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E4 - R´eseaux lin´eaires en r´egimetransitoire / r´egime permanent continu

I D´efinitions

I.1 R´egime libre, r´egime transitoire et r´egime continu ♦D´efinition :On appelle •r´eponse libreour´egime libred"un circuit, l"´evolution de celui-ci en l"absence de tout g´en´erateur. •Le r´egime du circuit est ditcontinu(oustationnaire) lorsque toutes les grandeurs ´electriques du circuit (intensit´es, tensions) sont des constantes (du temps). •Entre le moment o`u toutes les sources sont ´eteintes et celui o`u le r´egime continu est ´etabli, on a unr´egime transitoire.

•Le r´eseau ´etant lin´eaire, l"´evolution de toute grandeur ´electrique (intensit´e, tension,

charge d"un condensateur...) est d´ecrite par une ´equation diff´erentielle lin´eaire `a coefficients constants de la forme : D ndnx dtn+Dn-1dn-1xdtn-1+...+D1dxdt+D0x=f(t) o`u l"ordrende l"´equation diff´erentielle d´efinitl"ordre du circuit. Nous ´etudierons les circuit d"ordre 1 et d"ordre 2. Ex :Circuit du 1erordre r´egit par l"´equation : RC du dt+u=e(t) On montre, en math´ematiques, que la solution g´en´erale d"une telle ´equation se met toujours sous la forme : i e(t)u CqR u(t) =uG???? r´egime libre (transitoire)+uP???? r´egime forc´e impos´e par la source •O`u :

-uGest la solution g´en´erale de l"´equation homog`ene (i.e.´equation sans second membre) : elle

correspond au r´egime libre du circuit (absence de source detension ou de courant).

-uPest une solution particuli`ere de l"´equation avec second membre : elle correspond au r´egime

forc´e impos´e par la source. •Tant que|uG(t)|≂|uP|, on est dans le domaine du r´egime transitoire. Lorsque|uG|?|uP|, le r´egime forc´e est ´etabli (ici, r´egime continu). I.2

´Echelon de tension

Un g´en´erateur d´elivre un ´echelon de tension lorsque la tension `a ses bornes a la forme suivante :

e(t) E t 00 ?pourt <0 :e(t) = 0 pourt >0 :e(t) =E0

Une telle tension provoque dans un circuit l"apparition d"un r´egime transitoire puis d"un r´egime

permanent continu. Cette ´evolution du circuit porte le nomder´eponse `a un ´echelon de tension

our´eponse indicielle.

E4II. Circuit RL s´erie2008-2009

II Circuit RL s´erie

II.1´Etude th´eorique de l"´evolution du courant :

Nous allons ´etudier la r´eponse indicielle d"un circuit RLs´erie, puis son r´egime libre.

a Montage : Dans le circuit ci-contre, la loi des mailles s"´ecrit : -e+Ri+Ldi dt= 0. Soit :didt+RLi=e(t)L(E) C"est une ´equation diff´erentielle lin´eaire du 1 erordre `a coef- ficients constants et avec 2 ndmembre. i eL R ♦D´efinition :L"homog´en´eit´e de la relation imposeτ=LRhomog`ene `a un temps : c"est letemps caract´eristique / constante de tempsdu circuit RL. b´Etablissement du courant : •e(t) est un ´echelon de tension, soit?t <0 :e(t) = 0 t≥0 :e(t) =E0 At≥0, l"´equation diff´erentielle s"´ecrit :di dt+RLi=E0L(1) e(t) E t 00 →La solution de (1) s"´ecrit :i=iG+iP.

Rappel :

dx dt+kx= 0?xG=Ae-ktavecA?R.

Ici :iG=Ae-R

Lt=Aexp?

-tτ?etiP=cte(puisque le second membre de (1) est constant)

DonciPdoit v´erifierdiP

dt+RLiP=E0L, d"o`uiP=E0R. Finalement :i=E0R+Ae-R Lt.

