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Courbes Courbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamental Surfaces Courbures des surfaces

Courbure des courbes et des surfaces

Aziz El Kacimi

Cit´e des G´eom´etries - Gare num´erique de Jeumont

Groupe de travail

Math´ematiques de la route!

CourbesCourbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamental Surfaces Courbures des surfaces

1. Courbes

Dans tout ce texteJd´esigne un intervalle ouvert de la droite r´eelleR etEl"espace vectorielR3muni de son produit scalaire usuel : ?u,u??=xx?+yy?+zz? o`u u= (x,y,z)etu?= (x?,y?,z?).

1.1. D´efinition

Unecourbe param´etr´eedeEest une application de classe C∞:

γ:t?J?-→(x(t),y(t),z(t))?E.

On dira que la param´etrisationγestr´eguli`eresiγ?(t)?= 0pour tout t?J ; dans ce cas la courbe est dite r´eguli`ere. CourbesCourbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamental Surfaces Courbures des surfaces

Exemples

1)Une droiteγ:t?R?-→ta+b?Eo`ua,b?Eaveca?= 0.

2) La mˆeme droite mais avec une repr´esentation diff´erente:

γ(θ) = (tgθ)a+b

toujours aveca?= 0.

3) Uncerclede rayonRdans le plan horizontalz= 0:

γ:t?R?-→R(cost,sint,0)?E.

4) Uneh´elice circulairede rayonR:

γ:t?R?-→R(cost,sint,αt)?E

avecα?R. CourbesCourbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamental Surfaces Courbures des surfaces CourbesCourbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamental Surfaces Courbures des surfaces G´eom´etriquement, on s"int´eresse `a l"image de l"application γ:J-→Ret non `a la param´etrisation qui n"est jamais unique. Mais cette non unicit´e nous donne en fait la libert´e de choisir une param´etrisation qui puisse convenir `a l"´etude d"un probl`eme particulier. Si

J0f-→Jest un diff´eomorphisme on a :

d dtγ(f(t)) =f ?(t)γ?(f(t)). Doncγ:J-→Eest r´eguli`ere si, et seulement si,γ◦f:J0-→E l"est! On dira quefest unchangement de param´etrisation.

1.2. D´efinition

Soientγ:J-→Eune courbe param´etr´ee et t0?J. Alors la longueur de l"arcdeγ`a partir de t0est le nombre : s(t) =? t t 0 |γ?(u)|du. CourbesCourbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamental Surfaces Courbures des surfaces

On peut noter que sif:v?J0-→u=f(v)?Jest un

diff´eomorphisme qui pr´eserve l"orientation (c"est-`a-dire qui v´erifie f?(v)>0pour toutv?J0) alors : et donc l"int´egrale dans la d´efinition 1.2 ne d´epend pas duchoix de la param´etrisation. On peut aussi noter que la longueur de l"arc s(t)est elle-mˆeme une param´etrisation r´eguli`ere puisque : ds dt=|γ ?(t)| ?= 0. Siγ:J-→Rest une courbe param´etr´ee par la longueur de l"arc : t(s) =dγds est levecteur unitaire tangent`a la courbeγ. CourbesCourbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamental Surfaces Courbures des surfaces CourbesCourbure d"une courbeLe th´eor`eme fondamental Surfaces Courbures des surfaces

2. Courbure d"une courbe

Les courbes que nous consid´ererons

par la suite seront param´etr´ees par la longueur de l"arc ! Soitγ:J-→Eune courbe. Comme on a suppos´e qu"elle est param´etr´ee par la longueur de l"arc, la norme du vecteur treste constamment ´egale `a

1. Ce qui pourrait ´eventuellement changer, c"est

sa "direction", ce qui va en fait "mesurer l"´ecart" entre lacourbe et le fait qu"elle soit un morceau de droite!

2.1. D´efinition

On appellecourburedeγau pointγ(s)le nombre :

κ(s) =|t?(s)|.

