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[PDF] FONCTIONS COSINUS ET SINUS - maths et tiques

Le cosinus du nombre réel x est l'abscisse de M et on note cos x - Le sinus du 2) Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus : x 0 π 6 π 4 π 3 π 2

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Trigonométrie : le cosinus I Rappels 1/ Vocabulaire des triangles rectangles Définition Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit

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Définition Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient du côté par l'hypoténuse On note cos La valeur du cosinus d'un 

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Définition : Les coordonnées du point M sont : (cos ; sin ) Les cosinus de noté cos est l'abscisse du point M

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26 jui 2013 · Définition 3 : On appelle fonctions sinus et cosinus les fonctions respectives : La fonction cosinus est paire : ∀x ∈ R cos(−x) = cos x

[PDF] Chapitre 11 Fonctions sinus et cosinus - Maths-francefr

a est un réel de l'intervalle π 2 ,π dont le sinus est égal à 3 5 Calculer son cosinus Solution cos2(a) = 1 − sin2(a) = 1 − 35 2

[PDF] Table trigonométrique (de cosinus)

Table trigonométrique (de cosinus) angles (◦ ) cosinus 0, 0◦ 1, 000000 0, 5◦ 0, 999962 1, 0◦ 0, 999848 1, 5◦ 0, 999657 2, 0◦ 0, 999391 2, 5◦

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Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le sinus, le cosinus et la tangente de l'angle aigu ABC de la manière suivante : sin ABC = coté opposé à ABC

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les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d'un angle aigu et les longueurs de deux côtés du triangle Utiliser la calculatrice pour déterminer des

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1) Définition du cosinus Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur 

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YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1FONCTIONS COSINUS ET SINUS I. Rappels 1) Définitions : Dans le plan muni d'un repère orthonormé

O;i ;j

et orienté dans le sens direct, on considère un cercle trigonométrique de centre O. Pour tout nombre réel x, considérons le point N de la droite orientée d'abscisse x. À ce point, on fait correspondre un point M sur le cercle trigonométrique. On appelle H et K les pieds respectifs des perpendiculaires à l'axe des abscisses et à l'axe des ordonnées passant par M. Définitions : - Le cosinus du nombre réel x est l'abscisse de M et on note cosx. - Le sinus du nombre réel x est l'ordonnée de M et on note sinx. Propriétés : Pour tout nombre réel x, on a : 1)

2)

3) cos2 x + sin2 x= 1 2) Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus : x 0

6 4 3 2 cosx 1 3 2 2 2 1 2

0 -1 sinx

0 1 2 2 2 3 2 1 0

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2II. Propriétés des fonctions cosinus et sinus 1) Périodicité Propriétés : 1)

cosx=cosx+2kπ où k entier relatif 2) sinx=sinx+2kπ où k entier relatif Démonstration : Aux points de la droite orientée d'abscisses x et x+2kπ

ont fait correspondre le même point du cercle trigonométrique. Remarque : On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période

2π

. Conséquence : Pour tracer la courbe représentative de la fonction cosinus ou de la fonction sinus, il suffit de la tracer sur un intervalle de longueur

2π

et de la compléter par translation. Méthode : Résoudre une équation trigonométrique Vidéo https://youtu.be/PcgvyxU5FCc Résoudre dans

l'équation cos 2 x= 1 2 cos 2 x= 1 2 ⇔cos 2 x- 1 2 =0 ⇔cosx- 2 2 cosx+ 2 2 =0 ⇔cosx= 2 2 ou cosx=- 2 2 ⇔cosx=cos 4 ou cosx=cos 3π 4

Ainsi :

S= 4 +2k 1 4 +2k 2 3π 4 +2k 3 3π 4 +2k 4

πaveck

i

Soit :

S= 4 kπ 2 aveck∈!

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr32) Parité Propriétés : Pour tout nombre réel x, on a : 1)

cos(-x)=cosx 2) sin(-x)=-sinx

Remarque : On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire. Définitions : Une fonction f est paire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, -x appartient à D et

f(-x)=f(x)

. Une fonction f est impaire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, -x appartient à D et

f(-x)=-f(x)

. Conséquences : - Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. - Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine. Méthode : Etudier la parité d'une fonction trigonométrique Vidéo https://youtu.be/hrbgxnCZW_I Démontrer que la fonction f définie sur

par f(x)=sinx-sin2x est impaire. Pour tout x réel, on a : f(-x)=sin-x -sin-2x =-sinx+sin2x =-f(x)

. La fonction f est donc impaire. Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine du repère. 3) Autres propriétés Propriétés : Pour tout nombre réel x, on a : 1)

cosπ+x =-cosx et sinπ+x =-sinx 2) cosπ-x =-cosx et sinπ-x =sinx 3) cos 2 +x =-sinx et sin 2 +x =cosx 4) cos 2 -x =sinx et sin 2 -x =cosx

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4 III. Dérivabilité et variations 1) Dérivabilité Propriété : Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables en 0 et on a : cos'(0) = 0 et sin'(0)=1. - Admis - Théorème : les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur

et on a : cos'(x) = -sin(x) et sin'(x) = cos(x) Démonstration : - Soit x un nombre réel et h un nombre réel non nul.

cos(x+h)-cosx h cosxcosh-sinxsinh-cosx h =cosx cosh-1 h -sinx sinh h Or, cosinus et sinus sont dérivables en 0 de dérivées respectives 0 et 1 donc : lim h→0 cosh-1 h =0 et lim h→0 sinh h =1 donc lim h→0 cos(x+h)-cosx h =-sinx . - Soit x un nombre réel et h un nombre réel non nul. sin(x+h)-sinx h sinxcosh+cosxsinh-sinx h =sinx cosh-1 h +cosx sinh h Donc lim h→0 sin(x+h)-sinx h =cosx . 2) Variations x 0 π cos'x=-sinx

0 - 0

cosx

1 -1 x 0

2 sin'x=cosx

1 + 0 - -1

sinx

1 0 0

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr5 3) Représentations graphiques Fonction cosinus Fonction sinus Méthode : Etudier une fonction trigonométrique Vidéos dans la Playlist : https://www.youtube.com/playlist?list=PLVUDmbpupCappSbh79E9sYg99vU5b_nBy On considère la fonction f définie sur

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