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Préparation au Concours Cycle Polytechnicien

Filière universitaire : candidats internationaux (O.Granier, ITC, du 24 au 29 octobre 2011)

TD corrigés d'électromagnétisme

1) Bobines de Helmholtz :

On considère une distribution de courants cylindriques autour de l'axe (Ozà qui crée un

champ magnétique sur l'axe Oz colinéaire à cet axe.

1) Rappeler l'expression du champ créé par une spire de rayon a parcourue par une intensité I

à la distance z du centre de cette spire sur l'axe de la spire.

2) On se place maintenant (tout en étant toujours à la côte z) à une distance r relativement

faible de l'axe. En écrivant la conservation du flux du champ magnétique, montrer que le champ possède une composante radiale donnée par : 2 z rBrB z

2) Champ électrique et champ magnétique :

Soit C un cylindre de révolution d'axe (Oz), de rayon a et de longueur très grande devant a. C,

chargé uniformément avec la densité volumique

ρ, est mis en rotation autour de (Oz) avec la

vitesse angulaire ω (supposée indépendante du temps jusqu'à la dernière question) sans que cette rotation affecte la répartition des charges dans C. a) Déterminer dans tout l'espace le champ électrique Er. b) Déterminer dans tout l'espace le champ magnétique Br. c) Déterminer de même un potentiel vecteur

Ar du champ Br.

d) Que peut-on dire si ω varie dans le temps "pas trop rapidement" ? Quel est dans ce dernier cas l'intérêt du calcul de

Ar fait en (3) ?

Solution :

a) On utilise la théorème de Gauss : (le champ électrique est radial)

Pour r > a :

2 2

0012 ( ) ( )2arhE r a h soit E rr

Pour r < a :

0012 ( ) ( )2rhE r r h soit E r rρπ π ρε ε= =

On vérifie que le champ électrique est continu à la traversée du cylindre (en r = a).

b) On utilise le théorème d'Ampère : (le champ magnétique est selon l'axe du solénoïde et on

sait qu'il est nul à l'extérieur). On choisit un contour rectangulaire dont un côté parallèle à

l'axe est dans le solénoïde et un autre à l'extérieur. Alors : 2 20

0( ) ' ' ( )2

a rB r r dr a rμ ρωμ ρω= = -∫ (Pour r < a) c) Le potentiel vecteur est défini par B rotA=uuurrr. Le calcul est identique au calcul du potentiel vecteur créé par un solénoïde classique infini.

On considère un solénoïde infini de section circulaire de rayon R, constitué de n spires

jointives par unité de longueur et parcouru par un courant d'intensité I.

Le plan contenant l'axe du solénoïde et le point M étant un plan d'antisymétrie :

θurAMArr)()(=

En prenant comme contour un cercle centré sur l'axe (Oz) et perpendiculaire à cet axe : dSnBdA SC rrlrr..

On obtient : Si r > R :

4 4 4 2 2

00 0012 ( ) ( )2 ( )

2 2 4 4

aa a arA r a r rdrπ μ ρω π πμ ρω πμ ρω= - = - =∫, soit : 4 0( )8 aA rrμ ρω=

Si r < R :

2 2 4

2 22 2 2

00 00112 ( ) ( ' )2 ' ' ( ) 2

2 2 4 4

ra r rrA r a r r dr a r rπ μ ρω π πμ ρω πμ ρω= - = - = -∫

Soit :

2 2

01( ) 2

8A r a r rμ ρω= -

On constate que le potentiel vecteur est continu à la traversée de la surface r = a du solénoïde.

d) Ces calculs restent valables dans l'ARQS et la connaissance du potentiel vecteur permet de

traiter les problèmes d'induction faisant intervenir le champ électromoteur de Neumann,

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