CourbesCourbure d"une courbeLe th´eor`eme fondamental Surfaces Courbures des surfaces

2.2. Exemples

1 - Soitγ:s?R?-→sa+b?Rla param´etrisation (par la

longueur de l"arc) d"une droite. Alors on a for´ement t=a(tous deux de norme

1). Par suite :

κ(s) =t?= 0.

2 - Soitγ:s?R?-→R?coss

R,sins

R,0??R2un cercle dans le

plan (x,y). On at(s) =?-sins

R,coss

R,0?(c"est bien de norme1)

et par suite :

κ(s) =|t?(s)|=????1R?

-cossR,-sinsR,0?????=1R. Ce qui correspond `a l"id´ee intuitive que l"on a de la courbure d"un cercle : plus le rayon est petit plus la courbure est grande etplus le virage est difficile `a prendre! CourbesCourbure d"une courbeLe th´eor`eme fondamental Surfaces Courbures des surfaces

3 - Faisons le calcul pour l"h´elice circulaire de rayonRparam´etr´ee

par (la longueur de l"arc) :

γ(s) =R?

cos?s⎷R2+α2 ,sin?s ⎷R2+α2 ,αs ⎷R2+α2 avecα?R. On a : t(s) =R⎷R2+α2 -sin?s ⎷R2+α2 ,cos?s ⎷R2+α2 et par suite :

κ(s) =|t?(s)|=RR2+α2.

CourbesCourbure d"une courbeLe th´eor`eme fondamental Surfaces Courbures des surfaces

2.3. Rep`ere de Serret-Frenet

Soitγ:J-→Eune courbe. En d´erivant|t(s)|2=|γ?(s)|2= 1on obtient t?(s)·t(s) = 0; le vecteurt?est donc orthogonal `at(s). Si κ(s)?= 0, on a un vecteur bien d´efinin(s)tel quet?(s) =κ(s)n(s); c"est le vecteur unitaire normal`a la courbe au pointγ(s). Le vecteur unitaire binormalest d´efini par : b(s) =t(s)?n(s). Le triplet(t(s),n(s),b(s))est un rep`ere orthonorm´e direct (d"origine le point

γ(s)) appel´erep`ere de Serret-Frenetde la

courbe au point

γ(s).

CourbesCourbure d"une courbeLe th´eor`eme fondamental Surfaces Courbures des surfaces CourbesCourbure d"une courbeLe th´eor`eme fondamental Surfaces Courbures des surfaces

2.4. La torsion d"une courbe

En d´erivantb(s) =t(s)?n(s)membre `a membre on obtient : b?(s) =t?(s)?n(s) +t(s)?n?(s) =t(s)?n?(s). Doncb?(s)est orthogonal `at(s); comme il est aussi orthogonal `a b(s), il est colin´eaire `an(s). Il existe doncτ(s)?Rtel que : b?(s) =-τ(s)n(s). Le nombreτ(s)est appel´etorsiondeγau pointγ(s).

On v´erifie facilement que :

d ds(( t n b)) =((0κ0 -κ0τ

0-τ0))

·((t

n b)) Courbes Courbure d"une courbeLe th´eor`eme fondamentalSurfaces Courbures des surfaces

3. Le th´eor`eme fondamental

Avant de l"´enoncer voyons d"abord ce que peut ˆetre la meilleure signification de la courbure et la torsion d"une courbe.

3.1. Proposition

Soitγ:J-→Eune courbe de courbureκet de torsionτ. Alors : κ≡0si, et seulement si, la courbe est unmorceau de droite. τ≡0si, et seulement si, la courbe estcontenue dans un plan. Peut-on trouver une courbeγ:J-→E`a courbure et torsion prescrites? Oui, la r´eponse est donn´ee par le : Courbes Courbure d"une courbeLe th´eor`eme fondamentalSurfaces Courbures des surfaces

3.2. Th´eor`eme

Soient s?J?-→κ(s)?R?+et s?J?-→τ(s)?Rdeux fonctions diff´erentiables. Alors il existe une courbeγ:J-→Eparam´etr´ee par la longueur de l"arc ayantκcomme courbure etτcomme torsion. Siσ:J-→Eest une autre courbe r´epondant `a la question, il existe une isom´etrie affine positive D:E-→Etelle queσ=D◦γ.

