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MATRICES

EXERCICES CORRIGES

Exercice n°1.

On considère la matrice

1 6 8 4

0 7 3 11

22 17 0,1 8

A-

1) Donner le format de A

2) Donner la valeur de chacun des éléments

14a , 23a , 33a et 32a

3) Ecrire la matrice transposée

tA de A et donner son format

Exercice n°

2.

Soit la matrice

5 ... 7

... 9 ...

8 ... 0

7 1 3 A

1) Compléter l"écriture de A de format

4 3´ avec : 325a= , 234a= - , 218a= et 1211a=

2) Ecrire la matrice transposée tA de A et donner son format

Exercice n°

3.

1) Donner une matrice dont la transposée est égale à son opposée.

2) Donnez la matrice A telle que pour tout indice i et j avec, 1 3i£ £ et 1 3j£ £, le terme ija soit donné par la

formule

2ija i j= -

Exercice n°

4.

On donne

2 5

3 1A( )=( )-( )

et 7 2

1 3B( )=( )- -( )

Calculez

A B+ , A B- , 3A , 4B , 3 4A B-

Exercice n°

5.

On donne

5 0 2 xA x et 7 1 3 yB y

1) Trouver x et y pour que 4 12

1 17A B( )+ =( )-( )

2) Trouver x et y pour que 5 182 44 16A B- -( )- =( )-( )

Exercice n°

6. On considère les matrices A, B et C définies par 1 3 4 2 0 7 A 2 0 2 1 8 1 B- et 4 6 14 7 24 17
C-

Trouver deux réels x et y tels que

xA yB C+ =.

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Exercice n°7.

Effectuer les produits suivants lorsque c"est possible. Lorsque c"est impossible, dire pourquoi. a)

2 52 53 64 64 7( )

b)

2 52 53 64 64 7

c) 0 1 6

1 4 5 2 4 2

3 5 3 d)

2 5 0 1 1

3 6 3 2 0

4 1 2 3 5

e)

1 1 2 5

2 0 3 6

3 5 4 1

f)

1 0 5 2 7 8

2 1 6 0 2 3

3 4 7 4 5 6

Exercice n°8.

Calculer, puis comparer les produits

A B´ et B A´

a) 1 8

2 11A-( )=( )( )

et 4 2

5 8B( )=( )-( )

b) 4 8

1 2A( )=( )( )

et 3 9

1 1B( )=( )( )

c) 2 1

1 1A( )=( )( )

et 5 2

2 3B( )=( )( )

Exercice n°9.

Dans chacun des cas, calculer les produits

A B´ et B A´. Quelle particularité présente-t-il ? a) 6 12

3 6A-( )=( )-( )

et 12 6

6 3B( )=( )( )

b) 2 4

1 2A( )=( )- -( )

et 0 2

0 1B( )=( )-( )

Exercice n°10.

On considère la matrice A définie par

1 2 3 xA( )( )( )= où x est un réel.

Déterminer x pour que

26 1

2 11A( )( )( )( )=

Exercice n°11.

Calculez et comparez

2 22A AB B+ + et ( )

2A B+ avec : 4 8

1 2A( )=( )( )

et 3 9

1 1B( )=( )( )

Exercice n°12.

Soit les deux matrices

1 1

5 6A( )=( )( )

et 21 0

0 1I( )=( )( )

On se propose de rechercher s"il existe une matrice a b c d telle que 2a bA Ic d

1) Traduire cette égalité par un système de quatre équations à quatre inconnues

2) Résoudre ce système

3) Pour les valeurs trouvées

a,b,c, et d , on pose 1a bAc d

Vérifier que

1 1

2A A A A I- -´ = ´ =

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