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DL n°5-2 : corrigé Effet Doppler (concours ECRIN MP 1997) 1 Un tel radar fonctionne sur le principe précédent du 3) (émission d'un signal de fréquence f, réception

radar P 11 aéroport, un examen phénomène physique est connu sous le nom d'effet Doppler C'est en 1842 que Mais, attention, cette formule doit être corrigée : О D'une

Exercice 3 (non spé) : Le radar (10 points)

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Ondes et matière P Effet Doppler et Radars CORRIGE

r type Mesta émet un onde continue de fréquence 24,150 GHz qui est réfléchi la voiture se

Correction des exercices sur leffet Doppler Exercice 21 p79

lide la modélisation du principe de mesure du radar automatique Page 4 Exercice 26 p 81 Pour

Exercices de la partie M Leffet Doppler

Doppler concerne uniquement les ondes mécaniques, pas les ondes électromagnétiques Sur une autoroute où la vitesse est limitée à 130 km/h, un radar fixe mesure, pour une

1 Le radar routier

r capte cette onde réfléchie à la fréquence f '' Figure 1 : Vidéo d' illustration de l'effet Doppler (les

Leffet Doppler et ses applications dans les différents domaines

ixe Pour un radar utilisant l'effet Doppler, la source immobile joue également le rôle de récepteur [3] Amaury Mouchet, Apprendre les ondes- Cours et exercices corrigés 2000

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DL n°5-2 : corrigé Effet Doppler (concours ECRIN MP 1997) 1 Un tel radar fonctionne sur le principe précédent du 3) (émission d'un signal de fréquence f, réception

Nom : Exercice 1 : Radar [/3]

Un radar fixe automatisé détermine la vitesse v d'un véhicule grâce à l'effet Doppler et

MP - Physique-chimie. Devoir en temps libre

Jean Le Hir, 10 janvier 2008 Page 1 sur 4

DL n°5-2 : corrigé

Effet Doppler (concours ECRIN MP 1997)

1. À un instant pris comme origine des temps, la source S se trouve en A0 et le récepteur R en B0,

distant de ? de AAB0 0 0:=?. S émet alors une impulsion (impulsion " zéro ").

1.a) À quel instant

0t, cette impulsion atteint-elle R ? 0

R tc v=-

1.b) À l"instant

St T=, la source émet une nouvelle impulsion (impulsion " un "). En quelle position A1 se trouve à cet instant S et en quelle position

B1 se trouve le récepteur R ?

0 1 S SA Axv T u=?????? ???, 0 1 R SB Bxv T u=?????? ??? et donc ()()1 1 R S SA Bxv v T u= + -?????? ????

1.c) On choisit comme nouvelle origine des temps l"instant d"émission de l"impulsion " un ". On pose

ainsi

St T t¢= +. À quel instant 1t¢, l"impulsion " un " atteint-elle R ? En déduire la durée RT entre la

réception de l"impulsion " zéro " et de l"impulsion " un ". ()R S SR S1 1 10 S R R R

A Bv v Tv vt t Tc v c v c v+ -

? et donc SR 1 0 S R c vT t t Tc v

1.d) Donner la relation entre Rf et Sf. A quelle condition ces deux fréquences sont-elles égales ?

R RRS

R S S S

1 1c v c vf fT c v T c v

- -= = =- -. R Sf f= si et seulement si R Sv v=

1.e) On suppose que le récepteur est immobile. Préciser si Rf est plus grande ou plus petite que Sf

lorsque la source s"éloigne du récepteur (cas a), lorsque la source s"approche du récepteur (cas b).

Cas a : alors S0v< et donc R Sf f<

Cas b : alors S0v> et donc R Sf f>

2. On considère à nouveau une source S et un récepteur R mobiles, on ne s"intéresse qu"à l"impulsion

" zéro ", émise à l"instant

0t=. On suppose qu"à l"instant 0t, l"impulsion reçue par R est réfléchie

vers S.

2.a) À quel instant

t, S reçoit-il cette impulsion réfléchie ? L"impulsion zéro est reçue à l"instant 0 R tc v=- ?. La distance entre le R et S est alors égale à ()R S 0v v t+ -?. La durée du trajet de retour est donc ()R S 0 S v v t c v+ - ? et donc la source reçoit l"impulsion zéro en retour à l"instant t tel que ()R S 0 0

Sv v ttc v+ -t = ++?, soit :

SR 2 1 1 1 v vc c c t =( )( )+ -( )( )( )( )

2.b) Dans le cas R Setc v c v>> >>, exprimer t par le premier terme non nul de son développement.

