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Électronique en régime sinusoïdal forcéÉlectronique 5 - Travaux dirigésLangevin-Wallon, PTSI 2017-2018

Électronique en régime sinusoïdal forcé

Exercices

Exercice 1 : Détermination d"impédances []

Déterminer l"impédance complexe des dipôles ci-dessous. Écrire les résultats sous forme d"une unique fraction, en

faisant apparaître des quantités adimensionnées telles queRCω,Lω/RetLCω2.Les trois premiers circuits sont simples et doivent être traités sans difficulté. Les deux derniers donnent

des résultats un peu plus compliqués.1 -IR

CU2 -IC

LU3 -IR

LCU 4 -IC 1LC

2U5 -IRC

RCU Exercice 2 : Équivalence entre dipôles RL []L ?R ?L RLes dipôles ci-contre sont étudiés en régime sinusoïdal forcé de pulsationω.

1 -Déterminer en fonction deωles valeurs deR?etL?pour lesquelles les deux dipôles sont

équivalents.

2 -Si l"on remplace la bobineL?par un condensateurC?, peut-il encore y avoir équivalence?

Commenter.

Exercice 3 : Alimentation d"un électroaimant de levage []i ?R i

LCélectro-

aimantUn électroaimant de levage est un dispositif industriel permettant de soulever des pièces métalliques à partir de champs magnétiques intenses. On étudie un tel appareil en le modélisant électriquement par une bobine d"inductanceL= 1,25Hdont les spires ont une résistance interneR= 1Ω. Cette bobine est traversée par un couranti sinusoïdal de fréquencef= 50Hzdont l"amplitudeIm= 30Aest imposée pour le bon fonctionnement du dispositif.

Ce courant étant de forte puissance, les pertes par effet Joule dans les câbles d"alimentation de l"électroaimant

sont non négligeables. Pour les diminuer, une méthode usuelle consiste à installer un condensateur de capacitéCen

parallèle de l"électroaimant. On note alorsi?l"intensité du courant dans les câbles d"alimentation du dispositif, dont

l"amplitudeI?mest inférieure à l"amplitudeImdu courant qui traverse l"électroaimant.

1 -Exprimer l"amplitude complexeI?en fonction de l"amplitude complexeI.

2 -Calculer la valeurCà donner au condensateur pour minimiser l"amplitudeI?mtout en conservantImfixée. On

pourra raisonner surI?m2.

3 -Calculer numériquement la valeur deI?mdans la configuration optimale. Commenter.

4 -À quel dipôle l"association électroaimant-condensateur est-elle équivalente à la fréquence de travail?

5 -Calculer la tension aux bornes de l"électroaimant. Dépend-elle deC? Conclure en termes de puissance fournie.

1/2Étienne Thibierge, 14 janvier 2018,www.etienne-thibierge.fr

TD E5 : Électronique en régime sinusoïdal forcé Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018

Exercice 4 : Obtention d"une équation différentielle []R2RC2CeuEn utilisant les complexes, montrer que la tensionuest solution de l"équa-

tion différentielle

4τ2d2udt2+ 5τdudt+u=e,

en posantτ=RC.

Exercice 5 : Mesure à l"ampèremètre []

Dans le circuit ci-dessous alimenté par une tensionuABsinusoïdale, il existe une pulsation particulièreωpour

laquelle l"ampèremètre en mode AC affiche la même valeur lorsqueK1etK2sont ouverts, lorsqueK1est ouvert

etK2fermé, et lorsqueK1est fermé etK2ouvert. On rappelle qu"un ampèremètre réglé en mode AC affiche la

valeur efficace du courant qui le traverse.Montrer que cette pulsation n"existe que si

R=?3L2C

et qu"elle vaut alors c=1⎷2LC.Annale de concours Exercice 6 : Double circuit RC en régime sinusoïdal [oral banque PT,]2CC R i(t)e 1(t)e

2(t)Déterminer la réponse temporellei(t)pour

e

1(t) =Ecos(ωt);

e

2(t) =Ecos(ωt+ 2π/3);

ω = 1/RC.

2/2Étienne Thibierge, 14 janvier 2018,www.etienne-thibierge.fr

Électronique 5 - Correction des travaux dirigésLangevin-Wallon, PTSI 2017-2018

Électronique en régime sinusoïdal forcéÉlectronique 5 - Correction des travaux dirigésLangevin-Wallon, PTSI 2017-2018

Électronique en régime sinusoïdal forcé

Exercices

Exercice 1 : Détermination d"impédances

1Association série d"impédance équivalente

Z=ZR+ZC=R+1jCωdoncZ=

1 +jRCωjRCωR.2Association série, d"impédance équivalente

Z=ZL+ZC=jLω+1jCωdoncZ=

1-LCω2jCωRappel :1/j=-j.3L"association deLetCest en parallèle, il est donc a priori plus simple de calculer son admittance équivalente

Y

LC=YL+YC=

1jLω+jCω=1-LCω2jLω

L"impédance complexe de l"association parallèle vaut donc Z LC= 1Y LC=

jLω1-LCω2La factorisation est intéressante car elle permet de passer très facilement de l"admittance à l"impédance.

