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Rappels de Statistique et d'Algèbre Linéaire

Emmanuel Duguet

Septembre 2010

table des matières

1 Moments empiriques et moments théoriques 2

1.1 Momentsempiriquesdesvecteurs.................. 2

1.1.1 Moyennearithmétique.................... 2

1.1.2 Varianceempirique...................... 3

1.1.3 Ecart-typeempirique..................... 3

1.1.4 Covarianceempirique .................... 4

1.1.5 Corrélationempirique .................... 4

1.2 Momentsempiriquesdesmatrices.................. 5

1.2.1 Moyennearithmétique.................... 5

1.2.2 Matricedecovarianceempirique .............. 5

1.3 Convergence en probabilité..................... 9

1.4 InégalitédeBienaymé-Chebichev.................. 10

1.5 Laloifaibledesgrandsnombres .................. 12

1.6 Théorèmedelalimitecentrale ................... 13

2 Algèbre linéaire 14

2.1 Calculmatriciel............................ 14

2.2 Matrices définiespositives...................... 15

2.3 ProduitsdeKronecker........................ 16

1

ANNEXE 1

Moments empiriques et

moments théoriques

1.1 Moments empiriques des vecteurs

Le but de cette section est de se familiariser avec les notations de calcul ma- triciel, car c'est sous cette forme qu'apparaissent le plus souvent les moments empiriques. Il faut donc savoir les simplifier quand on les recontre dans une expression.

1.1.1 Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique d'un vecteur colonne=(

1 2 0 peut se trou- ver sous les formes équivalentes suivantes : 0 h 0 0 Q=1 X =1 car on a : 0 1 2 1 1 1 1 2 X =1 et : 0 =(111) 1 1 1 =1+1++1| {z} fois 2 3

1.1.2 Variance empirique

La variance empirique de la sérienotéeV

()peut se trouver sous les formes

équivalentes :

V ()=1 X =1 2 =1 X =1 2 2 =1 0 0 Q( 2 car 1 2 1 2 ce qui implique : 0 1 2 1 2 1 2 2 2 2 X =1 2

En posant

=0on trouve : 0 X =1 2

1.1.3 Ecart-type empirique

()=pV 4

1.1.4 Covariance empirique

La covariance empirique entre le vecteur=(

1 2 0 et le vecteur= 1 2 0 Cov ()s'écrit : Cov ()=1 X =1 1 X =1 1 0 0 Q

En eet :

0 1 2 1 2 1 1 X =1

En posant

=0=dans l'expression précédente, on a : 0 X =1

On remarque de plus que lorsque=:

Cov ()=1 X =1 1 X =1 2 =V

1.1.5 Corrélation empirique

Le coecient de corrélation linéaire empirique entre les sériesetnoté ()est défini par : ()=Cov p V ()V ()=Cov 5 Il peut donc prendre diérentes formes en fonction des expressions que nous avons vu plus haut. On peut faire apparaître son expression dans la définition des diérents estimateurs.

1.2 Moments empiriques des matrices

1.2.1 Moyenne arithmétique

On considère maintenant une matricede dimension()Chaque ligne de correspond à une observation et chaque colonne decorrrespond à une variable. On note ces variables=¡ (1) (2)

¢On a :

0 Q| {z} (1) =1 (1)0 (2)0 ()0 =1 (1)0 (2)0 ()0 1 2

1.2.2 Matrice de covariance empirique

Contrairement au cas univarié, on définit une matrice qui contient à la fois les variances et les covariances des variables. Les variances sont sur la diagonale de lamatricedecovariance.Ona: V 0 Q 0 On peut définir la matrice des produits croisés des variables explicatives 0 à partir du modèle écrit par observations ou par variables. Selon le contexte une expression peut s'avérer plus pratique que l'autre, et il faut pouvoir passer facilement entre les diérentes expressions. 6

Par rapport aux variables, on a:

0 (1)0 (2)0 ()0 (1) (2) (1)0 (1) (1)0 (2) (1)0 (1)0 (2) (2)0 (2) (2)0 ()0 (1) ()0 (2) ()0 P =1 21
P =1 1 2 P =1 1 P =1 1 2 P =1 22
P =1 2 ............P =1 1 P =1 2 P =1 2 La matrice des moments empiriques non centrés deest définie par : 0 Q= 1 P =1 21
1 P =1 1 1 P =1 1 2 1 P =1 2 1 P =1 1 1 P =1 2 On en déduit la matrice de covariance empirique : V 1 P =1 21
1 P =1 1 1 P =1 1 2 1 P =1 2 1 P =1 1 1 P =1 2 1 2 1 2 7 1 P =1 21
1 P =1 1 1 P =1 1 2 1 P =1 2 1 P =1 1 1 P =1 2 21
1 1 2 2 1 2 1 P =1 21
21
1 P =1 1 1 1 P =1 1 2 1 2 1 P =1 2 2 1 P =1 1 1 1 P =1 2 2

On obtient doncfinalement :

V V 1 )Cov 1 2 )Cov 1 Cov 1 2 )V 2 )Cov 2 Cov 1 )Cov 2 )V Par rapport aux observations. La matrice de covariance empirique peut s'écrire : V ()=1 X =1 0 0 on a : X =1 0 X =1 1 2 1 2 X =1 21
1 2 1 1 2 22
2 1 2 2 P =1 21
P =1 1 2 P =1 1 P =1 1 2 P =1 21
P =1 2 ............P =1 1 P =1 2 P =1 2 0 8 On retrouve donc le même résultat que précédemment. De même pour les produits croisés entre les variables explicatives et la variable expliquée, on a : 0 (1) (1)0 (2)0 ()0 (1)0 (2)0 ()0 P =1 1 P =1 2 ...P =1 Xquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29