•Pour d´eterminer la constante d"int´egrationA,on a besoin d"une condition initiale(C.I.),

c"est-`a-dire la valeur de l"intensit´ei`a une date donn´eet≥0. On note la date" Juste avantt= 0»comme suit :t= 0-. On note la date" Juste aprèst= 0»comme suit :t= 0+. On suppose, par exemple, qu"ent= 0-il n"y a aucun courant dans le circuit. La condition initiale s"´ecrit donc :i(0-) =i0= 0.

•Or, on sait quele courant traversant une bobine est une fonction continue du temps(ÜCf Cours

E2-I.2)).→D"o`u :i(0+) =i(0-) =i0= 0, par continuit´e de l"intensit´ei.

On a donc :i(0+) =?

i(0-) =i0= 0 i(t= 0+) =E0

R+Ae-R

L0?A=-E0R.

Conclusion :i=E0

R(1-e-R

Lt)

Lorsquet→ ∞,i→E0R=I0:

ler´egime transitoires"efface et laisse place aur´egime permanent continu.

Régime

forcé continuRégime transitoire ti(t) ~5tt0 E0 RI0=

2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

2008-2009II. Circuit RL s´erieE4

•Par suite :didt=E0Le-R

Lt, soit?didt?

t=0=E0L Donc, l"´equation de la tangente `a la courbe enO(0,0) est :y=E0 Lt.

On ay=I0=E0

Rpourt=LE0E

0R=LR=τ.

zPropri´et´e :On se rend compte queτ=LRdonne unordre de grandeur de la dur´ee du r´egime transitoire.

Ordre de grandeur :?L?10-3H

R?103Ω?τ?10-6s...c"est tr`es faible : le r´egime transi- toire ?s"éteint » rapidement. • Représentation deuLtension aux bornes de la bobine :uL=Ldi dt=LE0Le-R Lt, soit :uL=E0e-R

Lt=E0exp?

-tτ?.

Pendant le régime transitoire, la bobine

cherche à 'contrer" la tension du générateur en imposant une tension de sens opposé (loi de

Lenz).

En régime établi (régime permanent continu), u

L= 0.On retrouve qu"en régime continu la

bobine se comporte comme un fil conducteur. tu (t) L 0E 0

Régime

transitoireRégime forcé continu ~5tt c Extinction de la source (´etude du r´egime libre) : e(t)E t

00Pour simplifier les calculs, on réinitialise le temps :?pourt <0:e(t) =E0

pourt≥:e(t) = 0 • Le montage se ramène alors à→

La loi des mailles s"écrit, pourt≥0:Ldi

dt+Ri= 0(E). C"est une équation différentielle linéaire du 1 erordre à coefficients constants et sans 2 ndmembre.iL R • La solution s"écrit :i=Be-RLtavecB?R. De plus, par continuité de l"intensité traversant la bobine, on a : i(0+) =? i(0-) =I0=E0 Ri(t= 0+) =B?d"où :B=E0R. Finalement :i(t) =E0Re-R Lt. Cl :donc la tension aux bornes de la bobine est :uL=Ldi dt=LE0R? -RLe-R Lt? soit :uL=-E0e-R Lt. On se rend compte que lerégime libreest unrégime transitoirede durée de l"ordre du temps caractéristique du circuit RL sérieτ=L R: au bout de " quelques »τ,i→0etuL→0. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3

E4II. Circuit RL s´erie2008-2009

ti(t) I0 -Eu L 0 tt t

II.2´Etude exp´erimentale

• Le GBF délivre un signal " créneaux » de périodeT≈20τ. te(t) E t 0

1020 30 40

T=20t • Courbes observées :

Rq :On retrouve

que l"intensité traver- sant une bobine est une fonction continue du temps, ce qui n"est pas le cas de la tension

à ses bornes.

ti(t) E uL 0t I0 tt

1020 30 40

10 2030
40
-E 0 Pour pouvoir observer à la foisuR=Ri(afin d"observer une grandeur propor- tionnelle ài) etuLen même temps, il faut placer la 'masse" de l"oscilloscope (borne commune aux voies 1 et 2) entre la résistanceRet la bobineL. Or la masse d"un oscilloscope est une masse 'carcasse" reliée à laTERRE. Ce qui est le cas également de la masse de la plupart des GBF! Si on ne fait pas attention on risque donc de court-circuiter la bobine (ou la résistance), provoquant une forte intensité et la destruction du composant.

