 1¡p100

?Pour composer (enchaîner) les pourcentages, il ne faut pas les ajouter.

2.2 Proportionnalité et règle de trois

La règle de trois est une recette utilisée pour calculer dans des situations de proportionnalité. Son symbole, une croix, n"est

pas très intuitif pour décrire une situation que les mathématiciens qualifient de linéaire et qu"ils représentent par une

droite. C"est une notion subtile qui se rapproche de celle de fraction.

Une situation est proportionnelle lorsque des parts égales contribuent au tout de la même façon.EXEMPLE

Supposons que pour faire des crêpes pour 8 personnes, il faille250gde farine, 4 oeufs, un demi-litre de lait et50gde beurre.

En divisant en deux parts égales tous les ingrédients, on pourra faire des crêpes pour 4 personnes. Si l"on n"était que 2,

on pourrait à nouveau diviser ces quantités en 2, c"est-à-dire :62.5gde farine, 1 oeuf,125mLde lait et12.5gde beurre. Si

nous faisons 4 tas comportant chacun cette liste d"ingrédients, nous pouvons faire, avec chacun d"eux, des crêpes pour 2

personnes. Avec deux tas, nous retrouvons nos quantités pour 4 personnes et avec 4 tas, nos quantités pour 8 personnes. Et

ainsi, si nous étions 6 personnes, il suffirait de prendre 3 de ces tas.

Comme l"oeuf n"est pas divisible en deux parties, avec cette idée, on peut trouver la quantité d"ingrédients pour faire des

crêpes pour un nombre pair de convives en prenant autant de tas qu"il y a de couples de convives. Si nous étions un nombre

impair, il faudrait soit en prévoir un peu moins, soit un peu plus que la quantité prévue par la recette.

Cette situation peut se résumer par un tableau de proportionnalitéNombre de convives 2 4 6 8

Farine 62.5g 125g 187.5g 250g

OEufs 1 2 3 4

Lait 0.125L 0.25L 0.375L 0.5L

Beurre 12.5g 25g 37.5g 50g2.4Définition (Grandeurs proportionnelles)

On peut dire que deux grandeursxetysont proportionnelles s"il existe un nombremtel queyAEmx(le nombremest le

coefficient de proportionnalité).Remarque Une proportion représente une égalité de deux fractions : ab AEcd

La qualité notable de la proportion est le fait que les produits des membres "en croix» sont égaux entre eux. Pour la

proportion ci-dessus adAEbc.

Ceci signifie également qu"on peut échanger les places des membres "en croix» de la proportion, sans que l"égalité perde

son sens :ab AEcd ()db AEca ()dc AEba ()ac AEbd

2 Méthodologie disciplinaire

EXEMPLEJohann gagne de l"argent en été en tondant les gazons de ses voisins. Il est payé pour ses services par mètre carré de gazon

services de Johann si son gazon mesure 35m2? AEy5 avecxÅyAE2400 : x7 AEy5 xÅyAE2400,AE)( x7

AE480¡x5

yAE2400¡x,AE)(xAE1400, yAE1000.Échelle

La proportionnalité est également utilisée dans la notion de l"échelle. L"échelle d"une carte ou d"un plan est

notée normalement en format "1¥a», oùaindique le taux de réduction du plan par rapport au terrain réel :

échelleAElongueur sur le dessinlongueur réellequotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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Recueil d"exercices.

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Table des matières

Notations2

1 Formulaires de géométrie4

2 Méthodologie disciplinaire7

3 Éléments de logique et notions fondamentales de la théorie des ensembles30

4 Fonctions d"une variable réelle34

5 Suites numériques et limites42

6 Limites et continuité48

7 Dérivabilité52

8 Plan d"étude d"une fonction numérique61

9 Primitives et Intégrales64

10 Équations différentielles ordinaires (EDO)69

Notations

Ensembles usuels en mathématiques

Nl"ensemble des entiers naturels

Ql"ensemble des nombres rationnels³pq

Rl"ensemble des réels

Cl"ensemble des nombres complexes

Intervalles

Symboles utilisés dans le document

Notations

Èstrictement supérieur

Çstrictement inférieur

¸supérieur ou égal

·inférieur ou égal

6AEdifférent

´équivaut (équivalence logique)

2appartient

62n"appartient pas

8pour tout (quantificateur universel)

9il existe (quantificateur universel)

69il n"existe pas

9!il exi steu net un seul

½est sous-ensemble (est contenu)

AE)si ... alors; implique

1infiniRsymbole d"intégralePn

0,d fdx

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Formulaires de géométrie

1.1 Formulaire de géométrie plane``PérimètrepAE4`

AireAAE`2bhPérimètrepAE2(bÅh)

AireAAEbhrPérimètrepAE2¼r

AireAAE¼r2h

2PérimètrepAEbÅhÅi

AireAAEbh2

2PérimètrepAEaÅbÅc

AireAAEbh2

AireAAE(BÅb)h2

Théorème de Pitagore2

2AEa2Åb2,

2AEh2Ån2,

2AEh2Åm2

Premier théorème d"Euclide

Deuxième théorème d"Euclideh2AEnm

1 Formulaires de géométrie

1.2 Formulaire de géométrie solide

Surface totaleStotAE6`2

VolumeVAE`3ac

Surface totaleStotAE2(abÅacÅbc)

VolumeVAEabc``haSurface latéraleSlatAE2`a

Surface totaleStotAE2`aÅ`2

VolumeVAE`2h3

Surface totaleSlatAE2¼rhÅ2¼r2

VolumeVAE¼r2hrSurface totaleStotAE4¼r2

VolumeVAE43

¼r3

2?Exercice 1.2La piste de course d"un stade entoure le terrain qui a la forme d"un rectangle dont les deux côtés sont dotés de demi-cercles.

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1 Formulaires de géométrie

Exercice 1.5

Exercice 1.7

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Méthodologie disciplinaire

2.1 Pourcentages

2.1Définition (Pourcentage)