3.3. Exemple

On sait d"apr`es le th´eor`eme 3.2 que la torsion d"une courbe contenue dans un plan est nulle. Nous laisserons donc de cˆot´e ce typede courbe. Courbes Courbure d"une courbeLe th´eor`eme fondamentalSurfaces Courbures des surfaces

La torsion de l"h´elice :

γ(s) =R?

cos?s⎷R2+α2 ,sin?s ⎷R2+α2 ,αs ⎷R2+α2 se calcule assez facilement. Elle est constante et donn´ee par la formule :

τ=αR2+α2.

L"interpr´etation de son signe qu"on peut donner est la suivante. Supposons qu"on marche sur cette h´elice en tournant dans lesens trigonom´etrique. Alors :

•Siτ >0(i.e.α >0) on monte.

•Siτ <0(i.e.α <0) on descend.

Courbes Courbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamentalSurfacesCourbures des surfaces

4. Surfaces

SoitUun ouvert deR2. Les coordonn´ees d"un point deUseront not´ees (u,v);?∂ ∂u,∂ ∂v ?sera la "base canonique" du moduleX(U) des champs de vecteurs surU.

4.1. D´efinition

Une partie S deEest unesurface r´egluli`eresi, pour tout point p?S, il existe un voisinage V de p dansEet un hom´eomorphisme de classe C X: (u,v)?U-→(x(u,v),y(u,v),z(u,v))?V∩Sde diff´erentielle d (u,v)Xinjective pour tout(u,v)?U i.e. la matrice : (∂x ∂u∂x∂v∂y ∂u∂y∂v∂z ∂u∂z∂v est de rang 2. Courbes Courbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamentalSurfacesCourbures des surfaces

Les images des champs de vecteurs∂∂uet∂∂vpar la diff´erentielled(u,v)Xsont des champs tangents `aSau pointp=X(u,v)not´esXu

et Xv; ils engendrent (surR) un plan vectoriel not´eTpSet appel´e plan tangent`aSau pointp. Courbes Courbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamentalSurfacesCourbures des surfaces

4.2. Exemples

i) Lasph`ereS2admet comme param´etrisation (locale) : X: (?,θ)?]0,2π[×]0,π[?-→(x(?,θ),y(?,θ),z(?,θ))?Eavec : ?x(?,θ) = cos?sinθ y(?,θ) = sin?sinθ z(?,θ) = cosθ Un calcul facile montre queXest une repr´esentation r´eguli`ere deS2 priv´ee du demi-cercle intersection de la sph`ere avec le demi-plan ferm´e d´efini par y= 0etx≥0. Courbes Courbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamentalSurfacesCourbures des surfaces Courbes Courbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamentalSurfacesCourbures des surfaces ii) LetoreT2admet comme param´etrisation (locale) : X: (θ,?)?R2?-→(x(?,θ),y(?,θ),z(?,θ))?Eavec : ?x(?,θ) = (b+asin?)cosθ y(?,θ) = (b+asin?)sinθ z(?,θ) =acos? On v´erifie facilement que les imagesXθetX?respectivement des champs ∂θet∂∂?par la diff´erentielled(θ,?)Xsont : X

θ= (-(b+asin?)sinθ,(b+asin?)cosθ,0)

X ?= (acos?cosθ,acos?sinθ,-asin?) et que leur produit vctorielXθ?X?est tel que |Xθ?X?|=a(b+asin?)?= 0pour tout(θ,?). DoncXest r´eguli`ere. Courbes Courbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamentalSurfacesCourbures des surfaces Courbes Courbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamental SurfacesCourbures des surfaces