Pour que le montage fonctionne, il faut donc :

- soit utiliser un GBF sans prise de terre (on parle de générateur à " masse flottante »; cf. ci- contre) GBF xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxx

Voie 1

Voie 2

GBF xxxxxxxxxxxxxxxxxx

Voie 1

Voie 2

RR

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2008-2009II. Circuit RL s´erieE4

- soit utiliser un transforma- teur d"isolement (ci-contre) GBF xxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx

Voie 1

Voie 2R

LRi-u iL Rq :Pour visualiseruL(et non pas-uL) sur laVoie 2il suffit d"appuyer sur la touche INV de la voie 2 de l"oscilloscope.

II.3´Etude ´energ´etique

a Puissance instantan´ee re¸cue par la bobine : La puissance fournie par le générateur au reste du circuit vaut : P fournie=e.i (On suppose la source de tension idéale, donc sans résistance interne.) i eL R D"après la loi des mailles :e=Ri+Ldidt, d"où : P fournie=Ri2???? puissance dissipée par effetJouledans R+d dt?

12Li2?

P

Lpuissance reçue par la bobine

b´Etablissement du courant : • on définitt0?τ; ainsi, à la datet0, on est enrégime continu, soit :i(t0) =I. •Calcul de l"énergie emmagasinéeELpar la bobine entret= 0ett0:

On a, par définition :PL=dEL

dt ?EL=? t0 0P Ldt=? t0 0d dt?

12Li2?

dt=? ?1 2Li2? ?t 0 0=1

2L.i(t0)2-0 =12LI2?EL=12LI2

zPropri´et´e :Cette ´energie est stock´ee dans la bobinetant qu"on est en r´egime permanent

continu. c Extinction de la source : noi • on réinitialise le temps : ainsi, la datet= 0corres- pond à l"extinction de la source, soit :i(t= 0-) =I.

Cette fois, àt=t0, l"intensité est nulle.

•Calcul de l"énergieERdissipée dansRpar effet Joule entret= 0ett0: ti(t) I0 t t >t0> À tout instantt, on a la relation :PJ=Ri2=dERdt.

Par suite :ER=|ER(t)|t00=?

t0

0dER(t)

dtdt=? t0 0P

Jouledt=?

t0

0Ri2dt

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E4III. Circuit RC s´erie2008-2009

Or le circuit est équivalent au circuit ci-contre.

Donc :Ri=-Ldi

dt?Ri2=-Li.didt=-ddt?

12Li2?

Finalement :

E R=? t0 0-d dt?

12Li2?

dt=? ?-1

2L.i2?

?t 0

0= 0-?

-1 2LI2? iL R

Cl :ER=12LI2=EL.

zpropri´et´e :Toute l"´energie stock´ee dans la bobine id´eale estint´egralementrestitu´ee et a ´et´e

(ici) dissip´ee par effetJoule.

III Circuit RC s´erie

III.1´Etude th´eorique de la charge et de la d´echarge d"un condensateur a Montage : i e(t)u CqR La loi des mailles s"écrit :-e+Ri+qC= 0, aveci=dqdt.

Les deux équations se combinent pour donner :

dq dt+1RCq=eR

C"est une équation différentielle linéaire du 1erordre à coefficients constants et avec 2ndmembre.

♦D´efinition :L"homog´en´eit´e de la relation impose

τ=RChomog`ene `a un

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