R S21v v

c c- ( )t +( )( ) LYCÉE DE KERICHEN MP-Physique-chimie Devoir en temps libre n°5-2

JLH 10/01/2008 Page 2 sur 4

Une horloge permet d"obtenir t : que peut mesurer un tel dispositif ? Quels sont les appareils utilisant

ce principe ? Un tel dispositif permet de mesurer la vitesse relative entre la source et le récepteur. Les radars de surveillance du respect de limitation de vitesse fonctionnent sur ce principe.

3. On suppose qu"un signal sinusoïdal de fréquence f est émis par une source S immobile ()S0v= et

reçue par un récepteur R mobile ()Rv v=.

3.a) Donner, en fonction de f, c et v, la fréquence

Rf du signal reçu par R . R1vf fc

3.b) Le récepteur R réfléchit le signal reçu et se comporte ainsi comme une source émettant à la fréquence

Rf. Le dispositif S bascule en mode récepteur et perçoit alors un signal à la fréquence f¢.

3.b.a) Exprimer

f¢ en fonction de Rf, c et v. R1 1f fv c

3.b.b) En déduire l"expression de

f¢ en fonction de f, c et v puis une expression approchée de f¢ si v c<<. 121
1v vc f f fvc c-

3.b.g) Exprimer avec cette approximation,

f f f¢d = -. On précisera le signe de fd si R s"éloigne de S.

2vf f f fc¢d = - » -. Si R s"éloigne de S, la fréquence diminue et donc 0fd <

4. Application 1 : la gendarmerie utilise un radar à effet Doppler pour contrôler la vitesse des véhicules.

Un tel radar fonctionne sur le principe précédent du 3) (émission d"un signal de fréquence f, réception

et mesure de la fréquence f¢ du signal réfléchi). Le signal est une onde électromagnétique hertzienne sinusoïdale de fréquence

5GHzf=. On supposera que la célérité des ondes électromagnétiques dans

l"air est celle des ondes électromagnétiques sinusoïdales planes dans le vide.

4.a.a) Préciser la valeur de cette célérité c.

8 13,00 10 m sc-= ´ ×

4.a.b) Donner la vitesse (en km/h) d"un véhicule si une mesure donne

972 Hzfd =.

1 129,2 m s 105 km hv- -= × = ×

4.a.g) On souhaite avoir une précision de 0,5 km/h. Quelle est la précision nécessaire sur

fd (on supposera que les incertitudes sur les autres termes sont négligeables) ? v f v f

D Dd=d et donc 5 HzfDd =

4.a.d) Une mesure directe de f¢ vous semble-t-elle possible ? Justifier votre réponse.

Certes non. Une mesure directe de f¢ devrait alors être réalisée avec une incertitude de 5 Hz pour

5 Ghz, soit une précision de

910- : une telle précision ne peut être atteinte..

Un oscillateur de référence fournit le signal d"émission ()e esin 2u U f t= p. Le signal réfléchi mesuré est

noté

()r rsin 2u U f t¢= p +j. Les signaux eu et ru sont alors appliqués à l"entrée d"un multiplieur qui

délivre en sortie le signal su, avec s e r. .u K u u=. LYCÉE DE KERICHEN MP-Physique-chimie Devoir en temps libre n°5-2

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4.b.a) Quelle est l"unité de K. Préciser le spectre de su. (On choisira j=0 pour le calcul).

La constante K se mesure donc en 1V-.

( ) ( )( ) ( )( )( )s e r e re r1. . sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 2

2u K u u KU U f t f t KU U f t f f t¢= = p p +j = pd - p +d

Le spectre de

su comprend donc les deux fréquences fd et 2f f+d

4.b.b) Quel filtre doit-on brancher en sortie du multiplieur pour récupérer un signal purement sinusoïdal

de fréquence f f f¢d = - ? Proposer le schéma simple d"un tel filtre passif en précisant les conditions de son bon fonctionnement.

Pour récupérer un signal purement sinusoïdal de basse fréquence fd, il faut brancher en sortie du

multiplieur un filtre passe-bas. Une simple cellule RC (résistance en tête) conviendra pourvu que la

fréquence de coupure 1

2RCp soit choisie bien supérieure à fd et bien inférieure à 2f.