5. Courbures des surfaces

5.1. Application de Gauss

SoitX:U-→Sune param´etrisation r´eguli`ere au voisinage d"un point p=X(u,v)d"une surface orientableSdansE. Les deux vecteurs tangents XuetXvsont lin´eairement ind´ependants. Par suite leur produit vectoriel

Xu?Xvest non nul et on peut donc d´efinir le

vecteur normal unitaire:

N(p) =Xu?Xv

|Xu?Xv|. En proc´edant ainsi au voisinage de chaque point deS, on d´efinit une application :

N:p?S?-→N(p)?S2

o`u S2est la sph`ere unit´e deE. Elle est appel´eeapplication de Gauss deS. Courbes Courbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamental SurfacesCourbures des surfaces On montre qu"elle est de classeC∞. Sa diff´erentielledpNest une application lin´eaire de

TpSdansTN(p)S2; comme ces deux espaces

sont parall`eles, dpNpeut ˆetre interpr´et´ee comme un endomorphisme de l"espace vectoriel TpS.

5.2. Seconde forme fondamentale

On munit l"espace vectorielTpSdu produit scalaire induit par celui de Equ"on notera?,?p. La collection{?,?p}p?Svarie de fa¸con diff´erentiable en fonction de p; c"est pr´ecis´ement ce qu"on appelle la m´etrique riemannienneinduite surS. On montre alors que, pour tout p?S, l"endomorphismedpNestauto-adjointi.e. v´erifie ?dpN(η),ε?p=?η,dpN(ε)?ppour tous vecteursη,ε?TpS. Courbes Courbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamental SurfacesCourbures des surfaces Comme l"endomorphismedpNest auto-adjoint, il permet alors de d´efinir une forme quadratiquesurTpS:

Φp(η) =-?dpN(η),η?p

qu"on appelleseconde forme fondamentalede la surfaceS.

5.3. Courbure normale

Soient maintenantγ:J-→Sune courbe param´etr´ee par la longueur de l"arc ( J´etant un intervalle deRcontenant l"origine) et p=γ(0). NotonsnetNles vecteurs normaux enprespectivement `a la courbe γet `a la surfaceS,θl"angle(n,N)etκla courbure deγ au pointp. Le nombrekn=κcosθest appel´eecourbure normale deγenp. On montre en fait que :

Φp(γ?(0)) =kp.

Courbes Courbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamental SurfacesCourbures des surfaces Courbes Courbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamental SurfacesCourbures des surfaces

5.4. Th´eor`eme de Meusnier

Toutes les courbes trac´ees surSet ayant la mˆeme droite tangente en p?Sont la mˆeme courbure normaleknen ce point. Courbes Courbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamental SurfacesCourbures des surfaces

5.5. Les courbures d"une surface

Comme la diff´erentielledpNde l"application de Gauss est auto-adjointe, il existe une base orthonorm´ee (e1,e2)deTpStelle que dpN(e1) =-k1e1etdp(e2) =-k2e2. En plus les nombresk1et k2(on supposek1≥k2) sont respectivement lemaximumet le minimumde la seconde forme fondamentale restreinte au cercle unit´e de l"espace euclidien TpS.

D´efinition.

Lacourbure normale maximalek1et lacourbure normale minimale k2sont appel´eescourbures principalesdeSau pointp. Les directions des vecteurs e1ete2sont appel´eesdirections principales deSau pointp. Courbes Courbure d"une courbe Le th´eor`eme fondamental SurfacesCourbures des surfaces

D´efinition.

Led´eterminantKpde l"applicationdpNest appel´ecourbure de Gauss deSenp. Lamoiti´eHpde la trace dedpNest appel´ee courbure moyennedeSenp. Ainsi on a :

Kp=k1k2etHp=k1+k2

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