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Un vecteur est une entité mathématique définie par une origine, une direction, un sens et une intensité : ❖ L'origine : le point d'application ❖ La direction : la 

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18 juil 2012 · Adrien-Quentin Buée, chanoine honoraire de Notre-Dame, mort en 1825 à 80 ans ; versé dans les sciences, il publia des écrits mathématiques ; 

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Calculer les normes de u, v et w, puis les produits scalaires u v, u w, v w Exercice 3 L'espace `a trois dimensions R3 est muni d'un rep`ere orthonormé 

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Addition de vecteurs Multiplication d'un vecteur par un réel Barycentre Produit scalaire Produit vectoriel Cours BTS Calcul vectoriel S B Lycée des EK

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Pour calculer le produit vectoriel, il suffit de se rappeller que : −→ ı ×−→ = −→ Le produit vectoriel permet de calculer l'aire d'un triangle : aire(ABC) = 1 2

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− sont deux vecteurs qui ont même direction, même norme et des sens opposés Page 5 IIe B – math I – chapitre III – Calcul vectoriel dans l'espace

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Chapitre I : Rappels mathématiques Calcul vectoriel I- Notion de vecteur 1- Définition Un scalaire est un nombre positif, négatif ou nul, utilisé pour représenter 

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AB = (xB − xA,yB − yA,zB − zA) Ainsi, un vecteur correspond `a une infinité de paires de points (ses représentants) Proposition 7 1 1 Relation de Chasles 

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Chapitre I : Rappels mathématiques

1

Chapitre I : Rappels mathématiques

Calcul vectoriel

I- Notion de vecteur

1- Définition

Un scalaire est un nombre positif, négatif ou nul, utilisé pour représenter des quantités diverses :

Un vecteur est caractérisé par quatre caractéristiques à savoir

segment orienté. Il est défini par une direction, un sens sur cette direction et une longueur. Cette

sens et même module : ils représentent le même vecteur

2- Vecteur unitaire

Chaque vecteur unitaire ܷ

Chapitre I : Rappels mathématiques

2

II -Opérations sur les vecteurs

1- Addition de deux vecteurs

Des vecteurs peuvent être additionnés pour former un autre vecteur appelé vecteur somme ou vecteur résultant.

2- Soustraction de deux vecteurs

vecteur

Chapitre I : Rappels mathématiques

3 III - Pour pouvoir déterminer les coordonnées de n'importe quel vecteur, il faut choisir au

préalable un repère qui est un couple de vecteurs non colinéaires appelé base. On peut alors

décomposer tous les autres vecteurs du plan en fonction de ces deux vecteurs et cette décomposition

représentation nécessite de repérer ces points.

Pour repérer une position il faut choisir un repère. Les repères sont des trièdres orientés.

Système de coordonnées cartésiennes

coordonnées (x,y,z). ces vecteur unitaire. Le repère est orthonormé, c'est-à-dire que les vecteurs un orthogonaux entre eux. représentation à deux dimensions :

Dans ce repère orthonormé direct un point M est repéré par ses coordonnées cartésiennes

(x,y) . Le écrit alors :

Chapitre I : Rappels mathématiques

4 trois dimensions :

Le vecteur position ܯܱ

Lorsque les coordonnées x, y ou z de M subissent une variation élémentaire dx, dy ou dz, le point

M se déplace respectivement de dx suivant (ox) , dy suivant (oy) ou dz suivant (oz). Ainsi, le tes dx, dy et dz dV=dx . dy .dz z y y

Chapitre I : Rappels mathématiques

5

Coordonnées cylindrique

Chapitre I : Rappels mathématiques

6 Si on repère la position M par les coordonnées cylindriques (r,ș, z). - r : représente la distance du - ș : Définit la position du point M autour de Oz ș angle compris entre 0 et 2ʌ) ; - z : représente la cote du point M. (H alors :

Lorsque les coordonnées r, ș ou z de M subissent une variation élémentaire dr, d ș ou dz. Le volume

élémentaire dV est un petit paraș et dz

dV= dr . dș . dz

Coordonnées sphériques

Si le mouvement de M est circulaire suivant tous les axes on utilise les coordonnées sphériques (r,

Chapitre I : Rappels mathématiques

7

ș et ij : définissent la direction dans laquelle, depuis le point O, on voit le point M (ș

angle compris entre O et ʌ, ij angle compris entre 0 et 2ʌ).

Le vecteur

Lorsque les coordonnées r, ș ou z de M subissent une variation élémentaire dr, d ș ou dij. Le volume

r dș et r sin(ș) dij dV=dr . r dȟ. r sinȟ dȭ

Chapitre I : Rappels mathématiques

8 Soient deux positions M1(x1,y1) et M2(x2,y2), le vecteur formpar expression suivante

Son module est :

IV- Produit scalaire entre deux vecteurs

Soient deux vecteurs et leur produit scalaire est un produit qui donne comme résultat un scalaire

Chapitre I : Rappels mathématiques

9

Tel que Į

Ce produit admet quelques propriétés tel que : scalaire donne

V -Produit vectoriel

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10 le sens est donné par la règle des trois doigts de la main droite sa norme vaut:

Tel que Į

Propriétés:

Le produit vectoriel peut être calculé par la méthode directe en coordonnées cartésiennes dans un

repère orthonormé direct :

Chapitre I : Rappels mathématiques

11 Il peut être aussi déterminer par la méthode du déterminant

Signification géométrique

Le module ቛܸ

Chapitre I : Rappels mathématiques

12

VI- Produit mixte

du troisième vecteur et du produit vectoriel des deux premiers : Comme le volume du parallélépipède peut être évalué à parti faces, on a : m = ( ܿԦܽ רԦ) . ܾ Comme le produit scalaire est commutatif, on peut écrire : vectorielle.

VII- Fonction à plusieurs variables

En Physique, nous avons souvent à étudier les fonctions de plusieurs variables indépendantes.

Nous nous limiterons à trois notées x , y et z mais les résultats sont facilement généralisables.

Soit une fonction f (x, y ,z), nous appellerons différentielle de f (notation df ) la dérivée de f par

Chapitre I : Rappels mathématiques

13 Avec A noter que la dérivée partielle de f(x, y, z) f(x, y, z) par rapport à une variable en considérant les autres variables comme des constantes. Il existe des fonctions algébriques et des fonctions vectorielles à plusieurs variables

Fonction algseule

variable : y = f(x) Fonction à plusieurs variables qui dépendent de deux ou plusieurs variables g = f(x, y) deux variables g = f(x, y, z) trois variables

Sa différentielle

dg = df(x, y, z)

Exemple

: La dérivée partielle de f par rapport à x : La dérivée partielle de f par rapport à y : La dérivée partielle de f par rapport à z

Chapitre I : Rappels mathématiques

14

Soit la fonction suivante

f(x,y,z)=x²-yz sa différentielle totale est : df=2xdx-zdy-ydz. On vient de définir des fonctions algébriques à plusieurs variables. Il existe aussi des fonctions vectorielles à plusieurs variables :

Opérateurs

nabla qui est un vecteur qui agit sur les fonctions 1. et on appelle opérateur résultant dans ce cas gradient on le note par grad(f)..

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15 2.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13