4.b.g) Pour pouvoir utiliser le signal de sortie de ce filtre, on branche, en sortie du filtre, un amplificateur

opérationnel idéal monté en suiveur. Faire le schéma et expliquer les raisons d"un tel montage.

Le suiveur a une impédance d"entrée infinie. Le montage passe-bas fonctionnera idéalement, y compris

si l"on ajoute en sortie une impédance de charge.

cette partie, on considérera que le référentiel défini par le centre du Soleil et trois directions fixes est

galiléen. Cela revient à considérer que

SM? masse des planètes.

5.a) La Terre et Jupiter tournent autour du soleil sur des orbites pratiquement circulaires en 1 an (Terre) et

en 12 ans (Jupiter). Le rayon de l"orbite terrestre est de

150106 km. Donner le rayon de l"orbite de

Jupiter.

Il s"agit ici simplement d"appliquer la troisième loi de Kepler : La Terre et Jupiter gravitant autour de

la même étoile, les rapports des cubes de grands axes au carrés des périodes est le même pour les deux

planètes : 33
JT 2 2 T J aa

T T= et donc

2236 6J3J T

150 10 12 786 10 kmTa aT( )= = ´ ´ = ´( )( )

On peut mesurer sur terre la période T de révolution de Io, satellite de Jupiter (orbite pratiquement

circulaire). On constate que cette période T fluctue autour d"une valeur moyenne 0T (amplitude 10 à 20 s avec

042hT»). Ces fluctuations s"expliquent par un effet Doppler. La formule établie en 1) avec Rv et

Sv constant s"écrit alors dans un cas plus général (sous réserve que R Sv c et v c<< <<) :

011drT Tc dt

( )= +( )( ) avec r distance variable observateur terrestre - Jupiter. R C su eu LYCÉE DE KERICHEN MP-Physique-chimie Devoir en temps libre n°5-2

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5.b) Justifier cette formule et vérifier le signe de la différence 0T T- en s"aidant des résultats du 1).

La source étant Jupiter et le récepteur étant la Terre, la formule ci-dessus n"est que la transcription de

la formule précédemment démontrée :

S R SR S S

1c v v vT T Tc v c- -

R Sv v- représente la vitesse radiale de Jupiter par rapport à la Terre, soit R Sdrv vdt- »

Lorsque le Soleil, la Terre et Jupiter sont alignés dans cet ordre (conjonction opposition), r est minimum

()cr r=. On note ct l"instant d"une telle conjonction opposition. Note : Dans cet ordre, il s"agit d"une opposition et non pas d"une conjonction.

5.c) À quel instant ct¢ se produit une nouvelle conjonction opposition (on exprimera, en mois la durée

c ct t¢-) ? Approximativement, à quel instant 0t, (on exprimera 0ct t-), peut-on alors considérer que r

est maximum (opposition conjonction 0r r=) ?

Il nous suffit d"écrire que la Terre a fait un tour de plus que Jupiter entre deux conjonctions, soit :

()()T J c c2t t¢w -w - = p ou encore c c T J

T J2 113 mois1 1t t

T T p¢- = = »w -w- Dans l"hypothèse d"orbites circulaires, nous aurons donc c c0 c6,5 mois2 t tt t¢-- = »

5.d) Quelle est la valeur de la vitesse de la Terre sur son orbite ? 1TT T T

T230 km sav aT-p= w = » ×

Quelle est la valeur maximale de dr/dt ?

La valeur maximale de dr/dt est obtenue lorsque la Terre s"éloigne de Jupiter, au moment d"une quadrature. dr/dt à ce moment, a une valeur voisine de

Tv (en

bonne approximation, Jupiter peut être considéré comme immobile).

Donner numériquement l"écart maximal 0T T- et tracer l"allure de 0( )T T f t- = entre ct et 0t.

T0 0 0128 svdrT T T Tc dt c- = » =

Aux oppositions et aux conjonctions, la

distance Terre-Jupiter est stationnaire et l"on a donc 0T T=

Entre les instants ct et 0t, Roemer notait

aux instants it (environ toutes les 42 h) l"écart ()0i iT T f t- =. Il calculait alors ()0i iT Tt = -∑.

5.e) Montrer alors que comme

()0 0 cT t t-?, on peut assimiler t au temps mis par la lumière pour parcourir le diamètre de l"orbite terrestre. Donner sa valeur. c c o o0 max minT

02115 min

t t t tT T r radrdt dtT c dt c c- -t » = » =∫ ∫? ()r t 0T T- oppositionconjonction quadrature t tquotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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