Enfin, l"association est montée en série avec une résistance, donnant une impédance complexe équivalente à

l"ensemble Z=ZR+ZLCsoitZ=R+jLω1-LCω2Une dernière factorisation est possible pour donner Z=

1 +jLω/R-LCω21-LCω2R.Cette dernière factorisation n"est pas forcément utile, car la forme non-factorisée sépare directement la

partie réelle de la partie imaginaire : tout dépend de ce que l"on veut faire du résultat.4L"association en parallèle de la bobine et du condensateurC2se traite comme à la question précédente et a pour

impédance équivalente Z LC2= jLω1-LC2ω2 Elle est montée en série avec le condensateurC1, donnant une impédance équivalente Z=

1jC1ω+jLω1-LC2ω2soitZ=

1-L(C1+C2)ω2jC1ω(1-LC2ω2)1/5Étienne Thibierge, 14 janvier 2018,www.etienne-thibierge.fr

Correction TD E5 : Électronique en régime sinusoïdal forcé Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018

5L"association en parallèle de la résistance et du condensateur a pour admittance équivalente

Y parr=YR+YC= 1R +jCω=1 +jRCωR soitZparr= 1Y parr=

R1 +jRCω

Cette association est montée en série avec une résistance et un condensateur, l"ensemble a donc comme impédance

équivalente

Z=ZR+ZC+Zparr=R+1jCω+R1 +jRCω=jRCω(1 +jRCω) + (1 +jRCω) +jRCωjCω(1 +jRCω) soit enfin Z=

1 + 3jRCω-R2C2ω2jCω(1 +jRCω)Exercice 2 : Équivalence entre dipôles RL

1L"impédance complexe du montage en série vaut

Z ?=ZL?+ZR?=jL?ω+R? De même, l"impédance complexe du montage en parallèle est telle que 1Z= 1ZL +1ZR =1jLω+1R soitZ= jRLωR+jLω

Les deux dipôles sont équivalents s"ils ont les mêmes impédances complexes. Il suffit donc pour trouverR?etL?

d"identifier les parties réelle et imaginaire deZetZ?. Écrivons doncZsous forme algébrique, Z=

2+L2ω2+jR2LωR

2+L2ω2.

Ainsi, il y a équivalence entre les deux dipôles pour R ?=RL2ω2R

2+L2ω2etL?=R2LωR

2+L2ω2.Remarquez que les deux dipôles ne sont donc pas équivalents tout le temps, mais seulement pour une

valeur précise de fréquence ... et siR?etL?sont choisis aléatoirement il n"y a même aucune raison que

l"équivalence existe.2SiL?est remplacée par un condensateur, l"impédance complexe de l"association série s"écrit

Z ?=R?+1jC?ω=R?-j1C La condition d"équivalence obtenue par identification des impédances devient R ?=RL2ω2R

2+L2ω2et-1C

?ω=R2LωR

2+L2ω2.

Néanmoins, comme toutes les grandeurs sont positives, la deuxième condition portant surC?ne peut jamais être

vérifiée. Il n"est pas possible d"avoir équivalence entre les deux dipôles :un circuit capacitif est fondamentalement

différent d"un circuit inductif. Exercice 3 : Alimentation d"un électroaimant de levage

1Les deux branches forment un diviseur de courant, d"où

II YRL YRL +YC =11 +ZRLYC =11 +jCω(R+jLω)

En inversant la relation,

I ?= 1 +jCω(R+jLω)I.

2/5Étienne Thibierge, 14 janvier 2018,www.etienne-thibierge.fr

Correction TD E5 : Électronique en régime sinusoïdal forcé Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018

2En développant,

I ??1-LCω2?+jRCω?Id"où en prenant le module I ?m2=?(1-LCω2)2+R2C2ω2?I2m Pour déterminer la valeur deCqui minimiseI?m, calculons la dérivée par rapport àC, dI?m2dC=?2×(1-LCω2)×(-Lω2) + 2R2ω2C?I2m= 2ω2?-L+L2Cω2+R2C?

La dérivée s"annule pour

C=LR

2+L2ω2= 8,1·10-6F.3En reprenant les résultats précédents,

I ?m=?(1-LCω2)2+R2C2ω2Im= 7,6·10-2A.

L"ajout du condensateur permet de diviser par 400 l"amplitude du courant qui alimente l"électroaimant, et donc de

réduire les pertes Joule en ligne par 16000!

4L"admittance équivalente à l"association s"écrit

Y=YRL +YC =1R+jLω+jCω soit en remplaçantCpar son expression Y=

1R+jLω+jLωR

2+L2ω2=R-jLωR

2+L2ω2+jLωR

2+L2ω2

et finalement Y= RR

2+L2ω2.

On y reconnaît l"admittance d"unerésistance, R

éq(ω) =R+L2ω2R

.5La tension aux bornes de l"électroaimant s"écrit

U= (R+jLω)I.

CommeIest le même avec et sans condensateur (à un déphasage près), alorsUne dépend pas deC, au même

déphasage près. On en conclut que l"ajout du condensateurne modifie pas la puissance fournie par le réseau

électriqueà l"électroaimant ... tout en diminuant considérablement les pertes en ligne.Complément culturel :Nous avons montré en cours que la puissance moyenne reçue par un dipôle

quelconque s"écrit ?P?=UeffIeffcos? avec?l"argument de l"impédance complexe du dipôle.

Ici, l"ajout du condensateur a permis de rendre le dipôle électroaimant + condensateur équivalent à

une résistance, c"est-à-dire d"avoir?= 0donccos?= 1. Comme la tension efficaceUeffdemeure fixée,

l"exercice a permis de constater que maximisercos?permet de minimiser l"intensité d"alimentationI?eff.

Cette méthode est très générale et porte un nom : on parle deredressement du facteur de puis-

sance, le facteur de puissance étant le nom donné àcos?. En France, la facturation électrique indus-

trielle dépend du facteur de puissance des usines : meilleur il est, plus les tarifs sont bas, car les pertes

en ligne sont moindres.3/5Étienne Thibierge, 14 janvier 2018,www.etienne-thibierge.fr

Correction TD E5 : Électronique en régime sinusoïdal forcé Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018

RI2RC I 22CI
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RFigure 1-Schéma des notations.

Exercice 4 : Obtention d"une équation différentiellequotesdbs_dbs5.pdfusesText_10